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斐波那契数列
【教材母题】
(人教A选择性必修二P10阅读与思考)斐波那契数列的定义：若一个数列，首两项等于1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为斐波那契数列.例：1，1，2，3，5，8，13，……
【知能拓展】
1.斐波那契数列的递推公式
2.斐波那契数列的通项公式
an＝［()n－］.
3.斐波那契数列的几个常用性质
(1)＋＋…＋＝Fn×；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋；
(3)a2＋a4＋a6＋…＋－1；
(4)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝Sn＝an +2 －1. (Sn为斐波那契数列的前n项和)
【典例应用】
(1)(多选)若数列{an}满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn，数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　　)
A.a9＝34
B.a2 027是奇数
C.a2＋a4＋a6＋…＋a2 028＝a2 029
D. ＝
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，且当x＜3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　)
A.f(10)＞100 B.f(20)＞1 000
C.f(10)＜1 000 D.f(20)＜10 000
答案：(1)ABD　(2)B
解析：(1)该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以a9＝34，故A正确；由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数，后一个为偶数，且2 027＝3×675＋2，所以a2 027是奇数，故B正确；由an－1＝an－an－2，得a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2 028＝a2 029－a2 027，累加得a2＋a4＋…＋a2 028＝a2 029－a1，故C错误；由an＝＋an－2(n≥3)，得＋＋＋…＋＝a1a2＋＋＋…＋＝a2(a1＋a2)＋＋…＋＝a2a3＋＋…＋＝a3(a2＋a3)＋…＋＝a3a4＋…＋＝…＝a2 025a2 026，所以S2 025＝ ＋＋＋…＋)＝a2 025a2 026，所以 ＝ ，故D正确.故选ABD.
(2)因为当x＜3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.对于f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)＞f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)＞f(3)＋f(2)＞3＋2＝5；依次类推，得f(5)＞f(4)＋f(3)＞5＋3＝8；f(6)＞f(5)＋f(4)＞8＋5＝13；f(7)＞f(6)＋f(5)＞13＋8＝21；f＞f＋f＞21＋13＝34；f＞f＋f＞34＋21＝55；f(10)＞f(9)＋f(8)＞55＋34＝89；f(11)＞f(10)＋f(9)＞89＋55＝144；f(12)＞f(11)＋f(10)＞144＋89＝233；f(13)＞f(12)＋f(11)＞233＋144＝377；f(14)＞f(13)＋f(12)＞377＋233＝610；f(15)＞f(14)＋f(13)＞610＋377＝987；….显然f(16)＞1 000，所以f(20)＞1 000.故选B.
对点练　(多选)“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现.因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.“斐波那契数列”{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)
A.S7＝33
B.S2 026＋S2 025－S2 024－S2 023＝a2 028
C.a1＋a3＋a5＋…＋a2 027＝a2 028
D.＋＋＋…＋
答案：ABC
解析：对于A，S7＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，故A正确；对于B，S2 026＋S2 025－S2 024－S2 023＝a2 025＋a2 026＋a2 024＋a2 025＝a2 027＋a2 026＝a2 028，故B正确；对于C，a1＋a3＋a5＋…＋a2 027＝a2＋a3＋a5＋…＋a2 027＝a4＋a5＋…＋a2 027＝a6＋…＋a2 027＝a2 026＋a2 027＝a2 028，故C正确；对于D，＝a2a1，＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，＝a3a4－a2a3，＝a4a5－a3a4，…，－，－，所以＋＋＋…＋，故D错误.故选ABC.
学生用书 第139页
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