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平面向量与三角形“四心”
【教材母题】
(人教A必修二P52T2)已知O，N，P在△ABC所在平面内，满足｜｜＝｜｜＝｜｜，＋＋＝0，且，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心
C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心
【知能拓展】
1.三角形“重心”的向量式
设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
(1)＋＋＝0.
(2)＋＋).
(3)若＝λ或＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P一定经过三角形的重心.
(4)若＝λ(＋)或＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定经过三角形的重心.
2.三角形“垂心”的向量式
O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
(1).
(2)＋＋＋.
(3)动点P满足＋λ(＋)，λ∈，则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心.
3.三角形“内心”的向量式
P是△ABC的内心，M为平面内任意一点，则有以下结论：
(1)＋＋＝0(或a＋b＋c＝0)，
其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长.
(2)＝λ，λ∈[0，＋∞)，则M的轨迹一定经过三角形的内心.
4.三角形“外心”的向量式
O是△ABC的外心，P为平面内任意一点，则有以下结论：
(1) .
(2)＝0.
(3)动点P满足＋λ，λ∈，则动点P的轨迹一定经过△ABC的外心.
(4)若＝0，则O是△ABC的外心.
【典例应用】
已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＋λ，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.垂心 D.重心
答案：D
解析：因为动点P满足＋λ(＋)(λ≥0)，所以＝λ，取BC中点D(图略)，则＝2λ，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选D.
已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足＋λ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
答案：C
解析：－＝λ，
＝λ＋，
所以＝λ＋
＝λ＋
＝λ(－｜｜＋｜｜)＝0，所以⊥，所以动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.故选C.
在△ABC中，｜｜＝3，｜ ｜＝2， ＋，则直线AD通过△ABC的(　　 )
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
答案：D
解析：由题知， ｜｜＝ ｜｜＝.设，，则｜｜＝｜｜.因为＋＋，所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC，所以直线AD通过△ABC的内心.故选D.
学生用书 第172页
设P是△ABC所在平面内一点，若＝2且－2，则点P是△ABC的(　　)
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
答案：A
解析：由＝2，得＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以＝0，则(－)·(＋)＝0，所以｜｜＝｜｜.由－2，得＝－2，即·(＋)＝2，同理可得，｜｜＝｜｜.所以｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点P是△ABC的外心.故选A.
对点练1.在△ABC中，AC＝2，O是△ABC的外心，M为BC的中点，＝8，N是直线OM上异于M，O的任意一点，则＝(　　)
A.3 B.6
C.7 D.9
答案：B
解析：因为O是△ABC的外心，M为BC的中点，设AC的中点为D，连接OD，所以OM⊥BC，OD⊥AC，设＝λ，则＋λ＋＝－＋，又O是△ABC的外心，所以cos∠CAO＝×＝14，所以＝－＋＝－8＋14＝6.故选B.
对点练2.已知点O是边长为的等边△ABC的内心，则＝　　　　　.
答案：－1
解析：设D为BC的中点，因为点O是边长为的等边△ABC的内心，所以 ，，两两夹角均为120°，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝｜｜＝××.所以＋＋＋＝2－2×－2×－2×＝－1.
对点练3.如图所示，△ABC中G为重心，PQ过G点，＝m，＝n，则＋＝　　　　.
答案：3
解析：设＝a，＝b，根据题意，＋)＝a＋b.因为＝m，＝n，P，G，Q三点共线，则存在λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，即nb－ma＝λ(a＋b－ma)＝(－mλ)a＋，所以整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3.
对点练4.(双空题)已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC＝45°，则＝　　　；若＋，则＝　　　.
答案：30　5
解析：如图，AH是△ABC的BC边上的高，则＝0.设＝λ，因为∠ABC＝45°，△ABC的面积为15，所以sin 45°＝15，即＝30；＋λcos 45°＝30.所以＋＝30，所以＝45.由＝30＝2，即＝40.因为＋，所以＋＋＝10＋5＋10＝25，所以＝5.
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