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第54讲　成对数据的统计分析
【课程标准】　1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.　2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.　3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.　4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.　5.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.　6.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.
1.变量的相关关系
(1)相关关系的分类：正相关和负相关.
(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
2.样本相关系数
(1)相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式：r＝.
(2)相关系数r的性质
①当r＞0时，称成对样本数据正相关；当r＜0时，称成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
②样本相关系数r的取值范围是[－1，1].
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当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
3.一元线性回归模型
(1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，其中
(2)决定系数
R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.
4.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
记n＝a＋b＋c＋d，则随机变量χ2＝.
(2)独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
[常用结论]
1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数，，应充分利用回归直线过样本点的中心(，).
2.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大.
3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.散点图无法判断两个变量是否相关
B.通过经验回归方程＝x＋可以估计预报变量的取值和变化趋势
C.只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值
D.事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的值越小
答案：BC
2.(链接人教A选择性必修三P103习题8.1T1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(　　)
答案：D
解析：观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D.
3.对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　)
A.－0.82 B.0.78
C.－0.69 D.0.87
答案：D
解析：由样本相关系数的绝对值｜r｜越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r＝0.87的绝对值最大.故选D.
4.如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)
y1 y2 合计
x1 a 8 35
x2 11 34 45
合计 b 42 80
A.27，38 B.28，38
C.27，37 D.28，37
答案：A
解析：a＝35－8＝27，b＝a＋11＝27＋11＝38.故选A.
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考点一　成对数据的相关性 自主练透
1.已知某校50名学生的身高与体重的散点图如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.身高越高，体重越重
B.身高越高，体重越轻
C.身高与体重成正相关
D.身高与体重成负相关
答案：C
解析：由题图可知，身高越高的体重不一定就越重或越轻，但总体上来说，样本学生的身高和体重之间具有明显的相关性，个子高的学生往往更重一些，所以身高与体重成正相关.故选C.
2.已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 －0.2 －1.3
根据表格中的数据求得经验回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)
A.＞0，＞0 B.＞0，＜0
C.＜0，＞0 D.＜0，＜0
答案：B
解析：由已知数据可知y随着x的增大而减小，则变量x和y之间存在负相关关系，所以＜0.又＝×＝5，＝×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5＋，所以＝1.1－5＞0.故选B.
3.(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　)
答案：A
解析：观察4幅图可知，选项A图中散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选A.
4.已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2，则比较r1，r2的大小结果为(　　)
A.r1＞r2 B.r1＝r2
C.r1＜r2 D.不确定
答案：C
解析：由散点图可知，用y＝b1ln(k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故｜r1｜＞｜r2｜.又因为x，y负相关，所以－r1＞－r2，即r1＜r2.故选C.
判定两个变量相关性的方法
1.画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关.
2.样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；｜r｜越接近1，相关性越强.
3.经验回归方程：当＞0时，正相关；当＜0时，负相关.
考点二　回归分析 多维探究
角度1　线性回归分析
某研究机构为调查人的最大可视距离y(单位：米)和年龄x(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表：
x 20 25 30 35 40
y 167 160 150 143 130
(1)根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程＝x＋；
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(2)根据(1)中求出的经验回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离.
参考公式：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.
解：(1)由题意可得＝＝30，＝＝150，
xiyi＝20×167＋25×160＋30×150＋35×143＋40×130＝22 045，
＝202＋252＋302＋352＋402＝4 750，
所以＝＝＝－1.82，
则＝－＝150＋1.82×30＝204.6，
故所求经验回归方程为＝－1.82x＋204.6.
(2)当x＝50时，＝－1.82×50＋204.6＝113.6，即年龄为50岁的人的最大可视距离约为113.6米.
角度2　非线性回归分析
(2025·浙江湖州质检)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本.为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：＝6.8，＝70，＝3，＝1.6，＝350.
(1)根据散点图可知，可用函数模型y＝＋α拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m＝－＋＋＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
(注：年利润＝年销售额－年投入成本)
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1)令u＝，则y关于u的线性回归方程为＝＋u，
依题意，得＝＝＝200，＝－＝70－200×0.3＝10，
则＝10＋200u，
所以y关于x的回归方程为＝10＋.
(2)由y＝10＋，得x＝，
所以年利润M＝m－x－10＝－＋＋＋100－－10＝－(y－20)2＋90.8.
当y＝20时，年利润M取得最大值，
此时，x＝＝＝20，
所以当年技术创新投入20千万元时，年利润的预报值最大.
1.求线性经验回归方程
(1)当两个系数均未知时，可利用公式法求解.(2)当两个系数已知一个求另一个时，可利用经验回归直线过样本点的中心求解.
