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和差化积与积化和差公式
【教材母题】
(人教A必修一P225例8)求证：
(1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(2)sin θ＋sin φ＝2sincos.
(人教A必修一P226练习T4)求证：
(1)cos αsin β＝；
(2)cos αcos β＝；
(3)sin αsin β＝－.
(人教A必修一P226练习T5)求证：
(1)sin θ－sin φ＝2cos sin ；
(2)cos θ＋cos φ＝2cos cos ；
(3)cos θ－cos φ＝－2sin sin .
【知能拓展】
1.积化和差公式
(1)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)].
(2)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
(3)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)].
(4)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)].
2.和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sincos.
(2)sin θ－sin φ＝2cossin.
(3)cos θ＋cos φ＝2coscos.
(4)cos θ－cos φ＝－2sinsin.
【典例应用】
　(1)已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝－，则tan的值为(　　)
A. B.－
C.－ D.
(2)如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E，F两点，且α∈，β∈，若直线EF的斜率为，则sin(α＋β)＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案：(1)B　(2)A
解析：(1)由和差化积公式，得cos α＋cos β＝2cos cos ＝，sin α－sin β＝2cos sin ＝－，两式相除，所以tan ＝－.所以tan(α－β)＝tan＝＝－.故选B.
(2)由题意可设E(cos α，sin α)，F(cos β，sin β)，则直线EF的斜率k＝＝＝－＝，所以tan ＝－3，所以sin(α＋β)＝＝＝－.故选A.
对点练1.(一题多解)化简：－2cos(α＋β)＝　　　　.
答案：
解析：法一：－2cos(α＋β)＝
＝＝.
法二：－2cos(α＋β)
＝
＝
＝＝.
对点练2.求值：(1)sin 54°－sin 18°＝　　　　.
(2)2cos 47°cos 73°＋cos 146°＋cos 94°＝　　　　.
答案：(1)　(2)－
解析：(1)由和差化积公式可得sin 54°－sin 18°＝2cos 36°·sin 18°＝＝＝＝＝.
(2)由积化和差与和差化积公式可得，2cos 47°cos 73°＋cos 146°＋cos 94°＝2×(cos 120°＋cos 26°)＋2cos 120°cos 26°＝(－)＋cos 26°＋2×(－)cos 26°＝－.
对点练3.已知sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则sin(α＋β)的值为　　　　.
答案：
解析： sin α－sin β＝2sincos＝－①，cos α－cos β＝－2sinsin＝②.由得tan＝.故sin (α＋β)＝2sin cos ＝＝＝＝.
学生用书 第110页
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