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第18讲　导数与函数的单调性
【课程标准】　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.　2.能利用导数研究函数的单调性.　3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
f'(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
[微提醒]　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求出导数f'(x)的零点；
第三步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【常用结论】
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)＜0有解.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性
B.在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减
C.若函数f(x)在定义域上都有f'(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增
D.函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数
答案：ABD
2.(链接人教A选择性必修二P86例2)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列判断正确的是(　　)
A.在区间(－2，1)上f(x)单调递增
B.在区间(2，3)上f(x)单调递减
C.在区间(4，5)上f(x)单调递增
D.在区间(3，5)上f(x)单调递减
答案：BC
解析：在区间(－2，1)上，当x∈时，f'(x)＜0，当x∈时，f'(x)＞0，故f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误；在区间(3，5)上，当x∈(3，4)时，f'(x)＜0，当x∈(4，5)时，f'(x)＞0，故f(x)在区间(3，4)上单调递减，在区间(4，5)上单调递增，故C正确，D错误；在区间(2，3)上，f'(x)＜0，所以f(x)单调递减，故B正确.故选BC.
3.(链接人教A选择性必修二P86例1)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上的单调性是(　　)
A.单调递增
B.单调递减
C.在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减
D.在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增
答案：A
解析：因为f'(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上单调递增.故选A.
4.(链接人教A选择性必修二P87例3)设f(x)＝2x2－x3，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A.(0，) B.(，＋∞)
C.(－∞，0) D.(－∞，0)和(，＋∞)
答案：D
解析：由f(x)＝2x2－x3，得f'(x)＝4x－3x2＝x(4－3x).令f'(x)＝0，得x＝0或x＝，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示.
x (－∞，0) 0 (0，) (，＋∞)
f'(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 单调递减 单调递增 单调递减
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和(，＋∞).故选D.
学生用书 第72页
考点一　不含参数的函数的单调性 自主练透
1.设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f'(x)的图象可能是(　　)
答案：A
解析：由f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)单调递增，则f'(x)≥0，故排除C、D；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减，则导函数值f'(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B.故选A.
2.下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
答案：B
解析：对于A，f'(x)＝2cos 2x，f'＝－1＜0，不符合题意；对于B，f'(x)＝(x＋1)ex＞0，符合题意；对于C，f'(x)＝3x2－1，f'＝－＜0，不符合题意；对于D，f'(x)＝－1＋，f'(2)＝－＜0，不符合题意.故选B.
3.函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的单调递增区间是(　　)
A.(0，1) B.
C. D.
答案：D
解析：函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的定义域是，且f'(x)＝－2x＋1＝＝.令f'(x)＞0，解得＜x＜，所以f(x)的单调递增区间是.故选D.
4.已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0，2π]，则f(x)的单调递增区间是　　　　　.
答案：(0，)和(，2π)
解析：根据题意f(x)＝xsin x＋cos x，x∈[0，2π]，则f'(x)＝xcos x，当x∈(0，)∪(，2π)时，f'(x)＞0，当x∈(，)时，f'(x)＜0，故f(x)的单调递增区间为(0，)和(，2π).
求不含参数函数单调区间的步骤与注意点 1.步骤：(1)求函数的定义域；(2)求f(x)的导数f'(x)；(3)在定义域内解不等式：f'(x)＞0的解集即为单调递增区间，f'(x)＜0的解集即为单调递减区间. 2.注意点：(1)不能忽视函数定义域；(2)当函数有多个单调递增区间(或单调递减区间)时，不能用“∪”连接，要用“逗号”或“和”隔开；(3)当不等式f'(x)＞0(或f'(x)＜0)不可解时，可通过二次求导，分析f'(x)的零点情况，借助图象等得到其解集，进而得到单调区间.
考点二　含参数的函数的单调性 (高考超重点)师生共研
已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x.讨论f(x)的单调性.
