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第2课时　简单的三角恒等变换
【课程标准】　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1.半角公式
(1)sin＝±.
(2)cos＝±.
(3)tan＝±.
符号由所在象限决定.
2.三角恒等变换常用方法
(1)常值代换：特别是用“1”的代换，如：1＝sin2x＋cos2x＝tan 等.
(2)弦切互化：tan θ＝，sin θ＝tan θcos θ(θ≠＋kπ，k∈Z)等.
(3)降幂扩角：sin θcos θ＝sin 2θ，sin2θ＝，cos2θ＝等.
(4)升幂缩角：1＋cos θ＝2cos2，
1－cos θ＝2sin2等.
(5)引入辅助角：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，这里辅助角φ所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定.
(6)项的分拆：如sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x等.
【常用结论】
1.tan＝＝.
2.万能公式
sin α＝；cos α＝；
tan α＝.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的
B.存在实数α，使tan 2α＝2tan α
C.cos2＝1＋
D.tan＝＝
答案：ABD
2.(链接人教A必修一P226T2)cos 15°＝(　　)
A. B.
C.± D.±
答案：A
解析：因为15°是第一象限角，所以cos 15°＞0，由半角的余弦公式可知cos 15°＝ .故选A.
3.(链接人教A必修一P226T1)已知sin α＝，cos α＝，则tan等于(　　)
A.2－　　 B.2＋
C.－2　 D.±
答案：C
解析：因为sin α＝，cos α＝，所以tan＝＝－2.故选C.
4.tan＝　　　　.
答案：－1
解析：tan＝＝＝－1.
学生用书 第107页
考点一　三角函数式的化简 自主练透
1.化简：＝(　　)
A. B.2
C. D.－1
答案：A
解析：原式＝＝＝＝.故选A.
2.化简：sin2＋sin2－sin2α＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：C
解析：原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos 2αcos －sin2α＝1－－＝.故选C.
3. 化简：(1)＝　　　　.
(2)(－tan)·＝　　　　.
答案：(1)2　(2)
解析：(1)原式＝＝＝＝＝＝＝2.
(2)原式＝(－)·(1＋·)＝·＝·＝.
1.三角函数式的化简原则
原则一“看角”：即通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.
原则二“看函数名称”：即看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.
原则三“看结构特征”：即分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.
2.三角函数式的化简方法
(1)弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角、降幂或升幂.
(2)“1”的代换、三角公式的正用或变用、通分、配方.
3.三角函数式的化简的注意点
(1)化简时要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，找到变形方向.
(2)“次降角扩”和“次升角缩”是化简的基本规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次.
考点二　三角函数式的求值 多维探究
角度1　给角求值
(1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　)
A.2 B.－2
C.1 D.－1
(2)计算：(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)·(1＋tan 32°)＝　　　　.
答案：(1)D　(2)4
解析：(1)sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·＝＝＝－1.故选D.
(2)因为1＝tan 45°＝tan(13°＋32°)＝，所以tan 13°＋tan 32°＝1－tan 13°tan 32°，即tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1，所以(1＋tan 13°)(1＋tan 32°)＝1＋tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝2，同理可得(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝2.所以(1＋tan 13°)(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)(1＋tan 32°)＝4.
角度2　给值求值(高考超重点)
(1)(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为cos α＝1－2sin2＝，而α为锐角，所以sin＝＝＝＝.故选D.
【溯源教材11】
溯源 (人教A必修一P226T2)已知cos θ＝，且270°＜θ＜360°，试求sin 和cos 的值.
透视 高考题及教材习题均考查正弦的半角公式，只是更换了角的取值范围，解题方法一致
预测 已知α是第二象限角，且终边经过点(－4，3)，则tan ＝(　　) A.3 B. C.2 D.或2 答案：A 解析：因为α是第二象限角，且终边经过点(－4，3)，所以sin α＝，cos α＝－，所以tan ＝＝＝＝＝3.故选A.
(2)已知5sin 2α＋6cos(π－α)＝0，α∈，则cos2＝(　　)
A.－ B.
C. D.
答案：B
解析：由题意知10sin αcos α＝6cos α，因为α∈(0，)，所以cos α≠0，所以sin α＝，则cos2(＋)＝cos2［］＝＝＝＝.故选B.
