资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第30讲　等比数列
【课程标准】　1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.　2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.　4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
定义 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). (2)符号语言：＝q(n≥2，q为非零常数)
等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝ab
[微提醒]　(1)若一个数列是常数列，则此数列一定是等差数列，但不一定是等比数列，如：0，0，0，….(2)只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
2.等比数列的通项公式与前n项和公式
[微提醒]　(1)在运用等比数列的前n项和公式时，要注意对q＝1与q≠1进行讨论.
(2)[教材知识纵向延伸]当q＞0 且q≠1 时，an＝·qn 可以看成函数y＝cqx； Sn＝＝－qn＋ ，若设a＝ ，则Sn＝ －aqn＋a (a≠0，q≠0，q≠1) 可以看成函数y＝－aqx＋a ，所以等比数列的通项公式可以写成an＝cqn(c≠0，q≠0)的形式，前n项和公式可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0)的形式.
3.等比数列的常用性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am·an＝ap·aq.特别地，若m＋n＝2p，则aman＝，其中m，n，p∈N*.注：上述两式，反之不一定成立.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，，，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，－Sn，－，…仍成等比数列，其公比为qn.
(4)等比数列的单调性
若或则等比数列{an}为递增数列；
若或则等比数列{an}为递减数列；
若q＝1时，则等比数列{an}是常数列；
若q＜0时，则等比数列{an}是摆动数列.
【常用结论】
1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{｜an｜}，{}，，{an·bn}，也是等比数列.
2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列.
(2)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
学生用书 第144页
3.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac
B.当公比q＞1时，等比数列{an}为递增数列
C.等比数列中所有偶数项的符号相同
D.数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列
答案：ABD
2.(链接人教A选择性必修二P31T2)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝　　　　.
答案：4
解析：因为＝a3a7＝2×8＝16，所以a5＝±4.又因为a5＝a3q2＞0，所以a5＝4.
3.(易错题)(链接人教A选择性必修二P37T1)在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a2＝　　　　.
答案：－3或
解析：由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(＋＋1)，得＋＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.所以a2＝或－3.
4.(链接人教A选择性必修二P37例9)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝　　　　.
答案：8
解析：在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，因为a1＋a2＝2，a3＋a4＝4，所以a5＋a6＝8.
考点一　等比数列基本量的运算(高考超重点) 自主练透
1.(一题多解)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)
A.14 B.12
C.6 D.3
答案：D
解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，由题意可得
即所以a6＝a1q5＝3.故选D.
法二：设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，由题意可得所以a6＝a1q5＝3.故选D.
2.(2025·T8联考)2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(　　)
A.12盏 B.24盏
C.36盏 D.48盏
答案：B
解析：由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列，第5层楼所挂灯笼数为a1，公比q＝2.由S5＝＝186，解得a1＝6.则最中间一层的灯笼数为a3＝a1q2＝24.故选B.
3.(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列的前n项和，q为的公比，且q＞0.若S3＝7，a3＝1，则(　　)
A.q＝ B.a5＝
C.S5＝8 D.an＋Sn＝8
答案：AD
解析：对于A，根据S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝＋＋1＝7，得6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0.因为q＞0，所以q＝，故A正确；对于B，a5＝a3q2＝1×()2＝，故B错误；对于C，a1＝＝4，所以S5＝，故C错误；对于D，an＝a1qn－1＝4×()n－1＝＝23－n，Sn＝＝8［1－()n］＝8－＝8－23－n，所以an＋Sn＝8，故D正确.故选AD.
【溯源教材16(1)】
溯源 (人教A选择性必修二P37练习T1(3))已知数列是等比数列，若a3＝，S3＝，求a1与q.
透视 该高考题只是在教材习题的基础上限制了公比q＞0，与教材习题的命题依据、角度、形式、解决方法都完全一致，是在2025年全国二卷试题中较为经典的源于教材的题目.这种有关等比数列小题的考查是近几年高考的热向命题点，需要重点关注.2023年全国甲卷(理)曾经进行了类似考查： (2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A. B. C.15 D.40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.
