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第19讲　导数与函数的极值、最值
【课程标准】　1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.　2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值.　3.对于多项式函数，能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.　4.体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用.
1.函数的极值
[微提醒]　(1) f'(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.如：f(x)＝x3，f'(0)＝0，但x＝0不是极值点.(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.
2.函数的最值
(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[微提醒]　函数的最值是对定义域而言的整体概念，而极值是局部概念，在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个也没有，而最值最多有一个，并且有最值的未必有极值，有极值的未必有最值.
【常用结论】
1.若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.
2.若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)，f(b)分别是f(x)在[a，b]上的最小值、最大值；若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)，f(b)分别是f(x)在[a，b]上的最大值、最小值.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.函数的极值可能不止一个，也可能没有
B.函数的极小值一定小于函数的极大值
C.函数的极小值一定是函数的最小值
D.函数的极大值一定不是函数的最小值
答案：AD
2.(链接人教A选择性必修二P92T1)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：A
解析：由题意知，只有在x＝－1处，f'(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f(x)的极小值点只有1个.故选A.
3.(链接人教A选择性必修二P95例7)函数f(x)＝2x－xln x的极大值为(　　)
A. B.
C.e D.e2
答案：C
解析：f'(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x.令f'(x)＝0，得x＝e.当0＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0.所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e.故选C.
4.(双空题)(链接人教A选择性必修二P98T6)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
答案：　－10
解析：f'(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，因为x∈，所以f'(x)＜0，故f(x)在上单调递减，所以f(x)的最大值为f＝，最小值为f(1)＝－10.
学生用书 第75页
考点一　利用导数研究函数的极值 多维探究
角度1　根据函数图象判断极值
已知定义域是[－3，5]的函数f的导函数为f'且f'的图象如图所示，则下列判断中正确的(　　)
A.f在上单调递增
B.f有极大值f
C.f有3个极值点
D.f在x＝1处取得最大值
答案：C
解析：由题图知，在[－3，0)，(2，4)上f'＜0，则f在[－3，0)，(2，4)上单调递减，在(0，2)，(4，5]上f'＞0，则f在(0，2)，(4，5]上单调递增，所以f上不单调，f为极小值，且共有3个极值点，x＝1处不是最大值.故选C.
角度2　求已知函数的极值(极值点)
已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)，且f'(x)＝－＝.
令f'(x)＝0，解得x＝2，则当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f'(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)f'(x)＝－a＝(x＞0).
当a≤0时，f'(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；
当a＞0时，若x∈，则f'(x)＞0，
若x∈，则f'(x)＜0，
故函数f(x)在x＝处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；
当a＞0时，函数f(x)有一个极大值点，即x＝.
角度3　已知函数的极值(极值点)求参数(高考超重点)
(1)(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　.
答案：－4
解析：由题意有f＝， 所以f'＝＋＋.因为2是函数f的极值点，所以f'＝2－a＝0，得a＝2，当a＝2时，f'＝2＋＝，当x∈，f'＞0，f单调递增，当x∈时，f'＜0，f单调递减，当x∈时，f'＞0，f单调递增，所以x＝2是函数f＝的极小值点，符合题意；所以f＝－1××＝－2a＝－4.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
解：易知函数f(x)的定义域是R，f'＝ex－a.
当a≤0时，f'(x)＞0，函数f(x)在R上单调递增，无极值；
当a＞0时，由f'＞0，得x＞ln a，由f'(x)＜0，得x＜ln a，
所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－aln a－a3.
由题意知a－aln a－a3＜0(a＞0)，等价于1－ln a－a2＜0(a＞0).
令g＝1－ln a－a2(a＞0)，
则g'＝－－2a＜0，
所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，　
又g(1)＝0，故当0＜a≤1时，g(a)≥0；当a＞1时，g(a)＜0.
故实数a的取值范围是(1，＋∞).
【溯源教材8】
溯源 (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题T9)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，求c的值.
透视 1.真题(1)和教材习题考查的都是三次函数，考查角度相同且解题方法相似.真题(2)与教材习题考查角度一样，只是函数解析式不同. 2.三次函数除了常见的研究切线方程、单调性、极值或最值及零点外，还应掌握三次函数的对称性问题，即三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)是中心对称曲线，对称中心为点(－，f(－))
预测 设a，b为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(－1)＝　　　　. 答案：30 解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，所以当a＝－3，b＝3时，f'(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，且f'(x)不恒为0，此时函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值，不符合题意；当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，f'(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，由f'(x)＝0可得x＝1或x＝－，当x变化时，f'(x)，f(x)的关系如表所示： x(－∞，－)－(－，1)1(1，＋∞)f'(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗
所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值f(1)＝1＋4－11＋16＝10，符合题意，所以f(－1)＝－1＋4＋11＋16＝30.
