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培优进阶3　函数中的构造问题
　　函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题形式出现，同构法构造函数也在解答题中有所考查.通过对已知等式或不等式的结构特征进行分析，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题型一　构造具体函数关系
(1) 若实数a，b，c∈[0，1]，且满足ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＞b＞a B.b＞a＞c
C.a＞b＞c D.b＞c＞a
(2)(2025·山东菏泽二模)已知函数f(x)＝(x－a－1)ex－bx(－a)在R上单调递增，则b－a的最小值为(　　)
A.0 B.1
C. D.e
答案：(1)C　(2)B
解析：(1)由ae＝ea，be1.2＝1.2eb，ce1.6＝1.6ec，得＝，＝，＝.令f(x)＝，则f'(x)＝，当x＜1时，f'(x)＞0，当x＞1时，f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，于是f(1)＞f(1.2)＞f(1.6)，即f(a)＞f(b)＞f(c).又a，b，c∈[0，1]，所以a＞b＞c.故选C.
(2)根据题意，f(x)＝(x－a－1)ex－bx(－a)的定义域为R，f'(x)＝ex＋(x－a－1)ex－＝(x－a)(ex－b).由于f(x)在R上单调递增，所以f'(x)＝(x－a)(ex－b)≥0在R上恒成立，因此a＝ln b，即b＝ea，因此b－a＝ea－a.令函数g(a)＝ea－a，所以导函数g'(a)＝ea－1.令g'(a)＜0，则a＜0，令g'(a)＞0，则a＞0，所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以g(a)min＝g(0)＝1，所以b－a的最小值为1.故选B.
　　若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，找出结构上的共性，通过构造函数，利用导数求函数的单调性加以解决.
对点练1.已知a＝ln (e)，b＝，c＝＋1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＞a＞b B.b＞a＞c
C.a＞b＞c D.b＞c＞a
答案：B
解析：根据题意，a＝＋1＝＋1，b＝＋1，c＝＋1.令f(x)＝，则f'(x)＝.当0＜x＜e时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞e时，f'(x)＜0，f(x)单调递减.因为e＜4＜5，所以b＝f(e)＋1＞a＝f(4)＋1＞c＝f(5)＋1，故b＞a＞c.故选B.
【教师备选】　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＜b＜a B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
答案：A
解析：令f(x)＝，x＞0，则f'(x)＝.令f'(x)＝0，得x＝，则f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，b＝f()，c＝f()，则b＞c.又a－b＝－＝＝＞0，得a＞b，所以c＜b＜a.故选A.
题型二　利用f(x)进行抽象函数构造
角度1　利用f(x)与x构造函数
已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，xf'(x)－f(x)＜0，且f(－2)＝0，则不等式＞0的解集为(　　)
学生用书 第78页
A.(－2，0)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－∞，－2)∪(0，2)
答案：D
解析：令g(x)＝，x≠0.因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x).因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(－2)＝－g(2).因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0.当x＞0时，g'(x)＝＜0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，此时不等式＞0的解集为(0，2).因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＜0时，不等式＞0的解集为(－∞，－2).综上所述，不等式＞0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).故选D.
角度2　利用f(x)与ex构造函数
(2025·湖南长沙模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f'(x)＜0，且有f(1)＝，则不等式f(x＋1)＞的解集为(　　)
A.(0，＋∞) B. (－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，2)
答案：B
解析：令F(x)＝f(x)·ex，则F'(x)＝f'(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f'(x)]＜0，所以F(x)在R上单调递减.又f(1)＝，则F(1)＝f(1)·e＝1.因为f(x＋1)＞等价于f(x＋1)·ex＋1＞1，即F(x＋1)＞F(1)，所以x＋1＜1，可得x＜0.即所求不等式的解集为(－∞，0).故选B.
角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，π)时，f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＜2fsin x的解集为　　　　　　　　.
答案：∪
解析：令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)，则g'(x)＝.因为当x∈(0，π)时，f'(x)sin x－f(x)cos x＜0，所以在(0，π)上，g'(x)＜0，所以函数g(x)在(0，π)上单调递减.因为y＝f(x)，y＝sin x是奇函数，所以函数g(x)是偶函数，所以函数g(x)在(－π，0)上单调递增.当x∈(0，π)时，sin x＞0，则不等式f(x)＜2fsin x可化为＜，即g(x)＜g，所以＜x＜π；当x∈(－π，0)时，sin x＜0，则不等式f(x)＜2fsin x可化为＞＝，即g(x)＞g，所以－＜x＜0.综上可得，不等式的解集为∪.