预测 已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为Sn，且3a1，a3，5a2成等差数列，S4＋5＝5a3，则a8＝　　　　. 答案：37 解析：设数列的公比为q，因为3a1，a3，5a2成等差数列，所以3a1＋5a1q＝2a1q2，即3＋5q＝2q2，解得q＝3或q＝－.因为各项均为正数，所以q＞0，所以q＝3.由S4＋5＝5a3，得＋5＝5×32a1，解得a1＝1，所以a8＝a1q7＝37.
4.(一题多解)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于　　　　　.
答案：2
解析：法一(基本量法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn.因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0.又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4①，由S8＝68得＝68②，，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16.又q＞0，所以q＝2.
法二(等比数列前n项和性质法)：设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn.因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q＞0.因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64.因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝16.又q＞0，所以q＝2.
学生用书 第145页
【溯源教材16(2)】
溯源 (人教A选择性必修二P36例8)已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn.若，求公比q.
透视 该高考题与教材例题是“同源题型”，命题依据、角度、形式、解决方法几乎一致，都是用前n项和公式“先判断q、再列方程、最后作商求q”，本质是等比数列前n项和公式应用的反复训练.2023年全国甲卷(文)曾经进行了类似考查： (2023·全国甲卷文)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为　　　　. 答案：－ 解析：若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意.所以q≠1.因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)(1－q3)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7，解得q＝－.
预测 (1)已知等比数列的各项为正数，前n项和为Sn，若S3＝13，a3＝9，则公比q＝　　　　　　　. 答案：3 解析：由S3＝a1＋a2＋a3，则S3－a3＝a1＋a2＝4，由a3＝a1q2，a3＝a2q，则＋＝4，整理可得4q2－9q－9＝0，分解因式可得＝0，解得q＝3或－(舍去). (2)已知正项等比数列的前n项和为Sn，若S4＝S2，则＝　　　　. 答案： 解析：设正项等比数列的公比为q(q＞0)，由S4＝S2，得a4＋a3＝S4－S2＝S2＝(a2＋a1)，因此q2＝，q＝，所以＝q3＝.
5.(2024·全国甲卷文)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{Sn}的前n项和.
解：(1)因为2Sn＝3an＋1－3，
所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，
即an＋2＝an＋1，所以等比数列{an}的公比为.
因为2S1＝2a1＝3a2－3＝5a1－3，所以a1＝1，故an＝.
(2)因为2Sn＝3an＋1－3，所以Sn＝，
设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝×－n＝×()n－n－.
解决等比数列有关问题的两种常用思想
1.方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解.
2.分类讨论思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝.
注意：求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用q＝＝…＝.
考点二　等比数列的判定与证明 师生共研
(一题多变)(多选)已知等比数列{an}，满足a1＝1，公比q＝－2，则(　　)
A.数列是等比数列
B.数列是等比数列
C.数列是等比数列
D.数列是等比数列
答案：BC
解析：因为{an}是等比数列，且满足a1＝1，q＝－2，所以an＋1＝－2an，即an＋1＋2an＝0，所以数列不是等比数列，故A错误；对于B，因为an＝(－2)n－1，所以an＋1－an＝(－2)an－an＝－3an＝－3(－2)n－1，所以数列是等比数列，故B正确；对于C，an＋1an＝－2＝－2＝－2·4n－1，所以数列是等比数列，故C正确；对于D，ln＝ln｜(－2)n－1｜＝ln 2n－1＝(n－1)ln 2，所以数列是等差数列，故D错误.故选BC.
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件)数列{an}满足“a1＝1，a2＝4，3an＋2＋an＝4an＋1”，证明数列是等比数列.
证明：因为a1＝1，a2＝4，3an＋2＋an＝4an＋1，
所以a2－a1＝3，3an＋2－3an＋1＝an＋1－an，故an＋1－an≠0，.
所以数列是首项为3，公比为的等比数列.
2.(变条件)数列{an}满足“Sn＋2an＝2 027”，证明数列是等比数列.