学生用书 第76页 1.由图象判断函数y＝f(x)极值的两个关键点：(1)由y＝f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.(2)由导函数y＝f'(x)的图象可以看出f'(x)的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点. 2.求函数的极值或极值点的步骤：第一步：求导数f'(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；第二步：求方程f'(x)＝0的根；第三步：检查在方程的根的左、右两侧f'(x)的符号，确定极值点或函数的极值. 3.已知函数极值确定函数解析式中的参数时，一要列式：要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.二要验证：求解后验证根的合理性. 4.利用导数求三次函数图象对称中心的一般步骤：第一步，对三次函数求导，得f'(x)；第二步，对f'(x)求导，得f″(x)；第三步，解方程f″(x)＝0，得实数x0；第四步，求f(x0)，得函数f(x)的图象的对称中心(x0，f(x0)).
对点练1.(2025·浙江绍兴一模)已知函数F(x)＝x2f(x)，且x＝0是F(x)的极小值点，则f(x)可以是(　　)
A.sin x B.ln(x＋1)
C.ex D.x－1
答案：C
解析：对于A，F(x)＝x2sin x，F'(x)＝2xsin x＋x2cos x＝x，F'(0)＝0，当x∈时，2sin x＋xcos x＜0，所以F'(x)＞0；当x∈时，2sin x＋xcos x＞0，所以F'(x)＞0，所以x＝0不是F(x)的极值点，故A错误；对于B，F(x)＝x2ln(x＋1)，F'(x)＝2xln(x＋1)＋＝x，F'(0)＝0，当x∈时，ln(x＋1)＜0，＜0，所以F'(x)＞0；当x∈时，ln(x＋1)＞0，＞0，所以F'(x)＞0，所以x＝0不是F(x)的极值点，故B错误；对于C，F(x)＝x2ex，F'(x)＝2xex＋x2ex＝xex，F'(0)＝0，当x∈时，F'(x)＜0；当x∈时，F'(x)＞0，所以x＝0是F(x)的极小值点，故C正确；对于D，F(x)＝x2(x－1)＝x3－x2，F'(x)＝3x2－2x＝x，F'(0)＝0，当x∈时，F'(x)＞0；当x∈时，F'(x)＜0，所以x＝0是F(x)的极大值点，故D错误.故选C.
对点练2.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A.bc＞0 B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0
答案：BCD
解析：函数f(x)＝aln x＋＋的定义域是(0，＋∞)，求导得f'(x)＝－－＝. 因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，于是即有b2＋8ac＞0，ab＞0，ac＜0，显然a2bc＜0，即bc＜0.故选BCD.
对点练3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　)
A.当a＞1时，f(x)有三个零点
B.当a＜0时，x＝0是f(x)的极大值点
C.存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴
D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
答案：AD
解析：由题意可知，f'(x)＝6x(x－a).对于A，当a＞1时，由f'(x)＜0得0＜x＜a，由f'(x)＞0得x＜0或x＞a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1＜0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，结合图象(图略)可知，f(x)有三个零点，故A正确；对于B，当a＜0时，由f'(x)＜0得a＜x＜0，由f'(x)＞0得x＞0或x＜a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，故B错误；对于C，若x＝b是曲线y＝f(x)的对称轴，则f(x＋b)＝f(b－x)，即2(x＋b)3－3a(x＋b)2＋1＝2(b－x)3－3a(b－x)2＋1，即x3＋3b2x＝3abx，不存在a，b使等式恒成立，故不存在a，b，使得直线x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴，故C错误；对于D，若(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，则f(1＋x)＋f(1－x)＝2f(1)，即2(1＋x)3－3a(1＋x)2＋1＋2(1－x)3－3a(1－x)2＋1＝6－6a，整理得(12－6a)x2－6a＋6＝6－6a，解得a＝2，所以存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心，故D正确.故选AD.
考点二　利用导数研究函数的最值 (高考超重点)多维探究
角度1　不含参数的函数的最值
(1)(2022·全国乙卷改编)设函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，则函数f(x)在区间[0，2π]上的最小值为　　　　.
(2)(2025·全国一卷改编)设函数f(x)＝5cos x－cos 5x，则函数f(x)在上的最大值为　　　　.
