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第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数及其性质
【课程标准】　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
1.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
2.二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在［－，＋∞)上单调递减
学生用书 第15页
【常用结论】
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n].
(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n).
(2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n).
(3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m).
(4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m).
【自测诊断】
1.(多选)下列说法不正确的是(　　 )
A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0
B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定
C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是
D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－］上单调递减，在［－，＋∞)上单调递增
答案：BCD
2.(链接北师大必修一P34T1(2))函数y＝－3x2＋12x－8的最大值为　　　　.
答案：4
解析：y＝－3(x2－4x＋4)＋4＝－3(x－2)2＋4≤4.
3.(链接人教A必修一P100T4)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是　　　　.
答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)
解析：根据题意，知≥20或≤5，解得k≥160或k≤40.
4.(链接人教B必修一P139T8)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为　　　　　.
答案：f(x)＝x2－4x
解析：根据题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0). 又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.
考点一　 二次函数的解析式 自主练透
1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝　　　　　　.
答案：－4x2＋4x＋7
解析：法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
2.已知函数f是二次函数，且f＝1，f(x＋1)－f＝2x，则f＝　　　　　　.
答案：x2－x＋1
解析：因为f＝1，y＝f是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f－f＝2x，所以a＋b＋1－＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.
3.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　　　　　　.
答案：y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
解析：因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
求二次函数解析式的方法 　　求二次函数解析式，一般运用待定系数法，选择规律如下：
考点二　二次函数的图象 师生共研
(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是(　　)
(2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为(　　)
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
答案：(1)D　(2)AD
解析：(1)由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，排除B.故选D.
(2)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，故D正确.故选AD.
研究二次函数图象的方法 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
学生用书 第16页
对点练1.(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝－.则下列结论正确的是(　　)
A.abc＜0
B.b＜a＋c
C.3b＜－4c
D.当x＞－时，y随x的增大而增大
答案：ACD
解析：由二次函数图象和性质可得a＞0，c＜0，因为－＝－，所以a＝b＞0，所以abc＜0，故A正确；由图象可知当x＝－1时，函数值小于0，即a－b＋c＜0，所以b＞a＋c，故B错误；由图象可知x＝1时，函数值小于0，即a＋b＋c＜0，因为a＝b，所以2b＋c＜0，即2b＜－c，所以8b＜－4c，因为b＞0，所以3b＜8b，所以3b＜－4c，故C正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x＝－，所以当x＞－时，y随x的增大而增大，故D正确.故选ACD.
考点三　二次函数的最值 师生共研
(一题多变)已知函数f(x)＝x2－ax－1.
(1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数a的取值范围；
(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(a).
解：f(x)＝x2－ax－1＝－1－.
(1)根据题意，－1＜＜2，解得－2＜a＜4，
所以实数a的取值范围是(－2，4).
(2)①当≥2，即a≥4时，
f(x)在[－1，2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(2)＝3－2a；
②当－1＜＜2，即－2＜a＜4时，
f(x)min＝f＝－1－；
③当≤－1，即a≤－2时，
f(x)在[－1，2]上单调递增，
所以f(x)min＝f(－1)＝a.
综上，g(a)＝
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变设问)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(a).
解：f(－1)＝a，f(2)＝3－2a，
f(2)－f(－1)＝3－3a，
当a≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝a；
当a＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2a.
综上，G(a)＝
2.(变条件)本例条件“f(x)＝x2－ax－1”变为“f(x)＝ax2－x－1”，(2)问条件不变，求f(x)的最小值g(a).
解：当a＝0时，f(x)＝－x－1在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－3.
当a＞0时，f(x)＝ax2－x－1的图象开口向上，且对称轴为x＝＞0.
①当0＜＜2，即a＞时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝－－1＝－－1.
②当≥2，即0＜a≤时，f(x)在[－1，2]上单调递减，
所以f(x)min＝f(2)＝4a－3.
当a＜0时，f(x)＝ax2－x－1的图象开口向下，且对称轴x＝＜0，
所以f(x)min＝f(2)＝4a－3.
综上所述，g(a)＝
二次函数最值问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴、区间都是固定的；(2)对称轴变动、区间固定；(3)对称轴固定、区间变动. 2.解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思路即可完成.
对点练2.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，
函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]，
所以f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，
所以函数f(x)的值域为.
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.
综上可知，实数a的值为－或－1.
课时分层测评5　二次函数及其性质
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x
C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x
答案：B
解析：二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则a＝3，b＝－2，所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.故选B.
2.函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　 )
答案：C
解析：若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C.