1.利用f(x)与x(或xn)构造 (1)出现xf'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x). (2)出现xf'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 2.利用f(x)与ex构造 (1)出现f'(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x). (2)出现f'(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 3.利用f(x)与sin x，cos x构造 (1)对于f'(x)sin x＋f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)sin x. (2)对于f'(x)sin x－f(x)cos x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (3)对于f'(x)cos x＋f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝. (4)对于f'(x)cos x－f(x)sin x＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)cos x.
对点练2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x＋f'(x)cos x＞0，则(　　)
A.f＜f B.f＜f
C.f＞f D.f＞f
答案：B
解析：令F(x)＝，x≠＋kπ，k∈Z，故F'(x)＝＞0恒成立，故F(x)＝，k∈Z上单调递增，故F＜F，即＜ ＜ f＜f.故选B.
对点练3. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＜f'(x)－2，则(　　)
A.f(2 026)－ef(2 025)＜2(e－1)
B.f(2 026)－ef(2 025)＞2(e－1)
C.f(2 026)－ef(2 025)＞2(e＋1)
D.f(2 026)－ef(2 025)＜2(e＋1)
答案：B
解析：令g(x)＝，则g'(x)＝＞0，因此函数g(x)是增函数，于是得g(2 026)＞g(2 025)，即＞，整理得f(2 026)－ef(2 025)＞2(e－1)，故B正确.故选B.
对点练4.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，xf'(x)＋2f(x)＞0恒成立，则(　　)
A.f(1)＜4f(2) B.f(－1)＜4f(－2)
C.16f(4)＜9f(3) D.4f(－2)＞9f(－3)
答案：AD
解析：令g(x)＝x2f(x)，因为当x＞0时，xf'(x)＋2f(x)＞0，所以当x＞0时，g'(x)＝2xf(x)＋x2f'(x)＝x[xf'(x)＋2f(x)]＞0，所以g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，所以g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增.由g(2)＞g(1)，可得4f(2)＞f(1)，故A正确；由g(－1)＞g(－2)，可得f(－1)＞4f(－2)，故B错误；由g(4)＞g(3)，可得16f(4)＞9f(3)，故C错误；由g(－2)＞g(－3)，可得4f(－2)＞9f(－3)，故D正确.故选AD.
课时分层测评23　函数中的构造问题
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.函数f(x)的定义域是R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f'(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)
答案：B
解析：因为f(x)＞2x＋4，所以f(x)－2x－4＞0.令g(x)＝f(x)－2x－4，则g'(x)＝f'(x)－2＞0，所以g(x)为R上的增函数.又因为g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以由g(x)＞g(－1)＝0得x＞－1.故选B.
2.已知α，β∈，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是(　　)
A.α3＞β3 B.α＋β＞0
C.｜α｜＜｜β｜ D.｜α｜＞｜β｜
答案：D
解析：令f(x)＝xsin x，x∈，则f(－x)＝－xsin (－x)＝xsin x＝f(x)，则f(x)为偶函数.又f'(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，f'(x)≥0，所以f(x)在区间上单调递增，f(x)在区间上单调递减.又αsin α－βsin β＞0，即f(α)＞f(β)，所以｜α｜＞｜β｜.故选D.
3.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意实数x，有f(x)＞f'(x)，且f(x)＋2 026为奇函数，则不等式f(x)＋2 026ex＜0的解集是(　　)
A.(－∞，0) B.(－∞，ln 2 026)
C.(0，＋∞) D.(2 026，＋∞)
答案：C
解析：令g(x)＝，则g'(x)＝.因为f(x)＞f'(x)，所以g'(x)＜0，所以g(x)为定义在R上的减函数.因为f(x)＋2 026为奇函数，所以f(0)＋2 026＝0，f(0)＝－2 026，g(0)＝＝－2 026，f(x)＋2 026ex＜0，即＜－2 026，即g(x)＜g(0)，故x＞0，所以f(x)＋2 026ex＜0的解集是(0，＋∞).故选C.
4.已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f'(x)cos x－f(x)sin x＞0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　 )
A.f＞f B.f＜f
C.2f(0)＜f D.f(0)＞f
答案：C
解析：令g(x)＝f(x)cos x，x∈，则g'(x)＝f'(x)cos x－f(x)sin x＞0，所以g(x)在上单调递增，则g＜g，所以fcos＜fcos，即f＜f，故A不正确；则g＞g，所以fcos ＞fcos ，即f＞f，故B不正确；则g(0)＜g，所以f(0)cos 0＜fcos ，即2f(0)＜f，故C正确；则g(0)＜g，所以f(0)cos 0＜fcos ，即f(0)＜f，故D不正确.故选C.