证明：因为Sn＋2an＝2 027①，
所以当n＝1时，3a1＝2 027，即a1＝，
当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝2 027②，
①－②得，3an－2an－1＝0，即an＝an－1，
所以数列，公比为的等比数列.
学生用书 第146页
3.(变条件)数列{an}满足“Sn＋2an＝2 027n”，证明数列是等比数列.
证明：因为Sn＋2an＝2 027n①，
所以当n＝1时，3a1＝2 027，即a1＝，
当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝2 027(n－1)②，
①－②得，3an－2an－1＝2 027，即an＝an－1＋，
所以an－2 027＝an－1＋－2 027，
整理得an－2 027＝(an－1－2 027)，即，
所以数列是首项为－，公比为的等比数列.
4.(变设问)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
证明：选①②作为条件证明③：
设Sn＋a1＝A，则Sn＝A－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以a1＝；
当n≥2时，an＝Sn－＝A.
因为{an}是等比数列，所以，解得q＝2，所以a2＝2a1.
选①③作为条件证明②：
因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，
所以Sn＝＝a1，即Sn＋a1＝a12n.
因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列.
选②③作为条件证明①：
设Sn＋a1＝A，则Sn＝A－a1，
当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
当n≥2时，an＝Sn－＝A.
因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以当n≥2时，an＝A·＝a1·.
又因为＝2，且a2＝2a1，
所以{an}为等比数列.
【教师备选】　记等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是正项等比数列，且a1＝b1＝2，S10＝11a5，b3－b2＝a2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)证明是等比数列.
解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则S10＝10×2＋d＝11(2＋4d)，
解得d＝2，
则an＝2＋(n－1)×2＝2n.
设正项等比数列{bn}的公比为q(q＞0)，
则b3＝2q2，b2＝2q.
由题意，可得2q2－2q＝4，解得q＝2或－1(舍去)，
故bn＝2·2n－1＝2n.
(2)证明：令cn＝，则，
故是以c1＝为首项，公比为的等比数列.
注意：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可.
考点三　等比数列的性质及其应用 多维探究
角度1　等比数列项的性质
(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4＋log3a6＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.9
(2)已知数列是等差数列，数列是等比数列，若a2＋a4＋a6＝5π，b2b4b6＝3，则tan ＝　　　　.
答案：(1)C　(2)
解析：(1)因为{an}是等比数列，所以＝a4a6，所以a4a6＝81，所以log3a4＋log3a6＝log381＝log334＝4.故选C.
(2)由等差数列的性质可知，a2＋a4＋a6＝3a4＝5π，即a4＝，而a1＋a7＝2a4＝.根据等比数列的性质可知，b2b4b6＝＝3，则b4＝，b2b6＝＝3，所以tan ＝tan＝tan .
【教师备选】　已知数列为正项等比数列，若a3＋a4＋a6＋a8＋a9＝2，＋＋＋＋＝18，则a6＝　　　　.
答案：
解析：由＋＋＋＋＋＋＋＋，由等比数列的性质可得a3a9＝a4a8＝，＝18，所以.又a6＞0，所以a6＝.
角度2　等比数列前n项和的性质(高考超重点)
(1)(一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　)
A.120 B.85
C.－85 D.－120
(2)已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为　　　　.
答案：(1)C　(2)585
解析：(1)法一：设等比数列{an}的公比为 q，首项为a1，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×①，易知q≠1，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，所以S8＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C.
法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C.
(2)设公比为q，由所以S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2(1＋q3)(1＋q6)＝585.
角度3　等比数列的最值
(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 026a2 027＞1，＜0，下列结论正确的是(　　)
A.S2 026＜S2 027
B.a2 026a2 028－1＜0
C.T2 027是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
答案：AB
解析：当q＜0时，q＜0，不成立；当q≥1时，因为a1＞1，所以＞1，a2 027＞1，则＜0不成立；故0＜q＜1，且＞1，0＜＜1，故＞S2 026，故A正确；a2 026a2 028－1＝－1＜0，故B正确；T2 026是数列{Tn}中的最大值，故C、D错误.故选AB.
学生用书 第147页
等比数列性质应用问题的解题突破口
1.等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口.
