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培优进阶14　平面向量的应用及最值(范围)问题
　　平面向量的应用主要体现在物理、平面几何中的应用及与向量有关的最值、范围问题，尤其是最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇融合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值(范围)，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的最值(范围)等.解题时要注意向量“数”与“形”的双重身份，解题时重视数形结合思想的应用.
题型一　 平面向量的实际应用问题
(2025·全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图①给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图②所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
等级 风速大小(单位：m/s) 名称
2 1.6～3.3 轻风
3 3.4～5.4 微风
4 5.5～7.9 和风
5 8.0～10.7 劲风
图①
图②
A.轻风 B.微风
C.和风 D.劲风
答案：A
解析：真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝，如图，｜｜＝2∈(1.6，3.3).故选A.
用向量方法解决实际问题的步骤
对点练1.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小｜v1｜＝10 km/h，水流的速度v2的大小｜v2｜＝4 km/h，设v1和v2所成的角为θ(0＜θ＜π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案：B
解析：由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有｜v1｜｜v2｜cos θ＋＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－.故选B.
对点练2.在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且｜F1｜＝｜F2｜，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)
A.｜G｜＝｜F1｜＋｜F2｜
B.当θ＝时，｜F1｜＝｜G｜
C.当θ角越大时，用力越省
D.当｜F1｜＝｜G｜时，θ＝
答案：B
解析：根据题意可得－G＝F1＋F2，则｜G｜＝｜F1＋F2｜＝，当θ＝0时，｜G｜＝2｜F1｜＝｜F1｜＋｜F2｜，当θ＝时，｜G｜＝｜F1｜，即｜F1｜＝｜G｜，故A错误，B正确；｜G｜＝，因为y＝cos θ在(0，π)上单调递减，且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；当｜F1｜＝｜G｜时，即｜G｜＝＝｜F1｜，解得cos θ＝－，又因为θ∈[0，π)，所以θ＝，故D错误.故选B.
题型二　平面向量在几何中的应用问题
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　)
A.49 B.7
C. D.
答案：D
解析：由S△ABC＝absin C＝×3×b×，得b＝5，不妨取AB的中点为M，故＋)，故｜｜＝，即AB边上的中线长为.故选D.
向量方法解决平面几何问题的策略
1.步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决平面几何问题.
学生用书 第170页
2.方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，建立向量之间的关系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
对点练3.在平面四边形ABCD中，，＝(6，4)，则该四边形的面积为(　　)
A.3 B.4
C.13 D.26
答案：C
解析：因为＝－12＋12＝0，所以AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为｜｜·｜｜＝××＝13.故选C.
对点练4.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为　　　　.
答案：
解析：以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，).设＝λ，则E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－).因为BE⊥AC，所以＝0，即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝，所以E，故，｜｜＝，即ED＝.
题型三　与平面向量有关的最值(范围)问题
角度1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)
如图，在△ABC中，点P满足2，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x＞0，y＞0)，则2x＋y的最小值为(　　)
A.3 B.3
C.1 D.
答案：A
解析：由题意知，＋＋＋－)＝＋.又＝x，＝y(x＞0，y＞0)，所以＋，由M，P，N三点共线，得＋＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＋＋＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立.故2x＋y的最小值为3.故选A.
角度2　与数量积有关的最值(范围)(高考超重点)
(1)(一题多解)(2020·新高考Ⅰ卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 的取值范围是(　　)
A.(－2，6) B.(－6，2)
C.(－2，4) D.(－4，6)
(2)如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：(1)A　 (2)B
解析：(1)法一：＝｜｜｜｜cos∠PAB＝2｜｜·cos∠PAB，又｜｜cos∠PAB 表示 方向上的投影数量，当P 与C 重合时投影数量最大，当P 与F 重合时投影数量最小.又因为＝2×2×cos 30°＝6，＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，∈(－2，6).故选A.
法二：以A 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2，0)，＝(x，y)·(2，0)＝2x，易知x∈(－1，3)，所以∈(－2，6).故选A.
(2)由题意可得，－－1，当OM与正六边形的边垂直时，，当点M运动到正六边形的顶点时，＝2，所以∈，则∈，即∈.故选B.
