资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第3讲　等式与不等式
【课程标准】　1.梳理等式的性质.　2.会比较两个数(式)的大小.　3.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，并能简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
2.等式的性质
性质 内容 注意
性质1(对称性) 如果a＝b，那么b＝a 可逆
性质2(传递性) 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 单向
性质3(可加(减)性) 如果a＝b，那么a±c＝b±c 可逆
性质4(可乘性) 如果a＝b，那么ac＝bc 单向
性质5(可除性) 如果a＝b，c≠0，那么＝ 可逆
3.不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性 a＞b b＜a 可逆
传递性 a＞b，b＞c a＞c 同向
可加性 a＞b a＋c＞b＋c 可逆
可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc； a＞b，c＜0 ac＜bc c的符号
同向可加性 a＞b，c＞d a＋c＞b＋d 同向
同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd 同向， 同正
可乘方性 a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥2) 同正
可开方性 a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2) 同正
【常用结论】
1.倒数性质
若ab＞0，且a＞b ＜；
若ab＜0，且a＞b ＞；
若a＞b＞0，0＜c＜d ＞.
2.有关分数的性质
若b＞a＞0，m＞0，则
(1)＜＜(a－m＞0)(真分数越加越大，越减越小).
(2)＜＜(a－m＞0)(假分数越加越小，越减越大).
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种
B.若＞1，则a＞b
C.同向不等式具有可加性和可乘性
D.两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母
答案：AD
2.(链接人教A必修一P38例1)若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有(　　)
A.M ＞N B.M ≥N
C.M＜N D.M≤N
答案：A
解析：因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1＞0，所以M ＞N.故选A.
3.(链接人教A必修一P43T8)如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是(　　)
A.＜ B.ab＜b2
C.ab＞a2 D.－＜－
答案：D
解析：因为a＜b＜0，由不等式的性质可知，－a＞－b＞0，ab＞0，所以－＜－，所以＞，故A错误，D正确；由a＜b＜0，可得ab＞b2＞0，a2＞ab＞0，故B、C错误.故选D.
4.(链接人教A必修一P43T5)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是　　　　.
答案：(－5，－1)
解析：由b∈(2，3)得－6＜－2b＜－4.又1＜a＜3，故－5＜a－2b＜－1.
学生用书 第9页
考点一　比较数(式)的大小 自主练透
1.已知a∈R，M＝(2a＋1)(a－3)，N＝(a－6)(a＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)
A.M＜N B.M ＞N
C.M≤N D.M ≥N
答案：B
解析：因为M－N＝(2a＋1)(a－3)－[(a－6)(a＋3)＋10]＝a2－2a＋5＝(a－1)2＋4＞0，所以M ＞N.故选B.
2.若P＝＋，Q＝＋(m＞－5)，则P，Q的大小关系为(　　)
A.P＜Q B.P＝Q
C.P ＞Q D.不能确定
答案：C
解析：P2＝2m＋13＋2，Q2＝2m＋13＋2.因为(m＋6)(m＋7)－(m＋5)(m＋8)＝2＞0，所以(m＋6)(m＋7)＞(m＋5)(m＋8)，所以＞，所以P2＞Q2，所以P＞Q.故选C.
【教师备选】　设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
答案：B
解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B.
3.(一题多解)若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
答案：C
解析：法一：易知a，b，c都是正数，＝＝log98＜1，所以a＜b；＝＝log2532＞1，所以a＞c.即c＜a＜b.故选C.
法二：构造函数f(x)＝，则f'(x)＝，由f'(x)＞0，得0＜x＜e；由f'(x)＜0，得x＞e.所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(3)＞f(4)＞f(5).又＝＝，所以f(2)＝f(4)，即f(3)＞f(2)＞f(5)，即b＞a＞c.故选C.
数(式)比较大小的常用方法 1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论. 2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论. 3.构造函数法：利用函数的单调性比较大小.
考点二　不等式的性质 师生共研
(1)(多选)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A.若a＜b＜0，则＜
B.若a＞｜b｜＞0，则a2＞b2
C.若a＞0＞b，则ab＜a2
D.若c＞a＞b＞0，则＜
(2)设a，b∈R，若－1＜b＜a＜0，则下列不等式中错误的是(　　)
A.a2＜b2 B.＜
C.ab＜b2 D.a＋b＞－1
答案：(1)BCD　(2)D
解析：(1)对于A，因为a＜b＜0，则－＝＞0，故＞，故A错误；对于B，由于a＞｜b｜＞0，故a2＞b2，故B正确；对于C，若a＞0＞b，由不等式的基本性质可得a2＞ab，故C正确；对于D，若c＞a＞b＞0，则－＝＝＜0，所以＜，故D正确.故选BCD.