答案：(1)－　(2)3
解析：(1)f'(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以在区间(0，)和(，2π)上f'(x)＞0，即f(x)单调递增；在区间(，)上f'(x)＜0，即f(x)单调递减.又f(0)＝2，f()＝－(＋1)＋1＝－ ，所以函数f(x)在区间上的最小值为－.
(2)f'＝－5sin x＋5sin 5x＝10cos 3xsin 2x.因为x∈，故2x∈，故sin 2x≥0，当0＜x＜时，cos 3x＞0即f'＞0，当＜x＜时，cos 3x＜0即f'＜0，故f上单调递增，在上单调递减，所以函数f上的最大值为f＝5cos －cos ＝3.
角度2　含参数的函数的最值
已知函数f＝aln x－x，求函数f在上的最大值.
解：f'(x)＝－1＝，x＞0.
令f'(x)＝0解得x＝a.
①当0＜a＜2时，
当0＜x＜a时，f'(x)＞0，所以f(x)在区间(0，a)上单调递增，
当a＜x≤2时，f'(x)＜0，所以 f在区间(a，2]上单调递减.
所以f＝f(a)＝aln a－a.
②当a≥2时，
当0＜x≤2时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间上单调递增.
所以f＝f(2)＝aln 2－2.
综上所述，当0＜a＜2时，f＝aln a－a；
当a≥2时，f＝aln 2－2.
学生用书 第77页
角度3　已知函数的最值求参数
已知函数f＝ln x＋，a∈R.
(1)讨论f的单调性；
(2)若函数f在上的最小值是，求a的值.
解：(1)易知f，
可得f'＝－＝.
若a≤0，可得f'＞0，此时f上单调递增.
若a＞0，令f'＝0，解得x＝a；
当x∈时，f'＜0，即可得f上单调递减；
当x∈时，f'＞0，即可得f上单调递增；
综上可得，a≤0时，f上单调递增；
a＞0时，f上单调递减，在上单调递增.
(2)由(1)可知，当a≤1时，f上单调递增，
此时f无最小值，不合题意.
当1＜a＜e时，可知f上单调递减，在上单调递增；
此时f在x＝a处取得极小值，也是最小值；
因此f＝ln a＋＝ln a＋1＝，解得a＝，符合题意；
当a≥e时，f上单调递减，此时f无最小值，不合题意；
综上可知，a＝.
1.求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值. 2.若所给函数f(x)含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
对点练4.函数f(x)＝x2－ln x在区间(其中a＞0)上存在最小值，则实数a的取值范围是　　　 　　　.
答案：
解析：根据题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－，令f'(x)＞0，解得x＞1，令f'(x)＜0，解得0＜x＜1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.因为f(x)在区间(其中a＞0)上存在最小值，所以＜a＜1.
对点练5.已知函数f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e].
(1)若x＝1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：(1)因为f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，所以f'(x)＝，
由f'(1)＝0，得a＝1，所以f'(x)＝，
所以当x∈(0，1)时，f'(x)＞0，
当x∈(1，e]时，f'(x)＜0，
所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，
所以f(x)的极大值为f(1)＝－1，也即f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)因为f(x)＝ln x－ax，所以f'(x)＝.
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，
所以f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，解得a＝＞0，舍去；
②当a＞0时，由f'(x)＝＝0，得x＝，
当0＜＜e，即a＞时，所以x∈时，f'(x)＞0；x∈时，f'(x)＜0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.
又f(x)在(0，e]上的最大值为－3，
所以f(x)max＝f＝－1－ln a＝－3，所以a＝e2，符合题意；
当e≤，即0＜a≤时，f(x)在(0，e]上单调递增，所以f(x)max＝f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝＞，舍去.
综上，存在a符合题意，此时a＝e2.
课时分层测评22　导数与函数的极值、最值
(时间：60分钟　满分：90分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝(1－x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
答案：D
解析：由题图可知，当x＜－2时，f'(x)＞0；当－2＜x＜1时，f'(x)＜0；当1＜x＜2时，f'(x)＜0；当x＞2时，f'(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.故选D.
2.函数f(x)＝x3＋x2－3x－1的极小值点为(　　)
A.1 B.
C.－3 D.(－3，8)
答案：A
解析：f'(x)＝x2＋2x－3，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3或x＝1，所以函数f(x)＝x3＋x2－3x－1在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝1处有极小值，极小值点为1.故选A.
3.已知函数f(x)＝－xex，那么f(x)的极大值为(　　)
A. B.－
C.－e D.e
答案：A
解析：因为函数f(x)＝－xex，所以f'(x)＝－(x＋1)ex.令f'(x)＝0，得x＝－1，当x＜－1时，f'(x)＞0；当x＞－1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以f(x)极大值＝f(－1)＝.故选A.
