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培优进阶11　构造法求数列通项
　　求数列的通项公式是研究数列问题的基础，高考每年都考，基础题多围绕等差数列、等比数列利用公式法求通项公式，中等及以上难度题则侧重对递推数列的转化与构造.对于递推数列求通项公式问题，除了我们前面学习过的累加法、累乘法，还有构造法，构造法总的解题思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解问题.
题型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
在数列中，a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*，则该数列的通项公式an＝　　　　　　.
答案：＋
解析：因为数列中，an＋1＝an＋，即an＋1－(an－)，故数列是首项为a1－，公比为的等比数列，则an－×，解得an＝×＋＋.
角度2　＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
(1)在数列中，已知a1＝2，且an＋1＝4an－3n＋1，则该数列的通项公式为　　　　.
(2)(一题多解)已知数列满足an＋2－4an＝－3n＋2，且a1＝3，a2＝6，则数列的通项公式为an＝　　　　.
答案：(1)an＝4n－1＋n　(2) 2n＋n
解析：(1)令an＋1－A(n＋1)－B＝4，则an＋1＝4an－3An＋A－3B.由条件得即an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，故数列是首项为a1－1＝1，公比为4的等比数列，从而an－n＝4n－1，故an＝4n－1＋n.
(2)法一：因为an＋2－4an＝－3n＋2，所以an＋2－2an＋1＋2＝－3n＋2.设bn＝an＋1－2an，则bn＋1＋2bn＝－3n＋2，所以＋2n－1)＝0.设tn＝bn＋n－1，则tn＋1＋2tn＝0.因为a1＝3，a2＝6，所以b1＝a2－2a1＝0，t1＝b1＋1－1＝0，所以tn＝0，即bn＋n－1＝0，即an＋1－2an＋n－1＝0，所以an＋1－＝2.因为a1－1＝3－1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以an－n＝2n，an＝2n＋n.
法二：因为an＋2－4an＝－3n＋2，所以an＋2－＝4.由a1＝3，a2＝6，得a1－1＝2，a2－2＝4，所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，当n为奇数时，an－n＝2×＝2n，即an＝2n＋n；当n为偶数时，an－n＝4×＝2n，即an＝2n＋n.综上，an＝2n＋n.
角度3　＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
(1)已知数列满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1，则数列的通项公式为　　　　　.
(2)数列满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列的通项公式为an＝　　　　　.
答案：(1)an＝n·2n　(2)2(3n－2n)
解析：(1)由an＋1－2an＝2n＋1得－＝1，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以＝1＋＝n，所以an＝n·2n.
(2)数列中，由an＋1＝3an＋2n＋1，得＋1，即＋2＝＋2)，而a1＝2，＋2＝3，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，因此＋2＝3×()n－1，即an＝2(3n－2n)，所以数列的通项公式为an＝2(3n－2n).
形式构造方法an＋1＝pan＋q (p≠0，1，q≠0)一般配凑成an＋1＋x＝p(an＋x)的形式(利用待定系数法求x)，构造等比数列＝pan＋qn＋c (p≠0，1，q≠0)一般配凑成an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)的形式(利用待定系数法求x，y)，构造等比数列＝pan＋qn (p≠0，1， q≠0，1)一般两边同时除以，再利用累加法或构造法求通项
对点练1.(多题同问)(1)已知数列满足an＋1＝2an＋2，a1＝1，则an＝　　　　　　.
(2)在数列中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6，则an＝　　　　　　　.
(3)数列{an}满足an＋1＝5an＋3×5n＋1，a1＝6，则an＝　　　　　　　.
答案：(1)3×2n－1－2　(2)3n－2　 (3)(3n－)·5n
解析：(1)由an＋1＝2an＋2得an＋1＋2＝2(an＋2).又a1＋2＝3，所以＝2，即{an＋2}是等比数列，所以an＋2＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－2.
(2)因为an＋1＝3an＋4n－6，设an＋1＋x＋y＝3，其中x，y∈R，整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，所以所以an＋1＋2－2＝3(an＋2n－2)，且a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列是首项为3，公比也为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，解得an＝3n－2.
(3)因为an＋1＝5an＋3×5n＋1，所以＋3，即－＝3，所以是等差数列，而，所以＋3(n－1)＝3n－，所以an＝(3n－)·5n.
学生用书 第148页
题型二　形如＝pan＋q型
(一题多解)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　　　.
答案：
解析：法一：因为an＋1＝2an＋3an－1，所以an＋1＋an＝3(an＋an－1)，设bn＝an＋1＋an，所以＝3.又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，从而＋，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1－＝－，即＝－.又因为c1－－，所以数列，公比为－的等比数列，故cn－×
－，从而an＝.
法二：因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝，c2＝，所以an＝.
【教师备选】　(交汇题)若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝　　　　　　　.