5.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且3f(x)＋f'(x)＜0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)＞8的解集为(　　 )
A.(－∞，2) B.(－∞，ln 2)
C.(ln 2，＋∞) D.(2，＋∞)
答案：B
解析：令g(x)＝e3xf(x)，函数g(x)的定义域是R，因为3f(x)＋f'(x)＜0，所以g'(x)＝[e3xf(x)]'＝e3x[3f(x)＋f'(x)]＜0，故g(x)为减函数.又因为f(ln 2)＝1，所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，所以不等式e3xf(x)＞8可化为g(x)＞g(ln 2)，所以x＜ln 2，所以e3xf(x)＞8的解集为(－∞，ln 2).故选B.
6.若ln x－ln y＜－(x＞1，y＞1)，则(　　)
A.ey－x＞1 B.ey－x＜1
C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
答案：A
解析：根据题意，ln x－＜ln y－.令f(t)＝t－(t≠0)，则f'(t)＝1＋＞0，所以f(t)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增.又x＞1，y＞1，得ln x＞0，ln y＞0，则f(ln x)＜f(ln y)，由单调递增得ln x＜ln y，所以1＜x＜y，即y－x＞0，所以ey－x＞e0＝1，故A正确，B不正确；又y－x－1无法确定与0的大小关系，故C、D不正确.故选A.
【教师备选】　已知0＜x＜y＜π，且eysin x＝exsin y，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是(　　)
A.cos x＋cos y＜0 B.cos x＋cos y＞0
C.cos x＞sin y D.sin x＞sin y
答案：B
解析：由0＜x＜y＜π，且eysin x＝exsin y，得＝.令f(x)＝(0＜x＜π)，则f'(x)＝，当0＜x＜时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减，当＜x＜π时，f'(x)＞0，函数f(x)单调递增，当f(x)＝f(y)时，0＜x＜，＜y＜π，因为0＜x＜y＜π，ex＜ey，＝，所以sin y＞sin x＞0，所以＜y＜π－x＜π，所以cos y＞cos (π－x)＝－cos x，所以cos x＋cos y＞0.故选B.
7.(多选)已知f'(x)是f(x)的导函数，对任意x∈，f'(x)cos x＋f(x)sin x＞0，则下列结论正确的是(　　)
A.f＞f B.f＜f
C.f＜f D.f＞f
答案：BC
解析：令g(x)＝，则g'(x)＝.对于 x∈，可得g'(x)＞0，所以g(x)在上单调递增.因为＜＜，所以g＜g＜g，即＜＜，所以＜＜f，所以f＜f，f＜f，f＜f .故选BC.
8.(多选)已知a＞b＞0，且＝，则(　　)
A.0＜b＜1 B.0＜a＜1
C.1＜b＜e D.a＞e
答案：CD
解析：＝＝.令f(x)＝，由f'(x)＝，由f'(x)＞0，解得0＜x＜e，由f'(x)＜0，解得x＞e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝e处取得最大值f(e)＝，在(0，e)内，函数f(x)有唯一的零点x＝1，在(e，＋∞)内，f(x)＞0.又因为a＞b＞0且f(a)＝f(b)＞0，所以1＜b＜e，a＞e，故选CD.
9.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(x)，若f(1)＝4，且f'(x)－2x＜3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)＜2x(2x－3)的解集为　　　　.
答案：(2，＋∞)
解析：令g(x)＝f(x)－x2－3x，则g'(x)＝f'(x)－2x－3＜0在R上恒成立，所以g(x)是减函数.又f(2x－3)＜2x(2x－3)，即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)＜0.又g(1)＝f(1)－12－3×1＝0，即g(2x－3)＜g(1)，所以2x－3＞1，解得x＞2，所以不等式f(2x－3)＜2x(2x－3)的解集为(2，＋∞).
10.已知函数f(x)定义在上，f'(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f'(x)tan x成立，又知f＝，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集为　　　　.
答案：
解析：因为f(x)＜f'(x)tan x，所以f'(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈.令g(x)＝，x∈，所以g'(x)＝＞0，所以g(x)在上为增函数.由f(x)＞sin x，sin x＞0，得＞1＝，即g(x)＞g，所以x＞.又0＜x＜，所以＜x＜，所以不等式的解集为.
