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第34讲　平面向量的数量积
【课程标准】　1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.　2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.　3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.　5.能用坐标表示平面向量垂直.　6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞.
(2)范围：夹角θ的范围是[0，π].当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线且反向.
2.平面向量的数量积
(1)定义：两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.
(2)投影向量：①如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
学生用书 第166页
②设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是｜a｜cos θ e.
(3)运算律
①a·b＝b·a(交换律).
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
[微提醒]　向量数量积运算不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c)；也不满足消去律，即a·b＝a·c / b＝c.
3.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝＜a，b＞.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 ｜a｜＝ ｜a｜＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
｜a·b｜与 ｜a｜｜b｜ 的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜ ｜x1x2＋y1y2｜≤
[微提醒]　a⊥b a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.
【常用结论】
1.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
2.有关向量夹角的两个结论
(1)两向量a与b的夹角为锐角 a·b＞0且a与b不共线.
(2)两向量a与b的夹角为钝角 a·b＜0且a与b不共线.
3.向量a在向量b上的投影向量为.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.两个向量的夹角的范围是
B.向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量
C.若非零向量a，b满足｜a·b｜＝｜a｜｜b｜，则a∥b
D.若a2＋b2＝0，则a＝b＝0
答案：CD
2.(链接人教A必修二P18例10)已知｜a｜＝5，｜b｜＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ等于(　　)
A.45° B.135°
C.－45° D.30°
答案：A
解析：cos θ＝.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝45°.故选A.
3.(链接人教A必修二P23T11)已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝2，则｜a＋2b｜＝　　　　.
答案：2
解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝2，｜a＋2b｜＝＝2.
4.(链接人教A必修二P36T10)已知a＝，则与a垂直的单位向量的坐标为　　　　　　　　.
答案：或
解析：设与a垂直的单位向量e＝(x，y)，则于是e＝或e＝.
考点一　平面向量数量积的基本运算 自主练透
1.(2025·八省适应性测试)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
答案：B
解析：因为a＝，b＝，所以a－b＝，所以a·＝0×＋1×1＝1.故选B.
2.已知向量a，b夹角的余弦值为－，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，则(a－b)·(b－2a)＝(　　)
A.－36 B.－12
C.6 D.36
答案：A
解析：(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×(－)－1－2×16＝－36.故选A.
3.(一题多解)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 ＝(　　)
A. B.3
C.2 D.5
答案：B
解析：法一：以{，}为基底向量，可知｜｜＝｜｜＝2，＝0，则＋＋，＋＝－＋，所以＝－＋＝－1＋4＝3.故选B.
法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)，所以＝－1＋4＝3.故选B.
4.如图，在☉C中，弦AB的长度为4，则·＝　　　　.
答案：8
解析：取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，.所以＝｜｜·｜｜cos∠BAC＝｜｜｜｜＝｜｜2＝8.
计算平面向量数量积的主要方法
1.定义法：直接使用数量积的定义求解，即a·b＝cos θ(θ是a与b的夹角).
2.坐标法：若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解；若未知向量的坐标，且题中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等方便建系的图形，可尝试建立直角坐标系，利用a·b＝x1x2＋y1y2 求解.
3.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.
4.几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解.
考点二　平面向量数量积的应用(高考超重点) 多维探究
角度1　向量的模
(1)(2025·河南洛平许济二模)已知向量a＝，b＝，c＝a＋tb，若＝2，则正实数t的值为(　　)
A.1 B.
C.2 D.3
(2)(2025·山东烟台一模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则＝(　　)
A. B.
C. D.2
答案：(1)B　(2)C
解析：(1)因为a＝，b＝，c＝a＋tb，所以c＝.又＝2，所以＝2，解得t＝或t＝－，所以正实数t的值为.故选B.
(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，所以＋，则＝.故选C.
角度2　向量的夹角与垂直
(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　 )
A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1
C.λμ＝1 D.λμ＝－1
答案：D
解析：因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝，由⊥，可得＝0，即＋＝0，整理得，λμ＝－1.故选D.
【溯源教材18】
溯源 (人教A必修二P60T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1).当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
透视 教材习题和高考题类似，都是根据向量垂直的充要条件求参数，其一般方法为根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.2024·新课标Ⅰ卷也进行了类似的考查：已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案：D 解析：b－4a＝(2，x－4)，因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，则4＋x(x－4)＝0，解得x＝2.故选D.
预测 已知向量a＝(1，－1)，b＝(－3，1)，若ka＋b与a－b垂直，则实数k的值为　　　　　　. 答案： 解析：已知向量a＝(1，－1)，b＝(－3，1)，则ka＋b＝(k－3，－k＋1)，a－b＝(4，－2).又ka＋b与a－b垂直，则(ka＋b)·(a－b)＝(k－3，－k＋1)·(4，－2)＝0，可得4k－12＋2k－2＝0，得k＝.