答案：3n－1
解析：f' (x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，所以f' (1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，所以数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＋1－an＝2×，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×＋…＋2×30＋1＝2×(＋＋…＋31＋30)＋1＝2×＋1＝－1＋1＝.
　　形如an＋1＝pan＋qan－1(p≠0，1，q≠0，1)的递推式，可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.
对点练2.已知数列满足：a1＝1，a2＝5，an＋2＝4an＋1－4an，则数列的通项公式为　　　　.
答案：an＝×2n
解析：因为an＋2＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an).因为a1＝1，a2＝5，可得a2－2a1＝3，所以an＋1－2an≠0，所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以an＋1－2an＝3×2n－1，可得－，即－，所以数列，公差为d＝的等差数列，可得＋(n－1)×n－，所以an＝(n－)·2n＝×2n.
题型三　形如型
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an＞的n的最大取值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
答案：C
解析：因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4.又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝1＋4＝4n－3，所以an＝.由an＞，即＞，即0＜4n－3＜37，解得＜n＜10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.故选C.
对于形如an＋1＝的递推式，可以两边同时取倒数转化为＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出的表达式，再求an.
对点练3.(多选)数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.＋ B.是等比数列
C.an＝1 D.3a5a17＝a49
答案：ABC
解析：由an＋1＝，可得＋2，所以－＝2，且＝1，所以数列是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以＝1＋2＝2n－1，则(2n－1)an＝1，其中n∈N*，故C正确；＝22＝4，所以数列是等比数列，故B正确；由等差中项的性质可得＋，故A正确；由上可知an＝，则3a5a17＝3××，a49＝，所以3a5a17≠a49，故D错误.故选ABC.
题型四　形如an＋1＝p型
数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　.
答案：
解析：取以2为底的对数，得log2an＋1＝log2，则log2an＋1＝log22＋2log2an，则log2an＋1＝1＋2log2an.设bn＝log2an，则有bn＋1＝1＋2bn，则bn＋1＋1＝2，所以{bn＋1}是以b1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋1＝2n－1，所以bn＝2n－1－1，即log2an＝2n－1－1，故an＝.
　　对于形如an＋1＝p的递推式，可以两边同时取对数转化为logaan＋1＝logap＋mlogaan的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出logaan的表达式，再求an.
对点练4.数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　.
答案：
解析：取以a1＝2为底的对数得到log2an＋1＝log2＝2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝2bn，所以{bn}是以b1＝log2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n－1，所以log2an＝2n－1，an＝.
课时分层测评46　构造法求数列通项
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(　　)
A.15 B.23
C.32 D.42
答案：B
解析：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1).又a1＋1＝3，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.故选B.
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(　　)
A.64 B.56
C.32 D.24
答案：C
解析：由an＋1＝2an＋2n，得－，而，所以数列，公差为的等差数列，所以＋×，所以an＝n·2n－1，所以a4＝4×24－1＝32.故选C.
3.已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋an·an＋1，则数列{an}的通项an＝(　　)
A. B.
C.－n D.
答案：D
解析：由题意，可得－＝－1.又，所以数列为首项，－1为公差的等差数列，所以－－n，所以an＝.故选D.
4.已知在数列{an}中，a1＝2，＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝(　　)
A.－3× B.3×
C.5n＋3× D.5n－3×
答案：D
解析：在递推公式＝2an＋3×5n的两边同时除以，得×＋.令bn＝，则bn＋，所以－1＝(bn－1).又b1－1＝－1＝－，所以数列{bn－1}是首项为－，公比为的等比数列，所以bn－1＝×，则bn＝1－×，即＝1－×，所以an＝5n－3×.故选D.
5.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且＝3Sn＋2(n∈N*)，则下列说法正确的有(　　)
A.a1＝ B.S4＝
C.{an}是等比数列 D.是等比数列
答案：ABD
解析：由题意，数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，且＝3Sn＋2，则a2＝3S1＋2＝3a1＋2，所以a1＝，故A正确；因为＝3Sn＋2①，所以当n≥2时，an＝3＋2②，①－②得，－an＝3an，即＝4an，当n＝1时，a1＝，不满足a2＝4a1，故数列{an}不是等比数列，故C错误；当n≥2时，＝4an，则a3＝4a2＝12，a4＝4a3＝48，故S4＝＋3＋12＋48＝，故B正确；由＝3Sn＋2，得－Sn＝3Sn＋2，所以＝4Sn＋2，令＋λ＝4(Sn＋λ)，则＝4Sn＋3λ，所以3λ＝2，即λ＝，所以＋＝4，即＝4，故是首项为S1＋＝a1＋＝1，公比为4的等比数列，故D正确.故选ABD.