4.函数f(x)＝xcos x－sin x在区间[－π，0]上的最大值为(　　)
A.1 B.π
C. D.
答案：B
解析：根据题意得f'(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈[－π，0]时，sin x≤0，f'(x)≤0，所以f(x)在[－π，0]上单调递减，故函数f(x)在区间[－π，0]上的最大值为f(－π)＝π.故选B.
5.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.f(x)＝x＋(x∈R)的最小值为e
B.f(x)＝(x＞0)的最小值为e
C.f(x)＝x－ln x(x＞0)的最小值为e
D.f(x)＝x(x＞0)的最小值为e
答案：BD
解析：对于A，f(x)＝x＋(x∈R)，f'(x)＝1－＝，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(0)＝1，故A错误；对于B，f(x)＝(x＞0)，f'(x)＝，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝e，故B正确；对于C，f(x)＝x－ln x(x＞0)，f'(x)＝1－＝，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝1，故C错误；对于D，f(x)＝x(x＞0)，f'(x)＝＋x·(－)＝，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为f(1)＝e，故D正确.故选BD.
6.(多选)对于函数f(x)＝x3－3x，下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)是奇函数
B.f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增
C.f(x)在x＝－1处取得极大值2
D.f(x)的值域是[－2，2]
答案：ABC
解析：对于A，因为对 x∈R，f(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，故A正确；对于B，f'(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f'(x)＞0可得x＜－1或x＞1，令f'(x)＜0可得－1＜x＜1，所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故B正确；对于C，由f'(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，结合选项B可知，x＝－1是函数f(x)的极大值点，此时函数f(x)的极大值为f(－1)＝－1＋3＝2，故C正确；对于D，由B选项可知，函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，作出f(x)的大致图象如图所示，所以f(x)无最大值，无最小值，故D错误.故选ABC.
7.当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f'(2)＝　　　　.
答案：－
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意可知而f'(x)＝－，所以所以f'(x)＝－＋，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x＝1时取最大值，满足题意.所以f'(2)＝－1＋＝－.
8.已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：
解析：f'(x)＝ln x＋1－2ax，由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，则2a＝.设g(x)＝，则g'(x)＝－.当0＜x＜1时，g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞1时，g'(x)＜0，g(x)单调递减，所以g(x)的极大值为g(1)＝1.又当x＞1时，g(x)＞0，当x→＋∞时，g(x)→0，当x→0时，g(x)→－∞，所以0＜2a＜1，即0＜a＜.
【教师备选】　(2025·重庆诊断)若f(x)＝ex－2msin xcos x，x∈存在极值，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：根据题意可知，f(x)＝ex－msin 2x，f'(x)＝ex－2mcos 2x＝0在上有解，即2m＝.令g(x)＝，则g'(x)＝＞0，则g(x)在上单调递增.又当x→0时，g(x)→1，当x→时，g→，所以1＜2m＜，所以＜m＜.故选A.
9.(10分)(2025·广东茂名一模)已知函数f＝ln x－ax2＋1.
(1)当a＝1时，求函数f在x＝1处的切线方程；
(2)若函数f的最大值为0，求实数a的值.
解：(1)当a＝1时f＝ln x－x2＋1，则f＝0，f'＝－2x，
所以f'＝－1，所以切线方程为y＝－，即x＋y－1＝0.
(2)函数f＝ln x－ax2＋1的定义域是，且f'＝－2ax＝，
当a≤0时，f'＞0恒成立，所以函数f上单调递增，则无最大值，故舍去；
当a＞0时，令1－2ax2＝0，解得x1＝－(舍去)，x2＝，
所以当x∈时，f'＞0，即f上单调递增，
当x∈时，f'＜0，即f上单调递减，
所以f在x＝处取得极大值，即最大值，
所以f＝ln－a＋1＝0，
即－ln－＋1＝0，即ln＝1，所以a＝.
【教师备选】　(2025·浙江宁波一模)已知函数f(x)＝x2(a－ln x)在(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2平行.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极值.
解：(1)函数f(x)＝x2(a－ln x)，则f'(x)＝2ax－x－2xln x.
因为f(x)＝x2(a－ln x)在(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2平行，
所以f'(1)＝2a－1＝1，故a＝1.
(2)由(1)得f(x)＝x2(1－ln x)，定义域是(0，＋∞).