2.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质.特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
3.涉及等比数列的单调性与最值问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
注意：在应用相应性质解题时，还要注意“设而不求”方法的运用.
对点练1.(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝　　　　.
答案：－2
解析：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1.因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
对点练2.已知公比不等于1的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝－1，S9＝3S3，则a13＋a14＋a15＝　　　　.
答案：16
解析：设数列{an}的公比为q(q≠1)，因为S6＝－1，所以(a1＋a2＋a3)(1＋q3)＝－1.所以a1＋a2＋a3≠0.因为S9＝3S3，所以(a1＋a2＋a3)(1＋q3＋q6)＝3(a1＋a2＋a3)，则1＋q3＋q6＝3.因为q≠1，所以q3＝－2，所以a1＋a2＋a3＝1.故a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3)q12＝1×(－2)4＝16.
对点练3.已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋an(n∈N*)的最小值为　　　　.
答案：2
解析：由已知得数列{an}的公比满足q3＝，解得q＝，所以a1＝2，a2＝1，a3＝，故数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋an∈.故最小值为2.
课时分层测评45　等比数列　
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.等比数列{an}的前n项和为Sn＝＋r，则r＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：B
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋r；当n≥2时，an＝Sn－＝32n－1－32n－3＝32n－3＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，所以3＋r＝，即r＝－.故选B.
2.(2025·山东烟台、东营一模)已知等比数列的前n项和为Sn，a2＋a3＝6，a1a4＝8，则S4＝(　　)
A.－15 B.－5
C.5 D.15
答案：D
解析：由等比数列性质可知，a2·a3＝a1a4＝8.又a2＋a3＝6，解得时，q＝＝2，所以a1＝1，故S4＝＝15.当时，q＝，所以a1＝8，故S4＝＝15，综上，S4＝15.故选D.
3.已知正项等比数列满足a1a9＝，a3＝，则a4＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为正项等比数列满足a1a9＝，所以，解得a5＝.又a3＝，所以a4＝.故选B.
4.(2026·河南郑州模拟)设正项等比数列{an}的公比为q，若a2，3a1，a3成等差数列，则q＝(　　)
A. B.
C.2 D.3
答案：B
解析：因为a2，3a1，a3成等差数列，所以6a1＝a2＋a3，所以6a1＝a1q＋a1q2，则q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3(舍去)，所以q＝2.故选C.
5.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　)
A.若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
B.若{an}为等差数列，则{}为等比数列
C.若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列
D.若a1＝1，a2＝2，3＝an＋2(n∈N*)，则{－an}为等比数列
答案：BCD
解析：对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，此时a，b，c不成等比数列，故A错误；对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有＝2d＞0，所以数列{}为等比数列，故B正确；对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2，an＝Sn－＝3n－1－(－1)＝3n－＝2·(n≥2)，a1＝2显然满足an＝2·，所以数列{an}为等比数列，故C正确；对于D，因为3＝an＋2，所以2(－)＝－an，而a1＝1，a2＝2，因此数列{－an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确.故选BCD.
6.(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，a1＝20，2a6＋a5－a4＝0，数列{an}的前n项积为Tn，则(　　)
A.数列{an}单调递增
B.数列{an}单调递减
C.Tn的最大值为T5
D.Tn的最小值为T5
答案：BC
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为2a6＋a5－a4＝0，所以2a4q2＋a4q－a4＝0.因为a4＞0，所以2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，所以数列{an}单调递减，故A错误，B正确；因为数列{an}单调递减，且各项均为正数，所以数列{an}的前n项积Tn有最大值，无最小值，故D错误；若Tn取最大值，则又n∈N*，所以n＝5，即Tn的最大值为T5，故C正确.故选BC.
【教师备选】　(多选)已知等比数列{an}中，a3＋a4＝40，a3－a5＝30，则(　　)
A.公比为 B.a2 025＝16a2 027
C.当n≥6时，an＜ D.{an}的前10项积为1
答案：ABD
解析：对于A，设等比数列{an}的公比为q，由故A正确；对于B，a2 027＝a2 025q2＝a2 025，则a2 025＝16a2 027，故B正确；对于C，an＝a3qn－3＝211－2n，当n≥6时，11－2n≤－1，则an≤2－1＝，故C错误；对于D，由a5a6＝2×＝1，可得{an}的前10项积为(a5a6)5＝1，故D正确.故选ABD.