角度3　给值求角
(1)已知sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝　　　　　　.
(2)设α∈ ，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)
A.3α－β＝ B.3α＋β＝
C.2α－β＝ D.2α＋β＝
答案：(1)　(2)C
解析：(1)因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝.因为cos β＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝，则sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×＝，所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝.因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈，故α＋2β＝.
(2)由已知得，tan α＝＝，去分母得，sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，sin(α－β)＝cos α＝sin(－α).又因为－＜α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，即2α－β＝.故选C.
学生用书 第108页
1.给角求值问题：(1)目的：将“非特殊角”通过公式正用、逆用、变形用转化为“特殊角”.
(2)策略：①化为“特殊角的三角函数值”；②化为“多项式正负相消的项”如典例1(2)；③化为“分子分母可约分的项”如典例1(1).
2.给值求值问题：关键是“变角”，使角相同或具有某种关系，求解时要注意角的范围.
3.给值求角问题：(1)实质转化为“给值求值问题”，即一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
(2)选取函数的原则：
①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.
对点练1.(2025·浙江杭州一模)已知－＝4，则λ＝(　　)
A.1 B.
C. D. 2
答案：C
解析：由－＝4可得λ＝cos 10°＝＝＝＝＝.故选C.
对点练2.已知α，β∈，cos＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为cos＝，tan α·tan β＝，所以
解得所以cos＝cos αcos β－sin αsin β＝.又α，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.故选A.
【教师备选】　(2025·黑龙江双鸭山模拟)已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为cos2α－sin2α＝，cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝.因为α∈，所以cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，所以sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝.又0＜α＋β＜，所以α＋β＝.故选D.
对点练3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.
答案：－
解析：由题知tan＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin＝－.
考点三　三角恒等变换的综合应用 师生共研
已知函数f(x)＝sin＋·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值.
解：(1)由题意得f(x)＝sin＋cos＝×［sin＋cos］＝－sin.
因为x∈，所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝，
所以f＝－sin＝－sin(2θ－)＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝.
1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其要注意角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y＝asin x＋bcos x化为y＝·sin(x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值等性质.
对点练4.已知函数f(x)＝sin＋2sin(x－)·cos.
(1)求f的值；
(2)若锐角α满足f(α)＝，求sin 2α的值；
(3)求函数f(x)的单调递增区间.
解：(1)由题意得f(x)＝sin＋2sin(x－)cos
＝sin－2sincos
＝sin－2sincos
＝sin－sin
＝sin 2xcos －cos 2xsin ＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
故f＝sin＝0.
(2)因为α∈，所以2α＋∈.
又因为f(α)＝，所以f(α)＝sin＝.
又因为sin＝＜，所以2α＋∈ ，【题眼：缩小角的范围】
所以cos＝－＝－，
所以sin 2α＝sin＝sin(2α＋)cos －cossin
＝ ×＋× ＝ .
(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间是［－＋kπ，＋kπ］(k∈Z).
课时分层测评34　简单的三角恒等变换
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.的值等于(　　)
A.－2 B.2
C.－1 D.1
答案：B
解析：原式＝＝＝2.故选B.
2.若α为锐角，且sin α(·tan 50°－1)＝1，则α＝(　　)
A.10° B.20°
C.70° D.80°
答案：C
解析：由sin α＝＝＝＝＝＝＝＝cos 20°.又α为锐角，所以α＝70°.故选C.
3.若cos－4sin2α＝－2，则tan 2α＝(　　)
A.－2 B.－
C.2 D.
答案：C
解析：由cos－4sin2α＝－2，得－sin 2α－4sin2α＝－2，即＝2，即＝2，所以2tan α＋4tan2α＝2tan2α＋2，所以tan α＝1－tan2α，则tan 2α＝＝2.故选C.
4.已知sin α＋cos α＝，＜α＜，则cos α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为sin α＋cos α＝，＜α＜，所以2sin(α＋)＝，则sin(α＋)＝.而＜α＜，所以＜α＋＜π，所以cos(α＋)＝－，故cos α＝cos＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin ＝－×＋×＝.故选B.