解：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝，
当a≤0时，f'(x)＞0恒成立，f(x)在(0，＋∞)单调递增；
当a＞0时，令g(x)＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4，
(1)当Δ≤0即0＜a≤2时，f'(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)单调递增.
(2)当Δ＞0即a＞2时，f'(x)＝，
由f'(x)＞0，得0＜x＜或x＞，
由f'(x)＜0，得＜x＜，
所以f(x)在(0，)，(，＋∞)单调递增，在(，)单调递减.
综上：当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)单调递增；
当a＞2时，f(x)在(0，)，(，＋∞)单调递增；f(x)在(，)单调递减.
讨论含参函数单调性的方法 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
学生用书 第73页
对点练1.已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R，讨论f(x)的单调区间.
解：函数f(x)＝ex－ax－a的定义域是R，
求导得f'(x)＝ex－a，
当a≤0时，f'(x)＞0恒成立，
即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
当a＞0时，令f'(x)＝ex－a＞0，解得x＞ln a，
令f'(x)＝ex－a＜0，解得x＜ln a，
即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；
当a＞0时，f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，单调递增区间是(ln a，＋∞).
考点三　函数单调性的应用 多维探究
角度1　比较大小或解不等式
(1)(多选)下列不等式成立的是(　　)
A.2ln ＜ln 2 B.ln ＜ln
C.5ln 4＜4ln 5 D.π＞eln π
(2)已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)＞0，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案：(1)AD　(2)(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析：(1)设f(x)＝(x＞0)，则f'(x)＝，所以当0＜x＜e时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＞e时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减.因为＜2＜e，所以f＜f(2)，即2ln ＜ln 2，故A正确；对于B，因为＜＜e，所以f()＜f，即ln ＞ln ，故B不正确；对于C，因为e＜4＜5，所以f(4)＞f(5)，即5ln 4＞4ln 5，故C不正确；对于D，因为e＜π，所以f(e)＞f(π)，即π＞eln π，故D正确.故选AD.
(2)函数f(x)＝3x－sin x的定义域是R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－sin x为奇函数.又f'(x)＝3－cos x＞0，所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增.由不等式f(a)＋f(a2－2)＞0，得f(a2－2)＞－f(a)＝f(－a)，等价于a2－2＞－a，解得a＞1或a＜－2.
角度2　根据函数的单调性求参数(高考超重点)
(一题多变)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　)
A.e2 B.e
C.e－1 D.
答案：C
解析：根据题意可知，f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g'(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)＞g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C.
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件、变设问)在本例中，若“函数f(x)在区间(1，2)上存在单调递增区间”，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：(，＋∞)
解析：因为f(x)在(1，2)上存在单调递增区间，所以 x∈(1，2)，使f'(x)＞0有解，即x∈(1，2)时，不等式aex－＞0有解，即a＞，x∈(1，2)有解.由典例3解析可知，∈，所以a＞，即实数a的取值范围是(，＋∞).
2.(变条件、变设问)在本例中，若“函数f(x)在区间(1，2)上不单调”，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：(，)
解析：因为f(x)在(1，2)上不单调，f'(x)＝aex－，所以a＞0，且f″(x)＝aex＋＞0，所以当x∈(1，2)时，f'(x)＝0有解，即方程aex－＝0有解，即a＝在x∈(1，2)上有解.由典例3解析可知，∈(，)，所以实数a的取值范围是(，).
1.利用导数比较大小或解不等式的方法 利用导数比较大小或解不等式，其关键是构造函数，再根据单调性比较大小或解不等式. (1)比较大小时，要注意当自变量不在同一单调区间内时，应先利用函数的性质将其转化到同一单调区间上，再进行比较. (2)解不等式时，要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单调性去掉函数符号“f”. 2.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立. (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)＞0 (或f'(x)＜0)在该区间上存在解集.
