资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第38讲　空间直线、平面的平行
【课程标准】　1.从立体几何的定义、4个基本事实和定理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，归纳出有关平行的性质定理和判定定理，并加以证明性质定理.　2.能用已获得的结论证明空间基本图形平行关系的简单命题.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
[微提醒]　三种平行关系的转化
学生用书 第189页
【常用结论】
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2.平行关系有关的性质
(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(2)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(3)同一条直线与两个平行平面所成的角相等.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面
B.若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条
C.若直线a 平面α，直线b 平面β，a∥b，则α∥β
D.如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面
答案：ABC
2.(链接人教A必修二P143T1)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线都不相交
答案：D
解析：因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.故选D.
3.(链接人教A必修二P142T2)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
答案：D
解析：若α∩β＝l，a∥l，a α，a β，a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，a α，a∥l，则a∥β，故排除B；若α∩β＝l，a α，a∥l，b β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
4.(链接人教A必修二P138例3)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为　　　　　　.
答案：平行四边形
解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形.
考点一　直线与平面平行的判定与性质 多维探究
角度1　直线与平面平行的判定
(一题多解)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.
求证：BE∥平面PAD.
证明：法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
根据题意知，EF为△PDC的中位线，CD＝4，所以EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又因为AB∥CD，AB＝2，所以ABEF，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
法二：如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH.
因为AB∥CD，AB＝2，CD＝4，所以＝＝，即B为HC的中点.
又E为PC的中点，所以BE∥PH.
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE.
因为E为PC的中点，所以EH∥PD.
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，所以EH∥平面PAD.
又根据题意知，ABDH，
所以四边形ABHD为平行四边形，所以BH∥AD.
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，所以BH∥平面PAD.
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，所以平面BHE∥平面PAD.
又BE 平面BHE，所以BE∥平面PAD.
角度2　直线与平面平行的性质
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，F为PA的中点，E为PB的中点.
(1)求证：PC∥平面BFD；
(2)已知点M在PD上，且满足EC∥平面BFM，求的值.
解：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接OF.
因为在△PAC中，F为PA的中点，O为AC的中点，
所以PC∥FO.
又因为PC 平面BFD，FO 平面BFD，
所以PC∥平面BFD.
(2)如图，连接FM并延长，交AD的延长线于点G，连接BG，交CD于点N，连接EF，FN，PG.易得EF∥CN，
所以EF与NC共面.
因为EC∥平面BFM，平面BFM∩平面EFNC＝FN，
所以EC∥FN，所以四边形EFNC为平行四边形，所以EF＝CN＝CD，所以N为CD的中点，所以D为AG的中点，FD∥PG，
所以＝＝2，即＝2.
学生用书 第190页
1.线面平行的证明方法
(1)定义法：一般用反证法.
(2)判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程.
(3)性质定理法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.
2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
注意：应用线面平行的判定定理和性质定理时，一定要注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤.
对点练1.如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.
证明：(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l.
证明：(1)如图，取PB的中点G，
连接FG，EG.
因为点F为PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为四边形ABCD为长方形，
所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE.
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE.
(2)由(1)知DF∥平面PBE，
又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，
所以DF∥l.
考点二　平面与平面平行的判定与性质(高考超重点) 师生共研
(一题多变)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.
求证：(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH∥B1C1.
又B1C1∥BC，
所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面.
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC.
因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，AB＝A1B1，所以A1GEB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件、变设问)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
证明：如图所示，连接HD，A1B，BC1.
因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
所以HD∥A1B.
又HD 平面A1B1BA，A1B 平面A1B1BA，
所以HD∥平面A1B1BA.
2.(变条件、变设问)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：如图所示，连接A1C交AC1于点M.
因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点.
连接MD，
因为D为BC的中点，所以A1B∥DM.
因为A1B 平面A1BD1，DM 平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1BD，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以DC1∥BD1.
又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1.
又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D，
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
学生用书 第191页
1.证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
注意：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明在一个平面内的两条直线是相交直线.
对点练2.如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l.
证明：(1)由题设知BB1DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1B1C1BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1.