令f'(x)＝x－2xln x＝0，得x＝，
则f'(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞)
f'(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 单调递减
故f(x)的极大值为，无极小值.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(2025·江苏盐城二模)已知a∈R，若函数f＝x＋－ln x既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为函数f＝x＋－ln x的定义域是，所以f'＝1－－＝.因为函数f既有极大值，又有极小值，则关于x的方程x2－x－a＝0有两个不等的正根x1，x2，所以解得－＜a＜0.故选C.
11.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　)
A.f(0)＝0
B.当x＜0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2
C.f(x)≥2，当且仅当x≥
D.x＝－1是f(x)的极大值点
答案：ABD
解析：对于A，根据奇函数的定义有f(0)＝0，故A正确；对于B，当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝(x2－3)e－x＋2，因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；对于C，当x＞0时，f'(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x－1)(x＋3)ex，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f()＝2，当x→0＋时，f(x)→－1，所以由f(x)≥2得x≥；当x＜0时，f(－1)＝2(e－1)＞2，满足f(x)≥2，但－1 [，＋∞)，故C错误；对于D，根据C解析知x＝1是函数f(x)的极小值点，根据奇函数图象关于原点对称，知x＝－1是函数f(x)的极大值点，故D正确.故选ABD.
12.(13分)已知函数f(x)＝cos x－ax2，其中a∈R.
(1)当a＝ － 时，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程；
(2)若函数f(x)在(－π，π)上恰有两个极小值点x1，x2，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝－时，f(x)＝cos x＋x2，
则f'(x)＝－sin x＋x，
所以f()＝，f'()＝1，
所以曲线y＝f(x)在x＝处的切线方程为y－ ＝x－ ，即y＝x.
(2)因为f(－x)＝cos (－x)－a(－x)2＝cos x－ax2＝f(x)，所以f(x)是(－π，π)上的偶函数.
因为函数f(x)在(－π，π)上恰有两个极小值点，
所以函数f(x)在(0，π)上恰有一个极小值点.
不妨设一个极值点x1＞0，f'(x)＝－sin x－2ax，
令g(x)＝－sin x－2ax，则g'(x)＝－cos x－2a.
①当a≥0时，f'(x)＜0，则f(x)在(0，π)上单调递减，无极小值.
②当a≤－时，g'(x)＞0，则f'(x)在(0，π)上单调递增，所以f'(x)＞f'(0)＝0.
则f'(x)＞0，此时f(x)在(0，π)上单调递增，无极小值.
③当－ ＜a＜0时，存在x0∈(0，π)，使g'(x0)＝－cos x0－2a＝0，
当x∈(0，x0)时，g'(x)＜0，所以f'(x)在(0，x0)上单调递减，
当x∈(x0，π)时，g'(x)＞0，所以f'(x)在(x0，π)上单调递增.
因为f'(0)＝0，f'(π)＝－2aπ＞0，
由零点存在定理知存在x1∈(x0，π)，使得f'(x1)＝－sin x1－2ax1＝0，
当x∈(0，x1)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，x1)上单调递减，
当x∈(x1，π)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x1，π)上单调递增，
所以函数f(x)在(0，π)上恰有一个极小值点x＝x1.
所以函数f(x)在(－π，π)上恰有两个极小值点.
综上所述，实数a的取值范围是(－，0).
13.(17分)(2025·浙江杭州二模)已知函数f＝xex－ax2－ax(a∈R).
(1)若a＝0，求f的极小值；
(2)当a＞时，求f的单调递增区间；
(3)当a＞0时，设f的极大值为g，求证：g≥－.
解：(1)根据题意知f'＝ex－ax－a＝.
若a＝0，则f＝xex，所以f'＝ex.
令f'＝0，得x＝－1.
当x∈时，f'＜0，当x∈时，f'＞0，
所以f上单调递减，在上单调递增，
所以f的极小值为f＝－.
(2)因为a＞，所以ln a＞－1，
由f'＞0，即＞0，解得x＜－1或x＞ln a，所以f上单调递增，
由f'＜0，即＜0，解得－1＜x＜ln a，所以f上单调递减，
故f的单调递增区间是(－∞，－1)和.
(3)证明：当a＞时，由(2)知，f的极大值等于f＝g＝－＋a＞－＞－.
当a＝时，f'≥0，f单调递增，f无极大值.
当0＜a＜时，当x∈时，f'＞0，f单调递增，当x∈时，f'＜0，f单调递减，
当x∈(－1，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增.
所以f的极大值等于f＝g
＝－a.
令g＝－x(0＜x＜)，
所以g'＝－ln x，
当x∈，g'＜0，当x∈，g'＞0，所以g上单调递减，在上单调递增，
所以g≥g＝－，即g(a)≥－，
综上所述，g≥－
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