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　两条曲线的公切线问题
【教材母题】
(人教A选择性必修二复习参考题P104T13)
已知曲线y＝x＋ln x在点处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值.
【知能拓展】
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切.
[微提醒]　直线与抛物线相切可用判别式法.
2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
【典例应用】
题型一　共切点的公切线问题
(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　)
A.－3 B.1
C.3 D.5
(2)(2025·浙江强基联盟一模) 在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y＝x2＋a与y2＝x相切，则a＝　　　　.
答案：(1)D　(2)
解析：(1)根据题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.因为f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，所以f'(x)＝2x，g'(x)＝－4，所以因为x0＞0，所以x0＝1，m＝5.故选D.
(2)由题意可知，两抛物线y＝x2＋a与y2＝x只可能在第一象限相切；设两个抛物线相切于，y＝x2＋a在该点处的切线的斜率为2x0，抛物线y2＝x在第一象限的图象为函数y＝在第一象限的图象，函数y＝，所以有2x0＝，解方程得x0＝，y0＝＝，所以切点为，代入y＝x2＋a，解得a＝.
题型二　不共切点的公切线问题
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　.
(2)(2025·湖北黄冈、襄阳4月联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝的切线，也是曲线y＝的切线，则k＝　　　　.
答案：(1) ln 2　(2)－
解析：(1)根据题意知y'＝(ex＋x)'＝ex＋1，当x＝0时，切线的斜率为2， 则切线方程为y＝2x＋1.对于曲线y＝ln(x＋1)＋a，y'＝[ln (x＋1)＋a]'＝＝2，得x＝－，y＝2×＋1＝0，则切点为， 即 0＝ln＋a，故a＝ln 2.
(2)由y＝可得y'＝.设直线y＝kx＋b与曲线y＝相切于点(m，n)(m＞0)，则n＝，k＝，所以曲线y＝的切线方程可表示为y－n＝(x－m)，即y＝x－.由y＝可得y'＝－，设直线y＝kx＋b与曲线y＝相切于点(s，t)(s≠0)，则t＝，k＝－， 所以曲线y＝的切线方程可表示为y－t＝－(x－s)，即y＝－＋.所以消去s，整理得4(ln m)2－12ln m＋9＝0，解得ln m＝，所以m＝.所以斜率k＝＝－.
题型三　公切线的条数问题
(1)曲线f(x)＝ax2(a＞0)与g(x)＝ln x有两条公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A.(0，) B.(0，)
C.(，＋∞) D.(，＋∞)
(2)(开放题)已知f＝ex(e为自然对数的底数)，g＝ln x＋2，请写出f与g的一条公切线方程　　　　　.
答案：(1)D　(2)y＝ex或y＝x＋1(任写一个即可)
解析：(1)设曲线f(x)＝ax2(a＞0)，g(x)＝ln x的切点分别为(x1，a)，(x2，ln x2)，f'(x)＝2ax，g'(x)＝.由题意得，2ax1＝＝，整理得＝－ln x2(1)，曲线f(x)与g(x)有两条公切线等价于方程(1)有两个异根，设h(x)＝x2－x2ln x(x＞0)，h'(x)＝2x－2xln x－x＝x(1－2ln x)，h(x)在(0，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数，h(x)max＝h()＝，如图，所以0＜＜，解得a＞.故选D.
(2)根据题意，设直线l与f＝ex相切于点(m，em)，与g.对于f＝ex，其导数为f'＝ex，则有k＝f'＝em，则直线l的方程为y－em＝em，即y＝emx＋em，对于g＝ln x＋2，其导数为g'＝，则有k＝g'＝，则直线l的方程为y－＝，即y＝x＋ln n＋1，直线l是f与g的公切线，则消去n得－mem＋em＝－m＋1，即＝0，解得m＝1或m＝0，当m＝1时，n＝，直线l的方程为y＝ex，当m＝0时，n＝1，直线l的方程为y＝x＋1；故公切线的方程为y＝ex或y＝x＋1.(任写一个即可)
1.当y＝f(x)与y＝g(x)切于同一点，设切点为P(x0，y0)，则有从而确定参数的取值范围. 2.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先假设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再假设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2).