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
考点三　平行关系的综合应用 师生共研
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为棱PD上一点，N为BC的中点.
(1)当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB；
(2)是否存在点M，使PB∥平面AMN成立，若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由.
解：(1)证明：取AP的中点E，连接EM，EB，如图①所示.
因为在△PAD中，M为PD的中点，E为AP的中点，
所以EM∥AD，EM＝AD.
因为在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，
所以BN∥AD，BN＝AD.
所以BN∥EM，BN＝EM，
所以四边形BNME为平行四边形，所以MN∥BE.
因为MN 平面PAB，BE 平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)假设存在点M，使PB∥平面AMN成立.
连接BD，与AN交于点O，连接OM，如图②所示.
因为PB∥平面AMN，平面PBD∩平面AMN＝OM，PB 平面PBD，所以PB∥OM.
易知△BON∽△DOA，
所以＝＝＝，
所以存在点M使PB∥平面AMN成立，且M为PD上靠近点P的三等分点.
　　解决存在性问题一般先假设有关的元素(点、直线、平面)存在，然后从这个元素满足的结论出发，寻找使这个结论成立的充分条件.若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明即可.
对点练3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的点.
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值.
解：(1)当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，
因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.
所以＝，＝.
又＝1，所以＝1，即＝1.
【教师备选】　如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，点M在棱PD上.
(1)求证：CD∥平面PAB；
(2)若PB∥平面MAC，在平面MAC内作与PB平行的直线，并求此时的值.
解：(1)证明：因为CD∥AB，CD 平面PAB，AB 平面PAB，所以CD∥平面PAB.
(2)如图，连接BD交AC于点O，连接OM.
因为PB∥平面MAC，且PB 平面PBD，平面PBD∩平面MAC＝MO，所以PB∥MO.
所以△DOM∽△DBP，可得＝.
又CD∥AB，所以△COD∽△AOB，所以＝＝2.所以＝2.
课时分层测评58　空间直线、平面的平行
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有(　　)
A.4条 B.6条
C.8条 D.12条
答案：B
解析：作出如图所示的图形，其中E，F，G，H是相应棱的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH 中.由此四点可以组成的直线有EF，GH，FG，EH，GE，HF，共6条.故选B.
2.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：如图，连接AC交BE于点G，连接FG.因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即＝＝，所以＝.故选D.
3.(2026·北京市海淀区模拟)已知A，B是平面α上的点，A1，B1是平面β上的点，且AA1∥BB1，则“AA1＝BB1”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：若A，B是平面α上的点，A1，B1是平面β上的点，且AA1∥BB1.设p：α∥β，q：AA1＝BB1.必要性：p q，若α∥β，且有AA1∥BB1，则A，A1，B，B1四点构成一个平面AA1B1B，且平面AA1B1B∩平面α＝AB，平面AA1B1B∩平面β＝A1B1，所以AB∥A1B1，所以四边形AA1B1B为平行四边形，所以AA1＝BB1，故必要性成立；充分性：q p，若AA1＝BB1，且有AA1∥BB1，则四边形AA1B1B为平行四边形，所以AB∥A1B1.因为A，B是平面α上的点，A1，B1是平面β上的点，所以AB α，A1B1 β，只有两直线平行无法得出α∥β，所以充分性不成立.所以“AA1＝BB1”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
【教师备选】　(2025·安徽皖南八校第三次联考)设l1，l2，l3是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且α∩β＝l1，l2 α，l3 β，则“l2∥l3”是“l1∥l2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：当l2∥l3时，如图1，l3 β，l2 β，所以l2∥β，又l2 α，α∩β＝l1，所以l1∥l2成立；当l1∥l2时，若l1与l3相交，如图2，则l2与l3异面，不能推导出l2∥l3，所以“l2∥l3”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面DD1C1C的交线为l，则(　　)
A.l∥A1D B.l∥B1D
C.l∥C1D D.l∥D1C
答案：C
解析：因为平面AA1B1B∥平面DD1C1C，平面AB1C∩平面DD1C1C＝l，平面AB1C∩平面AA1B1B＝AB1，所以l∥AB1.因为ADB1C1，所以四边形ADC1B1为平行四边形.所以AB1∥C1D.所以l∥C1D.因为A1D，B1D，D1C都与C1D相交，所以l与A1D，B1D，D1C都不平行.故选C.