(2)(2025·山东泰安一模)已知向量＝1，，且a＋b－2c＝0，则cos＜a，c＞＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：D
解析：a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2.又＝1，，所以1＋2a·b＋1＝3 a·b＝，所以cos＜a，c＞＝.故选D.
1.求平面向量的模的方法
(1)公式法：利用｜a｜＝、(a±b)2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2及若a＝(x，y)，则｜a｜＝.
(2)几何法：利用向量的几何意义.
2.求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝.(2)坐标法.
3.平面向量垂直问题的解法
(1)坐标法：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，若要证明a⊥b，则只需证明a·b＝0，即证明x1x2＋y1y2＝0.
(2)向量法：把a，b用已知(模与夹角)的基底向量表示，进行运算证明a·b＝0.
对点练1.(2025·湖北武汉四调)已知向量a，b满足＝1，＝2，⊥a，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为·a＝0，所以a2－a·b＝0，所以a2＝a·b＝cos＜a，b＞＝.又＝1，＝2，所以cos＜a，b＞＝.又＜a，b＞∈，所以＜a，b＞＝.故选C.
对点练2.(易错题)若平面向量a，b，c两两夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝4，则｜2a＋2b－c｜＝(　　)
A.0 B.6
C.0或 D.0或6
答案：D
解析：①当向量a，b，c两两夹角为0时，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②当向量a，b，c两两夹角为时，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×(－)－4×1×4×(－)－4×1×4×(－)＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.综上，｜2a＋2b－c｜＝0或6.故选D.
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对点练3.(多题同解)(1)设a＝(－3，m)，b＝(4，3)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是　　　　　　.
(2)设a＝(－3，m)，b＝(4，3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的取值范围是　　　　　　.
答案：(1)(4，＋∞)　(2)(－∞，－)∪(－，4)
解析：(1)由a与b的夹角是锐角，则a·b＝(－3，m)·(4，3)＝－12＋3m＞0，解得m＞4.又a与b的夹角不等于0°，所以a与b不能同向共线.当a与b共线时，满足－9＝4m，解得m＝－，所以实数m的取值范围是(4，＋∞).
(2)由a与b的夹角是钝角，则a·b＝(－3，m)·(4，3)＝－12＋3m＜0，解得m＜4.又a与b的夹角不等于180°，所以a与b不能反向共线.当a与b共线时，满足－9＝4m，解得m＝－，易知当m＝－时，a与b反向共线，所以实数m的取值范围是(－∞，－)∪(－，4).
考点三　 投影向量 师生共研
(1)(2025·浙江绍兴一模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，则a在b上的投影向量为(　　)
A.(－2，0) B.
C.(－1，0) D.
(2)(2026·浙江湖州、衢州、丽水一模)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＋，，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：(1)C　(2)B
解析：(1)因为a＝(－1，2)，b＝(2，0)，则a·b＝－1×2＋0＝－2，＝2，则a在b上的投影向量为：b＝(2，0)＝(－1，0).故选C.
(2)因为2＋，所以O是BC的中点，则BC是圆O的直径，∠BAC＝90°.又｜｜＝｜｜，所以△OAB是等边三角形，B＝60°，C＝30°.设＝a，则＝2a，作AH⊥BC于H，则∠BAH＝30°，所以，上的投影向量，.故选B.
投影向量的两种求法
1.用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
2.利用公式，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜·cos＜a，b＞·.
对点练4.(2025·浙江稽阳联谊学校二模)若非零向量a，b满足＝2，且向量b在向量a上的投影向量是－a，则向量a与b的夹角为　　　　.
答案：
解析：b在a上的投影向量为·a＝－a，所以＝－，所以a·b＝－，则cos＜a，b＞＝＝－.由于＜a，b＞∈，所以＜a，b＞＝.
对点练5.(开放题)(2025·河南郑州二模)已知向量a＝，向量b在向量a方向上的投影向量的模长为，写出一个满足条件的向量b＝　　　　.
答案：(答案不唯一)
解析：设b＝，则根据条件有，即＝2.从而只要b＝满足m＋n＝2或m＋n＝－2即可.
考点四　数量积与三角函数的综合 师生共研
(1)已知向量m＝(sin(α＋)，1)，n＝(cos(π＋α)，)，其中α∈(0，)，若m⊥n，则cos α的值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则(　　)
A.｜｜＝｜｜
B.｜｜＝｜｜
C.
D.
答案：(1)B　(2)AC
解析：(1)由m⊥n，所以m·n＝0，即sin(α＋)cos(π＋α)＋＝0，化简得cos2α＝.由α∈(0，)得cos α＝.故选B.