(每小题5分，共20分)
11.(2025·江苏南京模拟)设函数f的导函数为f'，当x≠0时满足xf'＋f＝1，且f＝2，则f，f，f的大小关系为(　　)
A.f＜f＜f
B.f＜f＜f
C.f＜f＜f
D.f＜f＜f
答案：A
解析：令g＝xf，由g'＝xf'＋f.又xf'＋f＝1，即g'＝1，则g＝x＋k(k∈R，k是常数)，由g＝xf，得g＝f＝2，即g＝1＋k＝2，得k＝1，g＝x＋1，所以f＝＋1，易得f＝＋1在上递减，且x＜0时f＜1，x＞0时，f＞1，＞sin ＞0＞－ln 2，从而f＜1＜f＜f，所以f＜f＜f.故选A.
12.已知0＜x1＜x2＜1，下列不等式恒成立的是(　　)
A.x2＜x1 B.x2ln x1＞x1ln x2
C.x1ln x1＜x2ln x2 D.＞ln x1
答案：D
解析：令f(x)＝且0＜x＜1，则f'(x)＝＜0，故f(x)在(0，1)上递减，又0＜x1＜x2＜1，所以f(x2)＜f(x1) ＜ x1＜x2，故A错误；令h(x)＝且0＜x＜1，则h'(x)＝＞0，故h(x)在(0，1)上递增，又0＜x1＜x2＜1，所以h(x2)＞h(x1) x2ln x1＜x1ln x2，故B错误；令g(x)＝xln x且0＜x＜1，则g'(x)＝1＋ln x，所以在上g'(x)＜0，g(x)递减，在上g'(x)＞0，g(x)递增，而0＜x1＜x2＜1，此时不能比较g(x2)，g(x1)的大小，所以无法确定x1ln x1，x2ln x2的大小，故C错误；由于0＜x1＜1，所以＞0，ln x1＜0，故＞ln x1，故D正确.故选D.
13.已知a＝ln 1.1，b＝e0.1－1，c＝sin 0.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.b＞c＞a D.c＞b＞a
答案：C
解析：令f(x)＝ex－1－sin x，所以f'(x)＝ex－cos x，当x＞0时，ex＞1，所以ex－cos x＞0，所以f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(0.1)＞f(0)，即e0.1－1－sin 0.1＞0，所以e0.1－1＞sin 0.1，即b＞c；令g(x)＝ln(x＋1)－sin x，所以g'(x)＝－cos x＝＝，令h(x)＝1－xcos x－cos x，所以h'(x)＝(x＋1)sin x－cos x.令φ(x)＝(x＋1)sin x－cos x，所以φ'(x)＝2sin x＋(x＋1)cos x，当0＜x＜时，φ'(x)＞0，所以h'(x)单调递增，所以h'(x)＜h'()＝(＋1)sin－cos＝＜0，所以h(x)在x∈(0，)上单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0，所以g'(x)＜0，所以g(x)在x∈(0，)上单调递减，又0＜0.1＜，所以g(0.1)＜g(0)＝0，即ln 1.1－sin 0.1＜0，所以c＞a.综上，b＞c＞a.故选C.
14.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R，f(1)＝－1，且f'(x)＜3f(x)＋6，则不等式f＋2＞的解集为　　　　　.
答案：
解析：构造函数g(x)＝，则g'(x)＝
＝＝＜0，所以函数g(x)＝在R上单调递减.又由f＋2＞ ＞，得g＞g(1)，所以ln x＜1，解得0＜x＜e，所以原不等式的解集为.
(每小题5分，共10分)
15.对 x1，x2∈，当x1＜x2时，＜，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.(4，＋∞)
答案：A
解析：根据题意可知，不等式＜＜，得ln ＜ln ，即ln －ln ＜ln －ln ，则2x1－mln x1＜2x2－mln x2. x1，x2∈，x1＜x2，令g(x)＝2x－mln x，则g(x1)＜g(x2)，所以函数g(x)在区间上单调递增，故g'(x)＝2－≥0在区间上恒成立，即m≤2x恒成立.因为x∈，所以m≤2.故选A.
16.已知x∈，则不等式－tan x≥0的解集为　　　　　　　　　　.
答案：
解析：不等式esin x－cos x－tan x≥0可化为≥.当x∈时，cos x＞0.又esin x＞0，所以≥.令f(x)＝，则f(cos x)≥f(sin x).因为f'(x)＝，所以当x∈(－∞，1)时，f'(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x∈时，cos x∈(0，1]，sin x∈(－1，1)，所以cos x≥sin x，即当x∈时，tan x≤1，所以x∈，即不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为.
学生用书 第79页
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