6.(多选)已知数列{an}满足a1＝1，(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A.为等差数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为递减数列
D.的前n项和Tn＝－3n－4
答案：CD
解析：因为＝ ，所以 ＝ ＝ ＋3，所以＋3＝2，且＋3＝4≠0，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×，所以 ＝－3，可得an＝，故A、B错误；因为－3单调递增， 所以an＝单调递减，即{an}为递减数列，故C正确；的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(－3)＝(22＋23＋…＋)－3n＝22×－3n＝－3n－4，故D正确.故选CD.
【教师备选】　(多选)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2anan＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A.为等比数列
B.{an}的通项公式为an＝
C.{an}为递增数列
D.的前n项和Tn＝3n－n
答案：AB
解析：因为an－3＝2an，所以＋1＝3.又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确；＋1＝2×，即an＝，故B正确；所以{an}为递减数列，故C错误；的前n项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×－1)＝2(30＋31＋…＋)－n＝2× －n＝3n－n－1，故D错误.故选AB.
7.已知首项为1的数列{an}满足＝5an－3，则an＝　　　　　　　　.
答案：＋×5n－1
解析：由＝5an－3，得－＝5.因为a1＝1，所以a1－，进而an－≠0，所以数列，公比为5的等比数列，所以an－×5n－1，即an＝＋×5n－1.
8.已知数列{an}满足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，则a2＝　　　　.
答案：4
解析：由an＋1＝3an－2an－1，可得an＋1－an＝2，若an－an－1＝0，则a6＝a5＝…＝a1＝0，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0，所以＝2，即数列{an＋1－an}是以a2－a1为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝a2·2n－1，所以a6－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5)＝a2·20＋a2·21＋a2·22＋a2·23＋a2·24＝31a2＝124，所以a2＝4.
9.(10分)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，＝an＋6(n≥2).
(1)求证：{＋2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
解：(1)证明：因为＝an＋6an－1(n≥2)，
所以＋2an＝3an＋＝3(an＋)(n≥2).
因为a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，
所以an＋≠0(n≥2)，所以＝3(n≥2)，
所以数列{＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列.
(2)由(1)得＋2an＝15×＝5×3n，
则＝－2an＋5×3n，
所以－＝－2(an－3n).
又因为a1－3＝2，所以an－3n≠0，
所以{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列.
所以an－3n＝2×(－2，
即an＝－(－2)n＋3n.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(2025·江苏宿迁二模)设数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，则(　　)
A.9a7＞8a8 B.9a7＜8a8
C.9S7＞7a8 D.9S7＜7a8
答案：B
解析：因为数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2n，当n＝1时，则a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2且n∈N*时，由Sn＝2an－2n可得Sn－1＝2an－1－2n－1，上述两式作差可得an＝2an－2an－1－2n－1，整理可得an－2an－1＝2n－1，等式an－2an－1＝2n－1两边同时除以2n－1可得－＝1，所以数列＝2为首项，公差为1的等差数列，所以＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝·2n－1.对于A、B，9a7＝9×8×26＝9×29，8a8＝8×9×27＝9×210，则9a7＜8a8，故A错误，B正确；Sn＝2an－2n＝·2n－2n＝n·2n，对于C、D，9S7＝9×7×27＝63×27，7a8＝7×9×27＝63×27，所以9S7＝7a8，故C、D都错误.故选B.
11.已知数列{an}满足a1＝3，＝3an－4n＋2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.
答案：an＝＋2n
解析：由＝3an－4n＋2，得－2(n＋1)＝3an－6n＝3(an－2n).又a1－2＝1，故{an－2n}是以1为首项，3为公比的等比数列，故an－2n＝，则an＝＋2n.
12.(15分)已知数列的首项a1＝，且满足an＋1＝.
(1)已知数列是等比数列，求公比q；
(2)若＜100，求满足条件的最大整数n.
解：(1)由已知an＋1＝，得＋，－1＝－.
又因为－1＝≠0，所以，公比q＝.
所以数列的等比数列，公比q＝.
(2)由(1)可得－1＝，则＋1，
所以＋n＝1＋n－.
又因为＝1＋＞0，故数列为单调递增数列.
因为1＋99－＜100＜1＋100－，所以满足不等式＜100的最大整数n的值为99.
(每小题5分，共10分)
13.(2025·北京海淀区模拟)将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2 025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(　　)
A.2 025× B.2 026×
C.2 025× D.2 026×
答案：B
解析：记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2＋，所以＋1，即＝2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以an＝(n＋1)×.又每行比上一行的数字少1个，所以最后一行为第2 025行，所以M＝a2 025＝2 026×.故选B.
14.(交汇融合)已知f1(x)＝，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]，an＝，n∈N*，则数列{an}的通项公式为an＝　　　　.
答案：(－)n＋1
解析：an＋1＝＝－×＝－an，所以数列{an}是以－为公比的等比数列，f1(0)＝＝2，a1＝，an＝(－)n－1＝(－)n＋1.
学生用书 第149页
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