(2)对于A，｜｜＝＝1，｜｜＝＝1，故A正确；对于B，因为｜｜＝，｜｜＝，当α＝，β＝时，｜｜≠｜｜，故B错误；对于C，因为＝(1，0)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cos(α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以，故C正确；对于D，＝(1，0)·(cos α，sin α)＝cos α，＝(cos β，－sin β)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)＝cos(2β＋α)，故D错误.故选AC.
　　利用向量的数量积运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正、余弦定理等知识的应用.
对点练6.已知向量a＝(cosx，sinx)，向量b＝(cosx，－sinx)，x∈.
(1)求a·b及；
(2)若f(x)＝a·b－2t的最小值为－，求t的值.
解：(1)由题意可得，a·b＝cosxcosx－sinxsinx＝cos(x＋x)＝cos 2x，
＝1，
＝1，
所以.
又因为x∈，则cos x≥0，可得＝2cos x，
所以a·b＝cos 2x，＝2cos x.
(2)由(1)可得，
f(x)＝cos 2x－4tcos x＝2cos2x－4tcos x－1.
因为x∈，令m＝cos x∈，
原题意等价于g(m)＝2m2－4tm－1在上的最小值为－，
注意到函数g(m)开口向上，对称轴为m＝t，则有：若t≥1，则g(m)在[0，1]上单调递减，可得当m＝1时，函数g(m)取到最小值g(1)＝1－4t＝－，解得t＝，不合题意，舍去；
若0＜t＜1，则g(m)在[0，t]上单调递减，在(t，1]上单调递增，
可得当m＝t时，函数g(m)取到最小值g(t)＝－2t2－1＝－，解得t＝或t＝－(舍去)；
若t≤0，则g(m)在[0，1]上单调递增，
可得当m＝0时，函数g(m)取到最小值g(0)＝－1≠－，不合题意，舍去.
综上所述，t的值为.
课时分层测评52　平面向量的数量积
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.(2025·浙江杭州二模)已知向量a＝，b＝，c＝，则·c＝(　　)
A.2 B.0
C.－2 D.－7
答案：C
解析：因为a＝，b＝，所以a＋b＝.因为c＝，所以·c＝－2.故选C.
2.已知向量a＝，b＝，则(　　)
A.的充要条件为m＝2
B.a∥b的充要条件为m＝－
C.a与b垂直的充要条件为m＝
D.若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是(－∞，2)
答案：B
解析：对于A， m2＝4，则m＝2或m＝－2，故A错误；对于B，a∥b 2m＝－1 m＝－，故B正确；对于C，a⊥b 2－m＝0 m＝2，故C错误；对于D，由a与b的夹角为锐角，得a·b＞0且a与b不共线，由选项B知，m≠－，故D错误.故选B.
3.(2025·浙江杭州一模)已知向量a＝，b＝，若⊥，则t＝(　　)
A.1或 B.－2或
C.－1或2 D.－2或1
答案：D
解析：ta＋b＝，－2a＋tb＝.因为⊥，所以＝0，即＋＝t2＋t－2＝0，所以＝0，所以t＝－2或t＝1.故选D.
4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是CD的中点，则在上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意知｜｜＝2，｜｜＝.由于，所以∠MBC即为的夹角.易求得cos∠MBC＝.所以上的投影向量为｜｜cos∠MBC·＝2××.故选D.
5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且(b－2a)⊥b，则｜b｜＝(　　)
A. B.
C. D.1
答案：B
解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将｜a＋2b｜＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6｜b｜2＝4，解得｜b｜2＝，所以｜b｜＝.故选B.
【教师备选】　(2025·浙江绍兴二模)已知向量a，b满足＝1，＝2，且a，b的夹角为60°，则＝(　　)
A. B.3
C. D.7
答案：C
解析：因为＝1，＝2，且a，b的夹角为60°，所以a·b＝cos 60°＝1×2×＝1，所以.故选C.
6.(2025·江苏南京、盐城一模)已知a，b，c均为单位向量.若a＝b＋c，则b与c夹角的大小是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：已知a＝b＋c，两边平方可得a2＝(b＋c)2，又(b＋c)2＝b2＋2b·c＋c2，所以a2＝b2＋2b·c＋c2.因为a，b，c均为单位向量，所以｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1.根据a2＝｜a｜2＝1，b2＝｜b｜2＝1，c2＝｜c｜2＝1，将其代入a2＝b2＋2b·c＋c2可得1＝1＋2b·c＋1，则b·c＝－.设b与c的夹角为θ，0≤θ≤π，可得－＝1×1×cos θ，即cos θ＝－.因为0≤θ≤π，所以θ＝，则b与c夹角的大小是.故选C.