对点练2.函数f(x)＝ex－e－x＋sin x，则不等式f(x)＞0的解集为(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(0，π) D.(－π，0)
答案：A
解析：对函数f(x)求导得f'(x)＝ex＋e－x＋cos x.因为ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，－1≤cos x≤1，所以f'(x)＞0，所以f(x)在R上单调递增.因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，即f(0)＝e0－e－0＋sin 0＝0，所以f(x)＞0的解集为(0，＋∞).故选A.
对点练3.(2025·山东聊城一模)已知函数f是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f＝x3＋ax2＋x＋2a，若f是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：要使奇函数f是增函数，则需要f在x＞0上单调递增，且2a≥0，当x＞0时，f'＝3x2＋2ax＋≥0恒成立.因为2a≥0，此时f'＝3x2＋2ax＋的对称轴x＝－≤0，所以只需6－a≥0即可，即0≤a≤6.故选B.
对点练4.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：(－3，0)∪(0，＋∞)
解析：根据题意知，f'(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故解得a＞－3且a≠0.
课时分层测评21　导数与函数的单调性
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.函数f＝的单调递增区间是(　　)
A. B.，
C.， D.
答案：A
解析：函数f＝的定义域是R，f'＝.由f'＞0可得2x－x2＞0，即x2－2x＜0，解得0＜x＜2，因此函数f.故选A.
2.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间是[－1，4]，则a＝(　　)
A.－1 B.1
C.－4 D.4
答案：C
解析：易知f'(x)＝x2－3x＋a，根据题意知f'(x)≤0的解集为[－1，4]，则－1与4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，故a＝(－1)×4＝－4.故选C.
3.已知f'(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案：D
解析：根据导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合.故选D.
4.已知函数f(x)＝ln x，且a＝f，b＝f，c＝f，则(　　)
A.a＞b＞c B.c＞a＞b
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
答案：B
解析：由f(x)＝ln x，得f'(x)＝ln x＋，当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.因为c＝f，0＜＜＜＜1，所以f＞f＞f，故c＞a＞b.故选B.
5.(多选)已知函数f的导函数f'的大致图象如图所示.下列结论正确的是(　　)
A.f在上单调递增
B.f在上单调递增
C.f既有极大值，也有极小值
D.曲线y＝f在x＝1处的切线斜率为3
答案：BCD
解析：由图可知，当x∈∪时，f'＜0；当x∈时，f'＞0.故f，上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；又函数f在x＝－1处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故C正确；因为f'＝3，所以曲线y＝f在x＝1处的切线斜率为3，故D正确.故选BCD.
6.(多选)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可以是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：BD
解析：f'(x)＝x－＝(x＞0)，令f'(x)＞0，得x＞3，令f'(x)＜0，得0＜x＜3，所以函数f(x)的单调递增区间是(3，＋∞)，单调递减区间是(0，3).因为函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，所以或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.故选BD.
7.已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是　　　　　.
答案：(－∞，1)(填(－∞，1]也可以)
解析：当x＜0时，f(x)＝－x－2，则f(x)在(－∞，0)上单调递减.当x≥0时，f(x)＝(x－2)ex，则f'(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex，当0≤x＜1时，f'(x)＜0，f(x)在[0，1)上单调递减.又(0－2)e0＝－0－2，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1)(或(－∞，1]).
8.若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在(，2)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：
解析：根据题意，h'＝－ax－2＜0在区间上有解，即a＞－上有解.设t＝，则t∈，故只需求f＝t2－2t在t∈上的最小值，而f＝t2－2t＝－1，当t＝1时，取得最小值－1，故得a＞－1.
9.(10分)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在(1，2)上为单调函数，求实数a的取值范围.
解：(1)f'(x)＝1－＝.
当a≤0时，显然f'(x)＞0(x≠0)，
这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f'(x)＝，
令f'(x)＝0，解得x＝±.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表：
x (－∞，－) － (－，0) (0，) (，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － － 0 ＋
f(x) 单调 递增 b－2 单调 递减 单调 递减 2＋b 单调 递增
所以f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.