7.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为　　　　.
答案：9，3，1或1，3，9
解析：设这三个数为，a，aq，则所以这三个数为9，3，1或1，3，9.
8.(2026·江苏南京、盐城模拟)已知数列为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值为　　　　.
答案：5
解析：因为数列为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1.因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24，解得k＝5.
9.(10分)(2025·八省适应性测试节选)已知数列中，a1＝3，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式.
解：(1)证明：由＋，
则1－－，
所以数列是首项为1－，公比为的等比数列.
(2)由(1)得1－×，
解得an＝.
(10、11题，每小题5分， 共10分)
10.(多选)已知在数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A.a4＝4 B.{a2n}是等比数列
C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1
答案：ABC
解析：因为a1＝1，an·an＋1＝2n，所以a1·a2＝2，即a2＝2.因为an·an＋1＝2n，所以an＋1·an＋2＝2n＋1，所以＝2，所以数列{an}的奇数项是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以a2＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a2n＝2×2n－1＝2n，a2n－1＝1×2n－1＝2n－1，所以a4＝4，故A，B正确；a2n－a2n－1＝2n－2n－1＝2n－1，故C正确；a2n－1＋a2n＝2n－1＋2n＝3×2n－1，故D不正确.故选ABC.
11.(开放题)(2025·湖北武汉调研)写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{an}的通项公式an＝　　　　.
①anan＋1＜0；②｜an｜＜｜an＋1｜.
答案：(－2)n(答案不唯一)
解析：设等比数列{an}的公比为q，由an＜0，可知q＜0.又｜an｜＜｜｜，所以｜q｜＞1，所以q＜－1，所以q可取－2.设a1＝－2，则an＝－2·(－2＝(－2)n(答案不唯一).
12.(15分)已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞成立的最大正整数k的值.
解：(1)设公比为q，由题意得a1＋a2＝2a3，
所以a1(1＋q－2q2)＝0.
又因为a1≠0，所以q＝－或q＝1(舍去).
因为a1＋a3＝5，所以a1(1＋q2)＝5，
所以a1＝4，所以an＝4·.
(2)Sn＝ ＝.
因为Sk＞，所以＞，所以＜－，
显然，k为奇数，
即＞＞ ＝，解得k≤3，
所以满足条件的最大正整数k的值为3.
(每小题5分，共10分)
13.(交汇题)(多选)(2025·山东济宁一模)已知等比数列的前n项和为Sn，且an＋1＝Sn＋2，为等差数列，且b2＝a1，b8＝a3，记集合A＝中元素的个数为cn，数列的前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)
A.an＝2n
B.bn＝n
C.cn＝2n－n
D.Tn＝2n＋1－－2
答案：ABD
解析：对于A，设等比数列的公比为q，由an＋1＝Sn＋2，得an＝Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，所以q＝2.又a2＝S1＋2＝a1＋2，a2＝2a1，解得a1＝2，所以an＝2×2n－1＝2n，故A正确；对于B，设等差数列的公差为d，由b2＝a1＝2，b8＝a3＝8，得6d＝b8－b2＝6，解得d＝1，所以bn＝b2＋d＝n，故B正确；对于C，由A＝，得A＝，则集合A中元素的个数为2n－n＋1，即cn＝2n－n＋1，故C错误；对于D，Tn＝－＋n＝－＋n＝2n＋1－－2，故D正确.故选ABD.
14.若m，n是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同零点，且m，n，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq＝　　　　.
答案：20
解析：由题意可得则m，－2，n或n，－2，m成等比数列，得mn＝(－2)2＝4.不妨设m＜n，则－2，m，n或n，m，－2成等差数列，得2m＝n－2.结合mn＝4，可得(2m＋2)m＝4 m(m＋1)＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，即所以pq＝20
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