角度3　与模有关的最值(范围)
(1)已知向量a，b满足＝1，b＝，a－b与a垂直，则的最小值为(　　)
A. B.
C.1 D.3
(2)(一题多解)已知a，b，e是平面向量，其中e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则｜a－b｜的最小值为(　　)
A.－1 B.＋1
C.2 D.2－
答案：(1)C　(2)A
解析：(1)由a－b与a垂直，得·a＝0，则a·b＝a2＝1，所以≥1，所以当t＝1时，的最小值为1.故选C.
(2)法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x＞0)上，如图所示，由数形结合可知，｜a－b｜min＝｜｜min＝2sin－1＝－1(的最小值，即圆心C到OA的距离减去圆的半径).故选A.
法二：由b2－4e·b＋3＝0得，b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以＝0，取EF的中点为C，则点B在以C为圆心，EF为直径的圆上运动，如图.设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以｜a－b｜＝｜(a－2e)＋(2e－b)｜≥｜a－2e｜－｜2e－b｜＝｜｜－｜∣≥－1.故选A.
角度4　与夹角有关的最值(范围)
平面向量a，b满足｜a｜＝3｜b｜，且｜a－b｜＝4，则a与a－b夹角的正弦值的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：如图所示，设a＝，b＝，则a－b＝，设｜b｜＝m，｜a｜＝3m，1≤m≤2，cos ∠OAB＝＋≥2，当且仅当，即m＝时等号成立，故∠OAB∈，当cos ∠OAB最小时，sin ∠OAB最大，故a与a－b夹角的正弦值的最大值为.故选B.
求与向量有关最值(范围)的常用方法
1.利用三角函数求最值(范围).
2.利用基本不等式求最值(范围).
3.建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).
4.数形结合，应用图形的几何性质求最值(范围).
对点练5.(2025·山东日照三模)如图所示，在扇形BOD中，OB＝2，∠BOD＝，C是OB中点，A是弧BD上的一个动点，则的最小值为(　　)
A.2 B.－2
C.－ D.－1
答案：D
解析：在扇形BOD中，OB＝2，∠BOD＝，C是OB中点，A是弧BD上的一个动点，建立平面直角坐标系，如图所示.由于点C为OB的中点，所以C(1，0)，设∠BOA＝θ(0≤θ≤)，所以A(2cos θ，2sin θ)，故＝(1，0)，＝(2cos θ，2sin θ)，所以＝2cos θ.由于函数y＝2cos x在(0，π)上单调递减，故当θ＝时，取得最小值为2cos＝－1.故选D.
对点练6.平面向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，则cos＜b，3b－a＞的最小值为　　　　.
答案：
解析：由｜a－3b｜＝1两边平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因为｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝，所以cos＜b，3b－a＞＝(8｜b｜＋)≥×2，当且仅当｜b｜＝时取等号，所以cos＜b，3b－a＞的最小值为.
对点练7.(一题多解)(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy中，｜｜＝｜｜＝，｜｜＝2，设C(3，4)，则｜2＋｜的取值范围是(　　)
A.[6，14] B.[6，12]
C.[8，14] D.[8，12]
答案：D
解析：法一：因为｜OA｜＝｜OB｜＝，｜｜＝2，由－＝0，所以＜，＞＝.2＋＝2＋－＋－2，＝5，所以＋＋4－4＝2＋2＋4×25－4＝104－4.又≤＝5×＝10，即－10≤≤10，所以∈，即∈.故选D.
法二：因为2＋＋(＋)＝＋＝(－)＋(－)＝(＋)－2，又因为｜＋｜＝＝2，｜2｜＝10，所以10－2≤｜(＋)－2｜≤10＋2，即8≤｜2＋｜≤12.故选D.
课时分层测评53　平面向量的应用及最值(范围)问题
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.四边形ABCD中，，·(－)＝0，则这个四边形是(　　)
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.等腰梯形
答案：A
解析：由题意，，即｜AD｜＝｜BC｜且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形.又＝｜｜2－｜｜2＝0，故AB＝AD，即四边形ABCD为菱形.故选A.
2.在水流速度为10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为(　　)
A.北偏西30°，20 km/h
B.北偏西60°，10 km/h
C.北偏东30°，10 km/h
D.北偏东60°，20 km/h
答案：A
解析：如图，船从点O出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，｜｜＝10，｜｜＝10，则｜｜＝＝20，则cos ∠BOC＝.因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20 km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸.故选A.