(2)因为函数f(x)在(1，2)上为单调函数，故若f(x)在(1，2)上单调递增，则f'(x)≥0在x∈(1，2)时恒成立，所以x2－a≥0，即a≤x2在x∈(1，2)时恒成立，所以a≤1.
若f(x)在(1，2)上单调递减，则f'(x)≤0在x∈(1，2)时恒成立，所以x2－a≤0，即a≥x2在x∈(1，2)时恒成立，所以a≥4.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞).
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.已知函数f(x)＝ax－loga(x＋1)(a＞1)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1，e] B.(1，e)
C.[e，＋∞) D.(e，＋∞)
答案：B
解析：求导可得f'(x)＝axln a－.由题意f'(x)＝axln a－＜0有解，即axln a＜有解，即ax(x＋1)(ln a)2＜1有解.令g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2，因为a＞1，易知g(x)＝ax(x＋1)(ln a)2在(0，＋∞)单调递增，此时g(0)＝(ln a)2，所以(ln a)2＜1.又a＞1，ln a＞0，所以0＜ln a＜1，解得1＜a＜e.故选B.
11.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是　　　　.
答案：(0，1)
解析：f(x)的定义域是(0，＋∞)，f'(x)＝. 令φ(x)＝－ln x－1(x＞0)，φ'(x)＝ － － ＜0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，φ(x)＞0，即f'(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)＜0，即f'(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间是(0，1).
12.(15分)已知函数f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，讨论函数f(x)的单调性.
解：因为f(x)＝ax－(a＋1)ln x－，所以f'(x)＝a－＋＝＝，x＞0.
当a≤0时，令f'(x)＞0，得0＜x＜1，令f'(x)＜0，得x＞1，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0＜a＜1时，令f'(x)＞0，得0＜x＜1或x＞，令f'(x)＜0，得1＜x＜，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当a＝1时，f'(x)＝≥0恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，令f'(x)＞0，得0＜x＜或x＞1，
令f'(x)＜0，得＜x＜1，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0＜a＜1时，f(x)在(0，1)上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；
当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞1时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
(每小题5分，共10分)
13.(多选)若函数f(x)·ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的函数为(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝x－1
C.f(x)＝ D.f(x)＝ex
答案：AD
解析：令g(x)＝f(x)·ln x，x∈(0，＋∞).对于A，g(x)＝·ln x，x∈，则g'(x)＝＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，g(x)＝(x－1)ln x，x∈(0，＋∞)，则g'(x)＝ln x－＋1.又'＝＋＞0，g'(1)＝0，所以当0＜x＜1时，g'(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，当x＞1时，g'(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于C，g(x)＝·ln x，x∈，则g'(x)＝.又'＝－－＜0，所以g'(x)在定义域上单调递减，且g'(e)＝＜0，不符合题意；对于D，g(x)＝ex·ln x，x∈，则g'(x)＝ex·.令h(x)＝ln x＋，则h'(x)＝－＝，所以当x＞1时，h'(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增；当0＜x＜1时，h'(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减.所以h(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，h(x)min＝h(1)＝1＞0，所以g'(x)＝ex·＞0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意.故选AD.
14.(多选)已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示，则g(x)＝(　　)
A.在区间(0，1)上单调递增
B.在区间(1，4)上单调递减
C.在区间(1，)上单调递减
D.在区间(，4)上单调递减
答案：AC
解析：当x＝0或x＝2时，f(x)＝0，则函数g(x)＝的定义域是(－∞，0)∪(0，2)∪(2，＋∞)，排除B、D；g'(x)＝，由图易得，当x∈(0，1)时，f(x)＞f'(x)，即g'(x)＝＞0，所以函数g(x)＝在(0，1)上单调递增，故A正确；又由图象得，当x∈(1，)时，f(x)＜f'(x)，即g'(x)＝＜0，所以函数g(x)＝在(1，)上单调递减，故C正确.故选AC.
学生用书 第74页
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