2.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法
(1)若＝a＋b，设t＝，则＝a＋bt；
(2)若满足对数式：＝a＋bln x，设t＝ln x，则＝a＋bt；
(3)若满足指数式：＝c1，两边取对数得＝ln c1＋c2x，设z＝ln ，a＝ln c1，b＝c2，则z＝a＋bx.
3.模型拟合效果的好坏可由残差平方和、残差图、决定系数R2等进行判断.
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对点练1.(多选)(2026·福建厦门质检)为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2026年1～6月的GDP数据y(单位：百亿元)建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为＝0.42x＋，其中解释变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：
时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月
编号x 1 2 3 4 5 6
y/百亿元 y1 y2 y3 11.107 y5 y6
(参考数据：＝796，(yi－)2＝70)
则下列说法正确的是(　　)
A.经验回归直线经过点(3.5，11)
B.＝10.255
C.根据该模型，该地2026年12月的GDP的预测值为14.57百亿元
D.第4个样本点(x4，y4)的残差为0.103
答案：AC
解析：对于A，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，因为＝796，(yi－)2＝－6＝70，所以796－6＝70，则＝11，所以该经验回归直线经过样本点的中心(3.5，11)，故A正确；对于B，11＝0.42×3.5＋，则＝9.53，故B错误；对于C，＝0.42x＋9.53，当x＝12时，＝14.57，所以该地2026年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确；对于D，当x＝4时，＝11.21，相应于点(x4，y4)的残差为11.107－11.21＝－0.103，故D错误.故选AC.
对点练2.已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用＝c1拟合时的决定系数为，用＝x＋拟合时的决定系数为，则，中较大的是　　　　.
答案：
解析：由散点图知，用＝c1拟合的效果比＝x＋拟合的效果要好，所以＞，故较大者为.
对点练3.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 根部横截面积xi 材积量yi
1 0.04 0.25
2 0.06 0.40
3 0.04 0.22
4 0.08 0.54
5 0.08 0.51
6 0.05 0.34
7 0.05 0.36
8 0.07 0.46
9 0.07 0.42
10 0.06 0.40
总和 0.6 3.9
并计算得＝0.038，＝1.615 8，xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数r＝，≈1.377.
解：(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积＝＝＝0.06，
估计该林区这种树木平均一棵的材积量＝＝＝0.39.
(2)(xi－)(yi－)＝xiyi－10　＝0.013 4，
(xi－)2＝－10＝0.002，
(yi－)2＝－10＝0.094 8，
所以 ＝＝≈0.01×1.377＝0.013 77，
所以样本相关系数r＝≈≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以＝，
所以Y＝＝1 209，即该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
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考点三　独立性检验(高考超重点) 师生共研
(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表：
组别 超声波检查结果 合计
正常 不正常
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1 000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2＝
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解：(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人，
所以由样本估计总体得p＝＝0.9.
(2)零假设H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关.
χ2＝＝765.625＞10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.
【溯源教材26】
溯源 (人教A选择性必修三P132例3)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名.试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好.
透视 该高考题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题.高考题在知识点内核、方法逻辑上与教材题高度关联，同时通过设问分层、知识融合体现了高考对能力考查的更高要求，是教材例题在高考场景下的拓展与深化
预测 (多选)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则(　　) 附： P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635
A.若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关 B.若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10％ C.若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关 D.若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1％ 答案：BC 解析：对于A、B，若α＝0.100，因为2.706＜2.727，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10％，故A错误，B正确；对于C、D，若α＝0.010，因为6.635＞2.727，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误.故选BC.
独立性检验的一般步骤
第一步：根据样本数据制成2×2列联表；
第二步：根据公式
χ2＝计算；
第三步：比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
学生用书 第276页
对点练4.(2025·山东聊城一模)某学校为了调动学生学习数学的积极性，在高二年级举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀(即考试成绩不小于130分)的学生进行了奖励.学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图.已知第一小组[90，100)的频数为10.
(1)求a的值和样本容量；
(2)估计所有参赛学生的平均成绩；
(3)假设在抽取的样本中，男生比女生多20人，女生的获奖率为12.5％，填写下列2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断男生与女生的获奖情况是否存在差异？
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男
女
合计
附：χ2＝，
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
[本题规范解答见答案]
解：(1)根据各个小组的频率之和等于1，
得10×(0.005＋0.010＋0.010＋0.015＋0.025＋a)＝1，
解得a＝0.035. 2分
设该样本容量为n，则由第一小组的频数为10，得＝0.010×10，
解得n＝100，即该样本容量为100. 4分
(2)根据该样本频率分布直方图得样本平均数的估计值为
＝95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，
所以所有参赛学生的平均成绩估计值为120分. 7分
(3)根据题意得，总获奖人数为100×(0.015＋0.005)×10＝20人，
所以在抽取的样本中有男生60人，女生40人.其中女生有5人获奖，有35人未获奖；男生有15人获奖，45人未获奖.