3.已知a是单位向量，向量b(b≠a)满足b－a与a所成角为60°，则｜b｜的取值范围是(　　)
A.(，＋∞) B.(，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(，＋∞)
答案：C
解析：设＝a，＝b，如图所示，则－＝b－a.又因为a与b－a的夹角为60°，所以∠ABC＝120°.又｜｜＝｜a｜＝1，由正弦定理，得｜b｜＝.因为C∈(0，)，所以sin C∈(0，)，所以｜b｜＝∈(1，＋∞).故选C.
4.已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，若a·b＝，则(2a＋c)·(b－c)的最小值为(　　)
A.－2 B.－
C.－1 D.0
答案：B
解析：因为平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a·b＝，则cos＜a，b＞＝，所以＜a，b＞＝60°.设＝a＝(1，0)，＝b＝(，)，c＝(cos θ，sin θ)，所以(2a＋c)·(b－c)＝(2＋cos θ，sin θ)·(－cos θ，－sin θ)＝(2＋cos θ)(－cos θ)＋sin θ·(－sin θ)＝sin θ－cos θ＝sin(θ－)，所以(2a＋c)·(b－c)的最小值为－.故选B.
5.(2025·江苏南京二模)在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，F是线段BE上的动点，则的最小值为(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案：C
解析：根据题意以点A为坐标原点，AB，AD为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，所以A，B，C，D，E，而F是线段BE上的动点，从而可设＝λ＋＋，λ∈，所以点F的坐标是，所以，，＋＝4λ2－6λ＋2＋λ2－1＝5λ2－6λ＋1＝5－，λ∈，所以当λ＝时，的最小值是－.故选C.
6.(一题多解)已知AB是圆C：(x－1)2＋y2＝1的直径，点P为直线x－y＋1＝0上任意一点，则的最小值为(　　)
A.0 B.－1
C.1 D.
答案：C
解析：法一：不妨设A(0，0)，B(2，0)，P(x，x＋1)，则＝(－x，－x－1)，，所以＝－x＋(－x－1)(－x－1)＝2x2＋1≥1，所以的最小值为1.故选C.
法二：设P(x，x＋1)，由题意知，圆心C(1，0)，因为＋，＋，又＋＝0，所以＝｜｜2－｜｜2＝2x2＋1≥1，所以的最小值为1.故选C.
法三：如图所示，＝｜｜2＋＋＝｜｜2＋＝｜｜2－r2＝d2－r2，其中d为圆心C到直线x－y＋1＝0上的点的距离，故当d最小时，最小.因为dmin＝，所以的最小值为2－1＝1.故选C.
7.(多选)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是以A为圆心、AB长为半径的(包含B，D)上的任意一点，且＝x＋y，则下列结论正确的是(　　)
A.x＋y的最大值为
B.x＋y的最小值为
C.的最大值为4
D.的最小值为4－4
答案：ACD
解析：以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2).设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈［0，］，则＝(2，0)，＝(0，2)，＝(2cos θ，2sin θ).因为＝x＋y，所以x＝cos θ，y＝sin θ，x＋y＝sin (θ＋)∈[1，]，故A正确，B错误；＝4sin θ∈[0，4]，所以的最大值为4，故C正确；又＝(2－2cos θ， －2sin θ)·(－2cos θ， 2－2sin θ)＝(2－2cos θ)(－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)＝4－(4sin θ＋4cos θ)＝4－4sin (θ＋)∈[4－4，0]，所以的最小值为4－4，故D正确.故选ACD.
8.(多选)(2024·湖北黄冈质量抽测)折扇又名“纸扇”，是一种用竹木作扇骨，韧纸或绫绢作扇面的能折叠的扇子，如图①所示.其平面图是如图②的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有(　　)
A.－1
B.若＝λ＋m，则λ＋m＝＋1
C.在方向上的投影向量为
D.的最小值为－3
答案：BCD
解析：以O为坐标原点，OB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，∠BOF＝120°，所以F(－1，)，B(2，0)，D(1，0)，A(－，1)，C.设E，0≤θ≤.对于A，·(－－1，1)＝－－1，故A错误；对于B，＝λ＋m，即λ＋m＝＋1，故B正确；对于C，因为，＝(－2，)，所以×，故C正确；对于D，＝(－1－cos θ，－sin θ)·(2－cos θ，－sin θ)＝－2－cos θ＋cos2θ－sin θ＋sin2θ＝－1－2sin(θ＋)，因为0≤θ≤，所以≤θ＋≤π，0≤sin(θ＋)≤1，所以当θ＝时，取得最小值－3，故D正确.故选BCD.