(2)因为－1＜b＜a＜0，则1＞－b＞－a＞0，则b2＞a2，故A正确；因为－1＜b＜a＜0，则1＞－b＞－a＞0，即＞，故B正确；因为－1＜b＜a＜0，则a－b＞0，b＜0，则ab－b2＝b＜0，故C正确；取b＝－0.75，a＝－0.5，a＋b＝－1.25，所以a＋b＜－1，故D错误.故选D.
利用不等式性质判断命题真假的方法 1.直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可. 2.特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 3.利用函数的单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
对点练1.(多选)设a，b，c∈R，则下列选项中正确的是(　　)
A.若a＞b，则a－2 026＞b－2 026
B.若a2＞b2，则a＞b
C.若a＞b，则a3＞b3
D.若a＞b＞c＞0，则＞
答案：ACD
解析：对于A，由a＞b，得a－2 026＞b－2 026，故A正确；对于B，取a＝－2，b＝1满足a2＞b2，而a＞b不成立，故B错误；对于C，由a＞b，得a－b＞0，则a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)［＋b2］＞0，故C正确；对于D，若a＞b＞c＞0，则a－b＞0，a－c＞0，b－c＞0，且a－c＞a－b，所以＞＞0. 又b＞c＞0，由可乘性知，＞，故D正确.故选ACD.
对点练2.(多选)若＜＜0，则下列不等式正确的是(　　)
A.＜ B.｜a｜＋b＞0
C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2
答案：AC
解析：由＜＜0，可知b＜a＜0.对于A，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0，则＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0，故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，所以b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2＞ln a2，故D错误.故选AC.
考点三　不等式性质的综合应用师生共研
(一题多变)(人教A必修一P43T5)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围.
解：因为2＜a＜3，－2＜b＜－1，所以4＜2a＜6，
所以2＜2a＋b＜5，
所以2a＋b的取值范围是(2，5).
学生用书 第10页
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变设问)若本例条件不变，则3a－2b的取值范围是　　　　，的取值范围是　　　　　　.
答案：(8，13)　(－3，－1)
解析：由例题知，因为6＜3a＜9，－4＜2b＜－2，所以2＜－2b＜4，所以8＜3a－2b＜13.所以3a－2b的取值范围是(8，13).又因为－2＜b＜－1，所以－1＜＜－，＜－＜1.又2＜a＜3，所以×2＜－＜1×3，即1＜－＜3，所以－3＜＜－1，所以的取值范围是(－3，－1).
2.(变条件、变设问)若将本例中条件改为“－1＜a＋b＜4，2＜a－b＜3”，则3a＋2b的取值范围是　　　　.
答案：(－，)
解析：设3a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，则即3a＋2b＝(a＋b)＋(a－b).又因为－1＜a＋b＜4，2＜a－b＜3，所以－＜(a＋b)＜10，1＜(a－b)＜，所以－＜(a＋b)＋(a－b)＜，即－＜3a＋2b＜，所以3a＋2b的取值范围是(－，).
3.(变条件、变设问)若将本例中条件改为“3＜a＋b＜4，1＜a－b＜2”，则2ab的取值范围是　　　　.
答案：
解析：因为
则5＜4ab＜15，所以＜2ab＜.所以2ab的取值范围是(，).
根据不等式的性质求代数式取值范围的策略 1.已知a，b的取值范围，求解由ma，nb(mn≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时，可直接利用不等式的性质求解，但要严格运用不等式的性质，并注意其成立的条件. 2.已知m1a＋n1b，m2a＋n2b的取值范围，求解形如或可化为m3a＋n3b(mini≠0，i＝1，2，3)的范围时，可利用待定系数法与整体代换法一次性运用不等式的性质求得取值范围.注意：此时不可直接利用不等式的性质求解，因为同向不等式在两边相加时，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围.
课时分层测评3　等式与不等式
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系为(　　)
A.M＜N B.M＞N
C.M＝N D.M≥N
答案：B
解析：因为0＜a1＜1，0＜a2＜1，所以－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，所以M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)＞0，所以M ＞N.故选B.