5.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则(　　)
A.OM∥PA
B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA
D.OM∥平面PBA
答案：BC
解析：由题意知，OM是△BPD的中位线，所以OM∥PD.又PD∩PA＝P，故A不正确；PD 平面PCD，OM 平面PCD，所以OM∥平面PCD，故B正确；同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；OM与平面PBA相交于点M，故D不正确.故选BC.
6.(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　)
答案：AC
解析：对于A，AB∥DE，AB 平面DEF，DE 平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图①所示，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；对于C，AB∥DF，AB 平面DEF，DF 平面DEF，所以直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图②所示，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，所以AB∥OD，因为OD与平面DEF相交，所以直线AB与平面DEF相交，故D错误.故选AC.
7.(多题同解)(1)在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为　　　　.
(2)如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2，DE＝4，EF＝3，则AC的长为　　　　.
答案：(1)8　(2)
解析：(1)如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
(2)因为AB＝2，DE＝4，EF＝3，所以＝，解得BC＝.所以AC＝AB＋BC＝2＋＝.
8.(开放题)如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件　　　　时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况).
答案：点M与点H重合(点M只要在线段FH上即可)
解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD.又FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，所以平面FHN∥平面B1BD只需M∈FH，则MN 平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.
9.(10分)(2025·上海卷)如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB＝2.
(1)若直线PA与圆锥底面所成角为，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q是母线PA的中点，点C，D在底面圆周上，且弧的长为，CD∥AB.设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平面PBD.
解：(1)根据题意知，∠PAB＝，即轴截面△ABP是等边三角形，故PA＝AB＝2，
底面周长为2π×1＝2π，
则侧面积为×2×2π＝2π.
(2)证明：根据题意知，AQ＝QP，AO＝OB，则根据中位线性质QO∥PB.
又QO 平面PBD，PB 平面PBD，则QO∥平面PBD.
由于＝，底面圆半径是1，则∠AOC＝.
又CD∥AB，则∠OCD＝.
又OC＝OD，则△OCD为等边三角形，则CD＝1，
于是CD∥BO且CD＝OB，则四边形OBDC是平行四边形，故OC∥BD.
又OC 平面PBD，BD 平面PBD，故OC∥平面PBD.
又OC∩OQ＝O，OC，OQ 平面QOC，
所以平面QOC∥平面PBD.
又QM 平面QOC，则QM∥平面PBD.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.如图，已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论中错误的是(　　)
A.直线A1C1与AD1为异面直线
B.A1C1∥平面ACD1
C.平面A1C1B∥平面ACD1
D.三棱锥D1-ADC的体积为
答案：D
解析：根据异面直线的定义易知直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，则四边形AA1C1C为平行四边形，所以A1C1∥AC.又A1C1 平面ACD1，AC 平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；同理可证，BC1∥平面ACD1，A1C1∩BC1＝C1，且A1C1，BC1 平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，故C正确；＝S△ADC·DD1＝××2×2×2＝，故D错误.故选D.
11.(多选)(2025·浙江温州二模)在四棱锥P-ABCD中，E，F分别是AP，BC上的点，＝，则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)
A.AD∥BC B.AB∥CD
C.BC∥平面PAD D.CD∥平面PAB
答案：BD
解析：如图①，过E点作EG∥PD交AD于点G，连接GF，即有EG∥平面PCD.由于△AEG∽△APD，所以＝＝.若AB∥CD，则GF∥CD.又GF 平面PCD，CD 平面PCD，所以GF∥平面PCD.又EG∩GF＝G，EG，GF 平面EGF，所以平面EGF∥平面PCD.又EF 平面EGF，所以EF∥平面PCD，故B正确；若CD∥平面PAB，又因为平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以CD∥AB，由B可知D正确；假设EF∥平面PCD，设平面EFP∩CD＝H，则EF∥PH.若BC∥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.反之若BC∥AD，当且仅当BC∥平面PAD，即A、C同时正确或错误；若BC∥AD，可能AB∥CD，也可能AB与CD相交.若AB与CD相交，由＝知延长FG必与AB，CD交于同一点O，如图②，由几何关系知EF与PH不平行，故A、C错误.故选BD.