对点练1.已知曲线y＝ln x与曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，则a＝(　　)
A.1 B.
C.－ D.－1
答案：B
解析：根据题意知，曲线y＝ln x和曲线y＝a在交点(1，0)处有相同的切线，即斜率k相等.对于曲线y＝ln x，求导得y'＝，所以在点(1，0)处的切线斜率k＝1，对于曲线y＝a，求导得y'＝a，所以a＝1，解得a＝，故选B.
对点练2.(多题同解)(1)若曲线f(x)＝ex在x＝1处的切线与曲线g(x)＝ln x＋a也相切，则a＝　　　　　　　.
(2)若直线y＝kx(k为常数)与曲线f＝ln x，曲线g＝aex均相切，则a＝　　　　.
答案：(1)2　(2)
解析：(1)由f(x)＝ex得f(1)＝e，f'(x)＝ex，所以f'(1)＝e，则曲线f(x)＝ex在x＝1处的切线为y＝ex.设该直线与曲线g(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a).由g(x)＝ln x＋a得g'(x)＝，则g'(x0)＝＝e，所以x0＝，所以切点为，由在直线y＝ex上得a－1＝e×，解得a＝2.
(2)因为f＝ln x，x∈，所以f'＝.设直线y＝kx与f＝ln x的切点为，则切线方程为y－ln x1＝，即y＝x＋ln x1－1.又因为y＝kx，所以解得x1＝e，k＝，所以切线方程为y＝x.因为g＝aex，所以g'＝'＝aex，设直线y＝x与g＝aex的切点为，所以g'＝a＝①.又因为切点在直线y＝x上，所以a＝x0②，由①和②可得x0＝1，所以ae＝，解得a＝.
对点练3.若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案：
解析：由y＝ax2(a＞0)得y'＝2ax，由y＝ex得y'＝ex.设公切线与曲线C1切于点(x1，a)，与曲线C2切于点(x2，)，则有y－a＝2ax1(x－x1)，即y＝2ax1x－a，y－＝(x－x2)，即y＝x－(x2－1)，所以可得x2＝＋1，所以a＝.因为a＞0，所以x1＞0，记f(x)＝(x＞0)，则f'(x)＝，当x∈(0，2)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.所以当x＝2时，f(x)min＝＞0，所以实数a的取值范围是.
【教师备选】　已知曲线C1：y＝ex＋x，C2：y＝－x2＋2x＋a(a＞0)，若有且只有一条直线同时与C1，C2都相切，则a＝　　　　.
答案：1
解析：设l与C1相切于点P(x1，＋x1)，与C2相切于点Q，由C1：y＝ex＋x，得y'＝ex＋1，则与C1相切于点P的切线方程为y－－x1＝(x－x1)，即y＝x－x1＋.由C2：y＝－x2＋2x＋a，得y'＝－2x＋2，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋－2x2－a＝(－2x2＋2)·(x－x2)，即y＝x＋a＋，因为两切线重合，所以1＋＝2－2x2①，－x1＝a＋②，由①得x2＝，代入②得4(1－x1)＝4a＋1－2＋，化简得－6＋4x1＝－1－4a.令f(x)＝－6ex＋4xex，则f'(x)＝2－6ex＋4ex＋4xex＝2－2ex＋4xex＝ex(2ex＋4x－2).令g(x)＝2ex＋4x－2，则g(x)在定义域内单调递增，且g(0)＝0，所以当x＜0时，g(x)＜0，f'(x)＜0，当x＞0时，g(x)＞0，f'(x)＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→0，f(0)＝－5，x→＋∞时，f(x)→＋∞.又－1－4a＜－1，结合函数图象(图略)可知，要使f(x)＝－1－4a有一解，则－1－4a＝－5，a＝1.
学生用书 第71页
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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