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第23讲　三角恒等变换
第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【课程标准】　1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.　2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[微提醒]　(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况.(2)二倍角是相对的，如：的二倍角，3α是的二倍角.
2.辅助角公式
(1)asin α＋bcos α＝sin(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝.
(2)常见形式：sin x±cos x＝sin(x±)；sin x±cos x＝2sin(x±)；sin x±cos x＝2sin(x±).
【常用结论】
1.两角和与差公式的常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β＝1－＝－1.
2.降幂公式
sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.
3.升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α；
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2；1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.
4.其他常用公式
sin 2α＝＝；cos 2α＝＝.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B.两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角
C.公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立
学生用书 第104页
D.公式asin x＋bcos x＝sin中φ的取值与a，b的值无关
答案：BCD
2.(链接人教A必修一P229T6)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：D
解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin＝sin 30°＝.故选D.
3.(链接人教A必修一P218例3)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：C
解析：因为α是第三象限角，cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×＋×＝－.故选C.
4.(链接人教A必修一P219例4)＝　　　　.
答案：
解析：＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
考点一　和、差、倍角公式的基本应用(高考超重点) 自主练透
1.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan(α＋)＝(　　)
A.2＋1 B.2－1
C. D.1－
答案：B
解析：根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan(α＋)＝＝＝2－1.故选B.
2.已知0＜α＜π，cos＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sin α＝，所以sin(α－)＝(sin α－cos α)＝×＝.故选D.
3.(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A.－3m B.－
C. D.3m
答案：A
解析：由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m①.由tan αtan β＝2得＝2②，由①②得所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A.
【溯源教材10】
溯源 (人教A必修一P255T15(1))已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan αtan β的值.
透视 高考题与教材习题只是调换了结论与条件而已(都属于知二求一问题)，解决此类问题的关键是掌握公式及其常见变形，是较为经典的源于教材的题目.这就意味着在复习中，应注重对教材的关注、延伸、挖掘与应用.“2025 湖北武汉二调”又对这三者关系进行了这样考查：已知tan αtan β＝2，cos(α－β)＝，则cos(α＋β)＝　　　　. 答案：－ 解析：根据题意，tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β，由cos(α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－.
预测 (1)已知sin(α－β)＝，tan α＝2tan β，则sin(α＋β)＝　　　　. 答案：1 解析：由sin(α－β)＝得sin αcos β－cos αsin β＝①.由tan α＝2tan β得＝2，即sin αcos β＝2cos αsin β②，由①②得所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1. (2)若sin α－cos β＝，cos α＋sin β＝，则sin(α－β)＝　　　　. 答案： 解析：由题意可得，＝sin2α＋cos2β－2sin αcos β＝，＝cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝，两式相加得，2＋2cos αsin β－2sin αcos β＝，即sin＝.
(2)(多选)(2025·山东聊城三模)已知sin＝－，sin αcos β＝，则(　　)
A.cos αsin β＝－
B.sin＝
C.3tan α＝2tan β
D.sin 2αsin 2β＝
答案：BC
解析：对于A，已知sin＝sin αcos β－cos αsin β＝－，sin αcos β＝，则cos αsin β＝＋＝，故A错误；对于B，sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，故B正确；对于C，＝＝＝，所以3tan α＝2tan β，故C正确；对于D，sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×2cos βsin β＝4sin αcos β·cos αsin β＝4××＝，故D错误.故选BC.
【教师备选】　(多选)(2025 江苏南京、盐城一模)已知cos αcos β＝，cos＝，则(　　)
A.sin αsin β＝ B.cos＝
C.tan αtan β＝－ D.sin 2αsin 2β＝
答案：BC
解析：由cos＝cos αcos β－sin αsin β＝，且cos αcos β＝，则sin αsin β＝－，故A错误；由cos＝cos αcos β＋sin αsin β＝－＝，故B正确；由tan αtan β＝＝＝－，故C正确；由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4××＝－，故D错误.故选BC.
利用三角函数公式解题的基本策略
1.要熟记公式的结构特征和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”.
2.注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用.
3.注意配方法、因式分解和整体代换思想的运用.
考点二　公式的逆用与辅助角公式的应用 多维探究
角度1　 公式的灵活应用(高考超重点)
(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－ β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
学生用书 第105页
(2)已知α， β∈(－，0)，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋ β＝　　　　.