由以上数据可得下列2×2列联表
性别 奖励 合计
获奖 未获奖
男 15 45 60
女 5 35 40
合计 20 80 100
10分
零假设H0：男生与女生获奖情况不存在差异.
根据列联表中的数据，得
χ2＝≈2.344＜6.635＝x0.01. 12分
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即男生与女生的获奖情况不存在差异. 13分
课时分层测评80　成对数据的统计分析
(时间：60分钟　满分：90分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
男 女 合计
喜欢 a b 73
不喜欢 c 25
合计 74
则a－b－c等于(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案：C
解析：根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，所以a－b－c＝52－21－22＝9.故选C.
2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性？(　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案：D
解析：r的绝对值越大，m越小，线性相关性越强.故选D.
3.(2026·湖北黄冈模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
答案：D
解析：根据题意可知，所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x－5上，则这组样本数据完全正相关，且样本相关系数为1.故选D.
4.某医院为了提高服务水平和病人满意度，对一周前出院的病人进行电话回访，主要涉及住院期间护士的服务态度、医生是否收取红包、对医院有什么建议等问题.某天上午回访的5人中，通话时间(单位：秒)如表所示：
序号x 1 2 3 4 5
时间y 37 65 21 m 32
根据表中数据，得到y关于x的经验回归方程＝x＋40.9.据此求出(5，32)残差为－7.4，则m＝(残差＝观测值－预测值)(　　)
A.45 B.25
C.37 D.7
答案：A
解析：由题意知，当x＝5时，＝5＋40.9＝32＋7.4＝39.4，解得＝－0.3，所以y关于x的回归方程为＝－0.3x＋40.9.当x＝＝3时，＝＝－0.3×3＋40.9＝40，所以×(37＋65＋21＋m＋32)＝40，解得m＝45.故选A.
5.(多选)(2026·河北唐山模拟)为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点P后，下列说法正确的是(　　)
A.相关系数r变小
B.经验回归直线斜率变小
C.残差平方和变小
D.决定系数R2变小
答案：BC
解析：由散点图可知，x与y呈正相关，所以相关系数r＞0，点P相对于其他点来说比较异常，所以去掉点P后相关性更强，所以相关系数r变大，故A错误；因为点P相对于其他点来说比较靠上，所以去掉点P之后经验回归直线的斜率变小，故B正确；去掉点P后，其他点均在一条直线附近，所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故C正确，D错误.故选BC.
6.(多选)为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系，某研究部门得到下表的样本数据：
x 140 150 170 180 195
y 23 24 26 28 28
若y与x线性相关，且经验回归方程为＝0.1x＋，则下列说法正确的是(　　)
A.＝9.1
B.当x增加1个单位时，y增加约0.1个单位
C.y与x正相关
D.若抗压强度为220时，抗震强度一定是33.1
答案：ABC
解析：根据题意可得＝＝167，＝＝25.8，所以25.8＝0.1×167＋，解得＝9.1，所以经验回归方程为＝0.1x＋9.1，故A正确；对于B，由＝0.1x＋9.1，可知当x增加一个单位时，y增加约0.1个单位，故B正确；对于C，因为0.1＞0，所以y与x正相关，故C正确；对于D，当x＝220时，＝0.1×220＋9.1＝31.1，抗震强度约为31.1，故D错误.故选ABC.
7.咽拭子检测是一种医学检测方法，用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测，可以了解患者病情、口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况，具体数据如表所示：
t(单位：天) 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
y(单位：袋) 15 24 36 44 56
根据以上数据发现y与t呈线性相关，其经验回归方程为＝10.2t＋，则估计第8天使用的棉签袋数为　　　　.
答案：86
解析：因为＝＝3，＝＝35，所以＝35－10.2×3＝4.4，所以＝10.2t＋4.4.当t＝8时，＝10.2×8＋4.4＝86.
8.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为＝.
x 1 2 3 4
y e2 e3 e5 e6
若＝e13，则x＝　　　　.
答案：7
解析：由＝，得ln ＝x－1.令z＝ln y，则＝x－1.由题意知，＝＝2.5，＝＝4.因为(，)满足＝x－1，所以4＝×2.5－1，解得＝2，所以＝2x－1，所以＝e2x－1，令e2x－1＝e13，解得x＝7.