2.设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是(　　)
A.若a＞b，则a＋c＞b＋c
B.若a＞b，则ac＞bc
C.若＜，则a＞b
D.若a2＞b2，则a＞b
答案：A
解析：对于A，显然正确；对于B，当c＜0时，有ac＜bc，故B错误；对于C，当a＜0，b＞0时，满足＜，但此时a＜b，故C错误；对于D，当a＝－3，b＝2时，满足a2＞b2，但此时a＜b，故D错误.故选A.
3.(2025·T8联考)已知实数a＜b，则“m＞0”是“＜”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：D
解析：已知实数a＜b，若m＞0，例如a＝－2，b＝－1，m＝2，得＞，所以“m＞0”不是“＜”的充分条件；若＜，例如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0，所以“m＞0”不是“＜”的必要条件.所以“m＞0”是“＜”的既不充分也不必要条件.故选D.
【教师备选】　已知x，y是实数，则“＞1”是“x＜y”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：D
解析：若y＝－4，x＝－3，满足＞1，此时x＞y，所以“＞1”不是“x＜y”的充分条件，反过来，若x＝－1，y＝1，满足x＜y，此时＝－1＜1，所以“＞1”也不是“x＜y”的必要条件，所以“＞1”是“x＜y”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.对于任意实数a，b，c，d，下列命题中错误的是(　　)
A.若ac2＞bc2，则a＞b
B.若bc－ad≥0，bd＞0，则≤
C.若a＜b＜0，则＞
D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
答案：C
解析：对于A，若ac2＞bc2，则c2＞0，所以a＞b，故A正确；对于B，若bc－ad≥0，bd＞0，则≥0，化为≥，可得≤，故B正确；对于C，若a＜b＜0，则a2＞b2＞0，ab＞0，可得－＝＜0，故＜，故C错误；对于D，若a＞b，＞，则－＝＞0，所以ab＜0，所以a＞0，b＜0，故D正确.故选C.
5.已知a＞b＞0＞c，则(　　)
A.ac＞bc
B.a(b－c)＜b(a－c)
C.＜
D.a2＋b2＋c2＞2ab－2ac＋2bc
答案：C
解析：对于A，a＞b，c＜0，则ac＜bc，故A错误；对于B，a＞b＞0＞c，则c＜0，b－a＜0，则a(b－c)－b(a－c)＝c(b－a)＞0，故B错误；对于C，a＞b＞0＞c，则a＋c2＞b＋c2＞0，则＜，故C正确；对于D，a2＋b2＋c2－(2ab－2ac＋2bc)＝(a＋c)2＋b2－2b(a＋c)＝(a＋c－b)2，故存在a＝2，b＝1，c＝－1，使得a2＋b2＋c2－(2ab－2ac＋2bc)＝0，故D错误.故选C.
6.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0且a＞b＞c，则下列选项错误的是(　　)
A.bc＞ac
B.a2＞c2
C.2ac－2bc＜a2－b2
D.(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2
答案：B
解析：因为a＋b＋c＝0且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，对于A，bc－ac＝(b－a)c＞0，故bc＞ac，故A正确；对于B，不妨设a＝1，b＝0，c＝－1，此时满足a＋b＋c＝0且a＞b＞c，但a2＝c2，故B错误；对于C，因为a＋b＋c＝0且a＞b＞c，所以a－b＞0，a＋b－2c＝a－c＋b－c＞0，a2－b2＋2bc－2ac＝(a＋b)(a－b)＋2c(b－a)＝(a－b)(a＋b－2c)＞0，所以2ac－2bc＜a2－b2，故C正确；对于D，2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝2(a－b)2＋2(b－c)2－[(a－b)＋(b－c)]2＝2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－b)2－2(a－b)(b－c)－(b－c)2＝(a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)＝[(a－b)－(b－c)]2＝(a＋c－2b)2.因为a＋b＋c＝0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝(－b－2b)2＝9b2≥0，故(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2，故D正确.故选B.
7.(多选)已知1＜a＜2且－5＜b＜3，则(　　)
A.－4＜a＋b＜5 B.－1＜a－b＜6
C.－5＜ab＜6 D.－5＜＜3
答案：AD
解析：对于A，因为1＜a＜2且－5＜b＜3，所以1－5＜a＋b＜2＋3，即－4＜a＋b＜5，故A正确；对于B，取a＝1.8，b＝－4.8，则a－b＝6.6＞6，故B错误；对于C，取a＝1.8，b＝－4，则ab＝－7.2＜－5，故C错误；因为1＜a＜2，所以5＜5a＜10.又－5＜b＜3，所以0＜b＋5a＜13，所以－＝＞0，所以－5＜.因为1＜a＜2，所以－6＜－3a＜－3. 又－5＜b＜3，所以－11＜b－3a＜0，所以－3＝＜0，所以＜3，综上，－5＜＜3，故D正确.故选AD.