答案：(1)B　(2)－
解析：(1)因为sin(α－ β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝，则sin(α＋ β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋ β)＝1－2×＝.故选B.
(2)由tan α＋tan β＋tan αtan β＝，得tan(α＋ β)＝＝.又α， β∈(－，0)，则α＋ β∈，所以α＋ β＝－.
角度2　辅助角公式的应用
(1)(一题多解)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin(θ＋)＝1，则sin(θ＋)＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ时，f(x)取得最大值，则cos等于(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：(1)B　(2)C
解析：(1)法一(辅助角)：因为sin θ＋sin(θ＋)＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)＝1，所以sin(θ＋)＝.故选B.
法二(角的配凑)：因为sin θ＋sin＝sin(θ＋－)＋sin(θ＋＋)＝sin(θ＋)cos－cos(θ＋)sin ＋sin(θ＋)cos＋cos(θ＋)sin ＝2sin(θ＋)·cos＝sin(θ＋)＝1，所以sin(θ＋)＝.故选B.
(2)f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝，sin φ＝，cos φ＝.因为当x＝θ时，f(x)取得最大值，所以θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ－φ，k∈Z，所以cos＝cos(＋2kπ－φ＋)＝cos＝cos cos φ＋sin sin φ＝－×＋×＝.故选C.
三角函数公式的灵活应用的技巧
1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
2.tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注意公式的正用、逆用和变形使用.
3.辅助角公式的实质是两角和与差正、余弦公式的逆用，对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ 的值如何求要清楚.
注意：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造出适合公式的形式.
对点练1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则(　　)
A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1
C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1
答案：C
解析：sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin(α＋β＋)＝2sin β·cos(α＋)，所以sin(α＋)cos β＋sin βcos(α＋)＝2sin βcos(α＋)，整理得sin(α＋)cos β－sin βcos(α＋)＝0，即sin(α＋－β)＝0，所以α－β＋＝kπ，k∈Z，所以tan(α－β)＝tan(kπ－)＝－1.(也可由已知条件令α＝0，β＝，和α＝－，β＝0排除得解)故选C.
对点练2.化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝　　　　.
答案：1
解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
对点练3.(交汇融合)若函数f(x)＝2sin x＋cos x－，x∈(0，π)的两个零点分别为x1和x2，则cos(x1－x2)＝　　　　.
答案：
解析：函数f(x)＝2sin x＋cos x－＝sin(x＋φ)－，其中锐角φ由tan φ＝确定.由f(x1)＝f(x2)＝0，得sin(x1＋φ)＝sin(x2＋φ)＝，而x1＋φ，x2＋φ∈(φ，π＋φ)，因此x1＋φ＋x2＋φ＝π，即φ＝－，则sin(x1＋－)＝，即sin(＋)＝，于是cos＝，所以cos(x1－x2)＝2cos2－1＝.
考点三　角的变换问题 师生共研
(1)已知α∈，β∈，若sin(α＋β)＝，cos β＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知sin＝，α∈，则sin等于(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：(1)C　(2)D
解析：(1)因为α∈，β∈，sin(α＋β)＝＞0，cos β＝，所以α＋β∈，则sin β＝＝，cos(α＋β)＝－＝－，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝×－×＝.故选C.
(2)α∈，故α＋∈，所以cos(α＋)＜0.又sin＝，故cos＝－，所以＝sin(α＋)cos－cossin ＝×－× ＝ .故选D.
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝＋，＋α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等.
注意：转化与化归思想是进行三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角、函数名称、运算结构的差异，寻求联系，实现转化.
对点练4.(2025·广东深圳二模)若cos＝，α∈，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为α∈，则＜α＋＜，所以sin(α＋)＝＝＝，因此sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.故选A.
对点练5.已知角α，β满足cos β＝，cos αcos(α＋β)＝，则cos(2α＋β)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝，结合cos αcos(α＋β)＝，可得sin(α＋β)·sin α＝－＝，所以cos(2α＋β)＝cos(α＋α＋β)＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β)＝－＝.故选C.
课时分层测评33　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.1
答案：B
解析：sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77°＝sin(77°＋43°)＝sin 120°＝.故选B.