9.(一题多解)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则｜2a－b｜的最大值为　　　　.
答案：4
解析：法一： 由题意得｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－)，所以｜2a－b｜2＝4｜a｜2＋｜b｜2－4a·b＝4×12＋22－8sin(θ－)＝8－8sin(θ－).所以｜2a－b｜2的最大值为8－8×(－1)＝16，故｜2a－b｜的最大值为4，此时θ＝2kπ－，k∈Z.
法二：因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，所以2a－b＝(2cos θ＋，2sin θ－1)，所以｜2a－b｜＝＝
.故｜2a－b｜的最大值为＝4，此时θ＝2kπ－，k∈Z.
法三：由题意得｜2a－b｜≤2｜a｜＋｜b｜＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故｜2a－b｜的最大值为4.
10.如图，在△ABC中，，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为　　　　.
答案：16
解析：由已知得＝3，所以＝x＋y＝x＋3y.因为E为线段AD上的动点，所以A，D，E三点共线，所以x＋3y＝1且x＞0，y＞0，所以＋＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当x＝y＝时，等号成立.故＋的最小值为16.
(每小题5分，共20分)
11.(交汇融合)在△ABC中，AC＝9，A＝60°，点D满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A.3 B.3
C.3 D.6
答案：A
解析：因为＝2，所以＋＋＋－)＝＋.设AB＝x，x＞0，则｜｜2＝，得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6(舍负)，即AB＝6，所以｜｜＝｜－｜
＝
＝＝3.故选A.
12.(多选)已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足＋2＝0，＝2，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是(　　)
A.∥ B.＋
C.＜0 D.S＝4
答案：BCD
解析：由＋2＝0，＝2，可知点P为AC的靠近点C的三等分点，点Q为AB延长线上的点，且B为AQ的中点，如图所示.对于A，点P为AC的靠近点C的三等分点，点B为AQ的中点，所以PB与CQ不平行，故A错误；对于B，＋＋＋－)＝＋，故B正确；对于C，＝｜｜｜｜cos π＝－｜｜｜｜＜0，故C正确；对于D，设△ABC边AB上的高为h，S△ABC＝｜AB｜h＝3，即｜AB｜h＝6，则△APQ的面积S＝｜AQ｜·h＝·2｜AB｜·h＝×6＝4，故D正确.故选BCD.
13.已知｜a｜＝2｜b｜，｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是　　　　.
答案：
解析：因为关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，所以Δ＝｜a｜2－4a·b＝｜a｜2－4｜a｜｜b｜cos θ＝4｜b｜2－8｜b｜2·cos θ≥0，所以cos θ≤.又θ∈[0，π]，所以≤θ≤π.
14.△ABC中，BC＝2，A＝60°，则的最大值为　　　　.
答案：6＋4
解析：由正弦定理可得＝4＝2R，所以△ABC在以半径为R＝2的圆O上，如图，则.由向量数量积的几何意义及垂径定理可知：＋≤6＋，当同向时，有最大值为4，所以的最大值为6＋4.
(每小题5分，共10分)
15.(交汇创新)(2025·广东茂名一模)向量a与b在单位向量e上的投影向量均为3e，且＝5，当a与b的夹角最大时，a·b＝(　　)
A.8 B.5
C. D.
答案：D
解析：设e为x轴正半轴上的单位向量，令3e＝，a＝，b＝.如图所示，设a与b的夹角为θ，若θ∈，在△AOB中，由余弦定理得cos θ＝，而＋－25＝9＋m2＋9＋－25＝2＋＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈.因为AB⊥OC，所以S△AOB＝××5×3＝，又根据正弦定理有S△AOB＝·sin θ，即·sin θ＝，整理有，所以a·b＝cos θ＝，当a与b的夹角最大时，tan θ最大，a·b取最小值.因为a·b＝9＋m(m－5)＝m2－5m＋9＝＋，当且仅当m＝时取等号，所以当a与b的夹角最大时，a·b＝.故选D.
16.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)＝D2(lP)，则Ω中所有这样的P为　　　　.
答案：P1，P3，P4
解析：建立平面直角坐标系如图所示，记“▲”的四个点是A(0，3)，B(1，0)，C(7，1)，D(4，4)，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知四边形EFGH为平行四边形.设四边形ABCD重心为M(x，y)，则＋＋＋＝0，由此求得M(3，2)，即平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线lP一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1，P3，P4.
学生用书 第171页
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