9.(10分)(2025·广东湛江二模)为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍.
(1)根据题中信息，完成下面列联表；
单位：人
性别 喜爱情况 合计
喜爱 不喜爱
男
女
合计
(2)根据(1)中的列联表，依据α＝0.1的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解：(1)设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为70－x，不喜爱该档节目的女性观众数为2x，则70－x＋2x＝100，得x＝30.
故列联表完成如下.
单位：人
性别 喜爱情况 合计
喜爱 不喜爱
男 30 70 100
女 40 60 100
合计 70 130 200
(2)零假设为H0：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关.
根据(1)中列联表的数据，计算得到χ2＝＝≈2.198＜2.706＝x0.1.
根据α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(2025·四川成都诊断)设两个相关变量x和y分别满足表：
x 1 2 3 4 5
y 1 2 8 8 16
若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程＝2bx＋a，则当x＝6时，y的估计值为(　　)
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－，1.155≈2.
A.33 B.37
C.65 D.73
答案：B
解析：因为非线性经验回归方程为＝2bx＋a，则有log2＝bx＋a，令log2＝，即＝x＋，列出相关变量x，y，v关系如表：
x 1 2 3 4 5
y 1 2 8 8 16
v 0 1 3 3 4
所以xivi＝0＋2＋9＋12＋20＝43，＝＝3，＝＝，＝1＋4＋9＋16＋25＝55，所以＝＝＝1，所以＝－＝－1×3＝－，所以＝x－，即log2＝x－，即＝.因为1.155≈2，所以≈1.15，当x＝6时，＝＝＝25.2＝25×≈32×1.15＝36.8≈37.故选B.
11.(双空题)(2026·广东广州模拟)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与心率f(单位：次/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1，2，…，8).根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数).令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为　　　　；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值(i＝1，2，…，8)，若残差平方和(yi－)2≈0.28，则决定系数R2≈　　　　.(参考公式：决定系数R2＝1－)
答案：－0.3　0.98
解析：将＝8，＝5代入经验回归方程＝x＋7.4，得5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3.(yi－)2＝(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y8－)2＝＋＋…＋－2(y1＋y2＋…＋y8)＋8＝＋＋…＋－2·8＋8＝－8，所以R2＝1－＝1－≈1－＝0.98.
12.(15分)2025年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，下表为该企业接到的2026年1～4月份的订单数量.
月份t 1 2 3 4
订单数量y/万件 5.2 5.3 5.7 5.8
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关程度强弱(0.75≤｜r｜≤1，则认为y与t的线性相关程度较强，｜r｜＜0.75，则认为y与t的线性相关程度较弱).(结果保留两位小数)
(2)建立y关于t的经验回归方程，并预测该企业2026年5月份接到的订单数量.
附：相关系数r＝，
回归方程＝＋x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－，≈1.14.
解：(1)＝＝2.5，＝×(5.2＋5.3＋5.7＋5.8)＝5.5，
(ti－)(yi－)＝(－1.5)×(－0.3)＋(－0.5)×(－0.2)＋0.5×0.2＋1.5×0.3＝1.1，
(ti－)2＝(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＝5，
(yi－)2＝(－0.3)2＋(－0.2)2＋0.22＋0.32＝0.26，
所以r＝＝≈≈0.96＞0.75，所以订单数量y与月份t的线性相关程度较强.
(2)因为＝＝＝0.22，
所以＝－＝5.5－0.22×2.5＝4.95，
所以经验回归方程为＝0.22t＋4.95.
令t＝5，则＝0.22×5＋4.95＝6.05(万件)，
即预测该企业2026年5月份接到的订单数量为6.05万件.
13.(15分)(交汇融合)某淀粉厂2026年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金x(万元)与年收益y(万元)的8组数据：
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
(1)用y＝bln x＋a模拟生产食品淀粉年收益y与年投入资金x的关系，求出回归方程；
(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的10％.2026年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.(精确到0.1万元)
附：①回归直线＝v＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
＝，＝－·.
②
yi ln xi (ln xi)2 yiln xi
161 29 20 400 109 603
③ln 2≈0.7，ln 5≈1.6.
解：(1)＝＝5，＝－5×＝2，
所以回归方程为＝5ln x＋2.
(2)设该企业2026年投入x万元用于生产食品淀粉，则投入(200－x)万元用于生产药用淀粉，则y＝5ln x＋2＋·，0≤x≤200，
y'＝－＝＝0，得x＝50，
所以其在上单调递增，上单调递减，
ymax＝5ln 50＋2＋15＝5＋17≈36.5.
故年收益的最大值约为36.5万元.
学生用书 第277页
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