8.(多选)(2025·山东临沂二模)已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是(　　)
A.＜ B.ab2＞cb2
C.a＋b＞c D.a2＋c2＞b2
答案：AD
解析：对于A，－＝＝.因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即＜0，所以＜，故A正确；对于B，取a＞b＝0＞c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1＞b＝－2＞c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，若a＞b＞c≥0，则a2＋c2＞b2显然成立，若0≥a＞b＞c，则a2＋c2＞b2显然成立，综上所述，只要a＞b＞c，就一定有a2＋c2＞b2，故D正确.故选AD.
9.已知b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水就变甜了.试根据此事实提炼一个不等式：当b＞a＞0且m＞0时，　　　　　　.
答案：＞
解析：糖水变甜了，意味着含糖量变大了，即浓度变高了，所以当b＞a＞0且m＞0时，＞.
10.(开放题)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a2＞b2＞c2，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　　　　　.
答案：－3，－1，0(答案不唯一)
解析：令a＝－3，b＝－1，c＝0，则a2＞b2＞c2，此时a＋b＝－4＜0，所以a＋b＞c是假命题.
(每小题5分，共20分)
11.(2025·福建三明三模)已知a，b∈R，则“＋≤1”是“a2＋b2≤1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若＋≤1，则a2＋b2≤a2＋b2＋2＝≤1，充分性成立；设a＝b＝，则有a2＋b2＝＋＝1满足a2＋b2≤1，此时有＋＝＞1，不满足＋≤1，故必要性不成立，综上所述，“＋≤1”是“a2＋b2≤1”的充分不必要条件.故选A.
12.(多选)已知实数x，y满足－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，则(　　)
A.－1＜x＜2 B.－2＜y＜1
C.－3＜x＋y＜3 D.－1＜x－y＜3
答案：ABD
解析：对于A， x＝[(x＋2y)＋2(2x－y)]∈(－1，2)，故A正确；对于B， y＝(x＋2y)－(2x－y)∈(－2，1)，故B正确；对于C， x＋y＝∈(－2，2)，故C错误；对于D， x－y＝∈(－1，3)，故D正确.故选ABD.
13.(多选)(2025·江苏常州金坛区二模)若＜＜0，则(　　)
A.＜ B.ac＜bc
C.＞0 D.0＜＜1
答案：ACD
解析：由＜＜0得c≠0，当c＞0时，由＜＜0得＜＜0，即b＜a＜0，可得0＜＜1.当c＜0时，由＜＜0得＞＞0，即b＞a＞0，所以0＜＜1，故 A、 D正确；由＜＜0得－＝＜0，且a与b同号，ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，c(a－b)＞0，得ac＞bc，故B错误，故C正确.故选ACD.
14.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　　　　.
答案：(－3，－1)
解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即c＜－a，得＜－1，所以－3＜＜－1，即的取值范围是(－3，－1).
(每小题5分，共10分)
15.(新定义)设a，b∈R，定义运算“ ”和“ ”如下：a b＝a b＝若m n≥2，p q≤2，则(　　)
A.mn≥4且p＋q≤4 B.m＋n≥4且pq≥4
C.mn≤4且p＋q≥4 D.m＋n≤4且pq≤4
答案：A
解析：结合定义及m n≥2可得即n≥m≥2或m＞n≥2，所以mn≥4，m＋n≥4；结合定义及p q≤2，可得即q＜p≤2或p≤q≤2，所以pq≤4，p＋q≤4.故选A.
16.(创新交汇)两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合A＝(x＞0，y＞0且x≠y)中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜(　　)
A.x3，x2y B.x3，xy2
C.x3，y3 D.x2y，xy2
答案：C
解析：对于A，若先取者取x3和x2y，则(x3＋x2y)－＝x2－y2＝(x＋y)＝，根据x＞0，y＞0且x≠y，不能确定大小关系，故A错误；对于B，若先取者取x3和xy2，则－＝x－y＝，根据x＞0，y＞0且x≠y，不能确定大小关系，故B错误；对于C、D，若先取者取x3和y3，则－(x2y＋xy2)＝x2－y2＝＝，根据x＞0，y＞0且x≠y，所以上式大于0，故C正确，D错误.故选C
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