5.(多选)已知α∈，sin α＝＝tan，则(　　)
A.tan α＝ B.cos α＝
C.tan β＝4 D.cos β＝
答案：BD
解析：因为sin α＝tan αcos α＝，且α∈(π，2π)，所以cos α＝，所以sin α＝－，tan α＝－，故A错误，B正确；因为tan ＝－，所以tan β＝＝－4，cos β＝＝＝，故C错误，D正确.故选BD.
6.(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　)
A.cos α＝－ B.sin α－cos α＝
C.β－α＝ D.cos αcos β＝－
答案：BC
解析：因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝＞0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1 cos2α＝ cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π.又cos(α＋β)＝－＜0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误.故选BC.
7.(一题多解)已知α是第三象限角，cos＝，则＝　　　　.
答案：－2
解析：法一：因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－，则＝＝＝＝－2.
法二：因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－，则tan ＝＝－3，所以＝＝－2.
8.(2025·江苏宿迁二模)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos＝　　　　.
答案：0
解析：根据题意sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β.若sin β＝0，则cos 2α＝0，而sin 2α＝2sin 2β＝4sin βcos β＝0，与sin22α＋cos22α＝1矛盾，所以sin β≠0，cos 2α≠0，所以＝＝，则cos 2αcos β－sin 2αsin β＝0，即cos＝0.
9.(10分)已知sin α＝4sin2－2.
(1)求的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈(0，)，tan2β＋6tan β－1＝0，求α＋2β的值.
解：(1)因为sin α＝4sin2－2＝4×－2＝－2cos α，所以tan α＝－2.
所以＝
＝sin α(sin α－cos α)＝
＝＝.
(2)由(1)知tan α＝－2.
因为tan2β＋6tan β－1＝0，
所以tan 2β＝ ＝.
所以tan(α＋2β)＝＝＝－1.
因为α∈(0，π)，β∈(0，)，由tan α＝－2，得α∈(，π).
由tan 2β＝，得2β∈(0，)，
所以α＋2β∈(，).
由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.若α，β∈(，π)，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是(　　)
A.2α＋β＝ B.2α－β＝
C.α＋β＝ D.α－β＝
答案：A
解析：因为α，β∈(，π)，所以sin α≠0.因为(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，所以2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β，所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以cos(α＋β)＝cos(－α).因为α，β∈(，π)，所以π＜α＋β＜2π，且－＜－α＜0，所以α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝.故选A.
11.(双空题)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.
答案：　
解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜.又β为锐角，所以－＜2α－β＜.又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD.
(1)求扇形空地的面积；
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.
解：(1)扇形空地面积S＝×6002×＝120 000π(m2).
(2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，
设∠FOG＝α，
则EF＝2OFsin α，
CF＝MN＝OM－ON＝OM－＝OFcos α－.
所以矩形面积S1＝EF·CF
＝2OFsin α·
＝6002×
＝6002×
＝360 000
＝360 000.
所以当α＝30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，且最大值为120 000 m2.
(每小题5分，共10分)
13.已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1＜x2)，则(　　)
A.∈{x1，x2}
B.x2＝2x1
C.cos x1＋cos x2＝
D.cos x1cos x2＝
答案：C
解析：对于A、B，令f(x)＝0得cos 2x＝－cos 3x，故cos 2x＝cos(π－3x)或cos 2x＝cos(π＋3x)，所以2x＝π－3x＋2k1π，k1∈Z或2x＝π＋3x＋2k2π，k2∈Z，解得x＝＋，k1∈Z或x＝－π－2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1＝0，1时，解得x1＝，x2＝，故A、B错误；对于C，cos x1＋cos x2＝cos ＋cos ＝2cos cos ＝＝＝＝，故C正确；对于D，因为cos ＞0，cos ＜0，所以cos x1cos x2＝coscos ＜0，故D错误.故选C.
14.(双空题)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝　　　　(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝　　　　　　.
答案：3sin α－4sin3α　
解析：sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α＝3sin α－4sin3α.因为sin 72°＝sin 108°，从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°).令cos 36°＝x＞0，则4x2－2x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去).
学生用书 第109页
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