7.(多选)(2025·浙江金华一模)已知向量a＝，b＝，则(　　)
A.＝5 B.＝1
C.若a∥b，则m＝3 D.若a⊥b，则m＝3
答案：AB
解析：向量a＝，对于A，｜a｜＝＝5，故A正确；对于B，因为a＝，b＝，则a－b＝，所以，当m＝4时，＝1，故B正确；对于C，若a∥b，则3m－16＝0，解得m＝，故C错误；对于D，若a⊥b，则12＋4m＝0，解得m＝－3，故D错误.故选AB.
8.(多选)(2025·安徽皖南八校第三次联考)已知向量a，b满足，＝1，则(　　)
A.a与b的夹角为 B.a与b的夹角为
C. D.a⊥
答案：ACD
解析：对于A、B，设a与b的夹角为θ，因为，所以＝a2－4a·b＋4b2＝5－4a·b＝7，得a·b＝－，所以cos θ＝＝－，θ＝，故A正确，B错误；对于C，，故C正确；对于D，a·＝a2＋2a·b＝1－1＝0，故a⊥，故D正确.故选ACD.
9.(2025·海南海口二模)已知＝2，b＝，＜a，b＞＝，则a在b上的投影向量为　　　　.(用坐标表示)
答案：
解析：因为＝9，a·b＝cos＝2×9×＝45，所以a在b上的投影向量为·b＝.
10.(双空题)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.若m⊥n，则角α＝　　　　　　；若｜m－n｜＝，则cos 2α的值为　　　　.
答案：2kπ＋或2kπ＋，k∈Z　－
解析：第一空：若m⊥n，则m·n＝0，即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
第二空：若｜m－n｜＝，即有(m－n)2＝2，即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2，即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，即有8－8sin α＝2，可得sin α＝，即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
(每小题5分，共20分)
11.已知非零向量，满足 ＝ ，且 ＝，则△ABC为(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案：D
解析：由，得cos A＝.又0＜A＜π，所以A＝.由，得(＋)·＝0，所以角A的平分线垂直于BC，所以AB＝AC，所以△ABC是等边三角形.故选D.
12.(交汇融合)(多选)(2025·山东菏泽一模)已知平面向量a＝，b＝，则下列说法正确的有(　　)
A.向量a，b不可能垂直
B.向量a，b不可能共线
C.不可能为3
D.若θ＝，则a在b上的投影向量为b
答案：BD
解析：由题意知a＝，b＝.对于A，若向量a⊥b，则a·b＝2cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－2，显然此式能成立，故A错误；对于B，若向量a∥b，则有2×1－sin θcos θ＝0，即2－sin 2θ＝0，即sin 2θ＝4，显然此式不成立，故B正确；对于C，＝，则当cos(θ－φ)＝时，＝3，故C错误；对于D，若θ＝，则a＝，b＝，则a在b上的投影向量为b＝b，故D正确.故选BD.
13.(新情境)早在公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算经》中曾有记载，大意为：“当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，径隅(弦)则为5”，故勾股定理也称为商高定理.现有△ABC的三边满足“勾三股四弦五”，其中勾AC的长为3，点A在弦BC上的射影为点D，则(－)·＝　　　　.
答案：
解析：如图所示，由题意可知AC＝3，AB＝4，BC＝5，则cos B＝.因为AD⊥BC，所以∠CAD＋∠ACB＝∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠CAD＝∠ABC，(－)·＝｜｜·｜｜·cos∠CAD＝(｜｜·cos∠CAD)2＝(3×)2＝.
14.(双空题)(2025·天津卷)△ABC中，D为AB边中点，，＝a，＝b，则＝　　　　(用a，b表示)，若｜｜＝5，AE⊥CB，则＝　　　　.
答案：a＋b　－15
解析：如图，因为，所以－－)，所以＋.因为D为线段AB的中点，所以＋a＋b.又因为＝5，AE⊥CB，所以a2＋a·b＋b2＝25，a2＋a·b－b2＝0，所以a2＋3a·b＝4b2，所以a2＋4a·b＝180.所以a2＋a·b－b2＝(a2＋2a·b－8b2)＝(a2＋2a·b－2a2－6a·b)＝(－a2－4a·b)＝－15.
(每小题5分，共10分)
15.(新定义)对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a b＝，a☉b＝.若平面向量a，b满足＞＞0，且a b和a☉b都在集合中，则a b＋a☉b＝(　　)
A.1 B.
C.1或 D.1或
答案：D
解析：因为，设向量a和b的夹角为θ，因为＞＞0，所以＋＞2，得到a b＝＜，又θ∈，所以≤，又a b在集合中，所以＞，即cos θ＞，得到a b＝，又因为a☉b＝cos θ＞cos θ＞，所以a☉b＝或1，所以a b＋a☉b＝1或.故选D.
16.(双空题)在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则＝　　　　，＝　　　　.
答案：8　10
解析：由题意得O为△ABC的外心，故＝8.如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则＝(＋)·(－)＝＋)·(－)＋·(－)＝(｜｜2－｜｜2)＝10.
学生用书 第169页
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