12.(15分)(2025·河南洛平许济二模节选)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B与底面ABC垂直，且BC＝2AB＝2，AC＝，D为侧棱AA1的中点，三棱锥B1-BCD的体积为.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的高；
(2)已知点E在B1C上，且＝λ，若A1E∥平面BCD，求实数λ的值.
解：(1)因为AA1∥平面BB1C1C，所以＝＝＝＝.
又＝，所以＝.
在△ABC中，BC＝2AB＝2，AC＝，
所以cos∠ABC＝＝＝－，
所以∠ABC＝，
所以S△ABC＝AB·BCsin ∠ABC＝×1×2×＝.
设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，则＝S△ABC·h＝h＝，
解得h＝.
(2)设BB1的中点为F，连接A1F，EF.
因为A1D∥BF且A1D＝BF，所以四边形A1DBF为平行四边形，所以A1F∥BD.
又A1F 平面BCD，BD 平面BCD，所以A1F∥平面BCD.
因为A1E∥平面BCD，A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F 平面A1EF，所以平面A1EF∥平面BCD.
又平面A1EF∩平面BB1C1C＝EF，平面BCD∩平面BB1C1C＝BC，所以EF∥BC.
因为F为BB1的中点，所以E为B1C的中点，
所以＝，即λ＝.
(每小题5分，共10分)
13.如图，四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形，M为CC'的中点，点N在线段AB上，AB＝4BN.若MN∥平面ADD'A'，则此棱台上下底面边长的比值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设E为CD的中点，G为EC的中点，连接MG，NG，C'E，则NG∥AD，则平面MNG∥平面ADD'A'.又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG，DD'，则MG∥DD'.因为E为CD的中点，G为EC的中点，M为CC'的中点，所以DD'∥C'E∥MG，所以四边形DEC'D'为平行四边形，所以DE＝D'C'，所以棱台上下底面边长的比值为.故选D.
14.在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动.若PA1∥平面AMN，则PA1的最小值是(　　)
A.1 B.
C. D.
答案：C
解析：如图所示，取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF.因为M，N分别是棱BC，CC1的中点，所以A1E∥AM，EF∥MN，又因为A1E∩EF＝E，AM∩MN＝M，A1E，EF 平面A1EF，AM，MN 平面AMN，所以平面A1EF∥平面AMN.因为PA1∥平面AMN，且P点在右侧面，所以点P的轨迹是线段EF，且A1E＝A1F＝，EF＝，所以当点P位于EF的中点O处时，PA1最小，此时，PA1＝A1O＝＝＝.故选C.
【教师备选】　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AA1，A1D1的中点，P为底面四边形ABCD内(包括边界)的一动点，若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为(　　)
A.2 B.
C. D.2
答案：B
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，取BC 的中点G，连接AG，AD1，D1G，如图所示.因为E，F分别是棱AA1，A1D1的中点，所以EF∥AD1.又EF 平面BEF，AD1 平面BEF，所以AD1∥ 平面BEF.因为BC∥AD∥A1D1，所以BG∥D1F.又BG＝D1F，所以四边形BGD1F 为平行四边形.所以D1G∥BF.又BF 平面BEF，D1G 平面BEF，所以D1G∥ 平面BEF.因为AD1∩D1G＝D1，AD1，D1G 平面AD1G，所以平面AD1G∥ 平面BEF.因为直线D1P 与平面BEF 无公共点，所以D1P∥ 平面BEF，则D1P 平面AD1G，所以线段AG 是点P 在底面ABCD 内的轨迹.又AG＝＝＝，所以点P 的轨迹长度为.故选B.
学生用书 第192页
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