2.已知sin α＝，α∈(，π)，则tan(－α)＝(　　)
A.－7 B.－
C. D.7
答案：D
解析：因为sin α＝，α∈(，π)，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝－，tan(－α)＝＝＝7.故选D.
3.(2025·浙江温州一模)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝(　　)
A. B.－
C.5 D.－5
答案：C
解析：sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，两式相减得2cos αsin β＝，两式相加得2sin αcos β＝，所以＝＝5，即＝5.故选C.
4.(2025·安徽江淮十校联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：D
解析：因为sin 2α＝sin［2(α＋)－］＝－cos(2α＋)，又cos＝cos 2＝2cos2(α＋)－1＝2×－1＝－，所以sin 2α＝.故选D.
5.(2025·山东泰安一模)已知tan＝3，则cos 2α＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.
答案：C
解析：根据题意，tan＝＝3，解得tan α＝－2，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.故选C.
6.已知α，β∈，若sin＝，cos(β－)＝，则sin(α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin＝－，所以sin(α－β)＝－sin［(α＋)－(β－)］＝－×＋×＝.故选A.
7.(多选)下列等式能够成立的为(　　)
A.sin 15°cos 15°＝
B.sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝1
C.cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝－1
D.sin 15°＋cos 15°＝1
答案：BC
解析：对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°＝sin (75°＋15°)＝sin 90°＝1，故B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°＝cos 105°cos 75°－sin 105°sin 75°＝cos(105°＋75°)＝cos 180°＝－1，故C正确；对于D，sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝，故D错误.故选BC.
8.(多选)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　　)
A.tan α＝－ B.sin 2α＝
C.cos 2α＝ D.tan 2α＝－
答案：AC
解析：cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝.因为α∈，所以sin α＝，cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－.故选AC.
9. －＝　　　　.
答案：4
解析：原式＝ ＝＝
＝ ＝4.
10.(1)(原创)已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则tan 2α的值为　　　　.
(2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin(2α＋β)的值为　　　　.
答案：(1)－1　(2)－
解析：(1)根据题意，tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1.
(2)因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝＝.因为0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π.因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝－.
(11、12题，每小题5分，共10分)
11.(2025·广东佛山二模)若α＋β＝(α≠＋kπ，β≠＋kπ，k∈Z)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.2
答案：D
解析：因为α＋β＝，则tan＝tan ＝tan(π＋)＝tan ＝1，则tan＝，所以＝1，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β，所以＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝1＋1＝2.故选D.
12.(多选)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则(　　)
A.cos β＝ B.sin β＝
C.cos(α－β)＝ D.sin(α－β)＝－
答案：AC
解析：因为α∈(0，)，cos α＝，所以sin α＝.又α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－＋＝，故A正确；sin β＝，故B错误；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，故C正确；sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，故D错误.故选AC.
13.(15分)已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝.
(1)(一题多解)证明：tan α＋5tan β＝0；
(2)计算的值.
解：(1)证明：法一：由条件sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，
得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sin αcos β－2cos αsin β＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
法二：由条件sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，
即sin αcos β－cos αsin β＝，
sin αcos β＋cos αsin β＝，
得sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
(2)由于tan(α－β)＝ tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
所以
＝
＝
＝－＝.
(每小题5分，共10分)
14.(2025·T8联考)若cos α＋cos β＝，cos＝－，其中α，β∈，则sin α＋sin β＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：令sin α＋sin β＝t①，因为cos α＋cos β＝②，所以由①2＋②2，得2＋2cos＝t2＋.又cos＝－，故t2＝.又t＞0，所以t＝.故选A.
15.(2025·浙江杭州二模)若sin x＋cos x＝2sin α，sin xcos x＝sin2β，则(　　)
A.4cos22α＝cos22β B.cos22α＝4cos22β
C.4cos 2α＝cos 2β D.cos 2α＝4cos 2β
答案：A
解析：将sin x＋cos x＝2sin α平方得1＋2sin xcos x＝4sin2α，结合sin xcos x＝sin2β可得1＋2sin2β＝4sin2α，即1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos 2α－cos 2β＝2－＝1＋2sin2β－4sin2α＝0，即2cos 2α＝cos 2β，故C、D错误；由2cos 2α＝cos 2β两边平方可得4cos22α＝cos22β，故A正确，B错误.故选A.
学生用书 第106页
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