3.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则(　　)
A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0
C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0
答案：A
解析：由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0.又f(0)＝f(4)＞f(1)，所以f(x)的图象开口向上，a＞0.故选A.
4.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　)
A.(1，3] B.[2，3]
C.(1，2] D.(2，3)
答案：B
解析：易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3.因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B.
【教师备选】　已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　　)
A.(0，4] B.
C. D.
答案：B
解析：设f(x)＝x2－3x－4＝－，x∈R，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，如图所示.所以f＝－，易知f(－1)＝f(4)＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则实数m的取值范围是.故选B.
5.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是(　　)
A.a＋b＋c＞0
B.a－b＋c＜0
C.abc＞0
D.b＝2a
答案：AB
解析：由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故A正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故B正确；函数图象的开口向下，a＜0，对称轴x＝－＞0，即b＞0，当x＝0时，y＝c＞0，则abc＜0，故C错误；若b＝2a，则对称轴－＝－1，与图象不符，故D错误.故选AB.
6.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a＞0)，实数m满足f(m)＜0，则下列关系一定成立的是(　　)
A.f(m＋1)＞0 B.f(m＋2)＞0
C.f(m－1)＜0 D.f(m－2)＞0
答案：BD
解析：函数f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.f(m)＝m2－2m＋a＜0，故m2－2m＜－a＜0，解得0＜m＜2.m＋2∈(2，4)，f(m＋2)＞f(2)＝a＞0，故B正确；m－2∈(－2，0)，f(m－2)＞f(0)＝a＞0，故D正确；取a＝，m＝，f(m)＝－＜0，满足条件，f(m＋1)＝f ＝－＜0，故A错误；f(m－1)＝f ＝＞0，故C错误.故选BD.
7.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为　　　　　.
答案：f(x)＝x2－4x＋3
解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1，所以所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
8.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域为　　　　　.
答案：
解析：f(x)＝2x2－x－1＝2－，因为－1≤x≤1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f＝－.又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2，故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域是.
9.(10分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2，3]上有最大值为5，最小值为2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上单调，求实数m的取值范围.
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a≠0).
当a＞0时，f(x)在[2，3]上单调递增，
故
当a＜0时，f(x)在[2，3]上单调递减，
故
(2)因为b＜1，所以a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
所以g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2.
因为g(x)在[2，4]上单调，所以≤2或≥4，
解得m≤2或m≥6.
故实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，0] B.[0，3]
C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞)
答案：C
解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1.因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，所以a－1≤－1或a－1≥2，所以a≤0或a≥3.故选C.
11.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是(　　)
A.a＜1
B.若x1x2≠0，则＋＝
C.f(－1)＝f(3)
D.函数y＝f(｜x｜)有4个零点
答案：ABC
解析：二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(｜x｜)＝x2－2｜x｜有3个零点，故D不正确.故选ABC.
12.(15分)已知函数f＝tx2＋x－3t＋1.
(1)若f在上单调递增，求实数t的取值范围；
(2)若t＞0，设函数f在区间上的最大值为g，求g的表达式，并求出g的最小值.
解：(1)当t＝0时，f＝x＋1，则f上单调递增，满足条件；
当t≠0时，f＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－，要使f上单调递增，则解得－≤t＜0.
综上，若f上单调递增，则实数t的取值范围是.
(2)当t＞0时，f＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－＜0，所以f(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增；
当－≥－1，即t≥时，f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1；
当－≤－2，即0＜t≤时，f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t；
当－2＜－＜－1，即＜t＜时，f(－2)＝t－1，f(－1)＝－2t；
当t－1＝－2t时，即t＝时，
f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝f(－2)＝－；
当t－1＞－2t，即＜t＜时，
f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1；
当t－1＜－2t，即＜t＜时，
f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t.
综上，g＝
所以当t＝时，g(t)min＝g()＝－.
(每小题5分，共10分)
13.(创新交汇)(多选)对任意的x∈R，函数f＝ax2－3x＋的值域是，则下列结论中正确的是(　　)
A.a＞0
B.a2b＝9
C.a2＋4b的最小值为12
D.a2＋ab＋3a＋b的最小值为6－6
答案：ABC
解析：因为函数f＝ax2－3x＋，所以a＞0，且f＝0，即－＋＝0，所以a2b＝9，故A、B正确；由a2b＝9，得b＝＞0，则a2＋4b＝a2＋≥2＝12，当且仅当a2＝，即a＝时取等号，所以a2＋4b的最小值是12，故C正确；由a2b＝9，得b＝＞0，ab＝＞0，则a2＋ab＋3a＋b＝a2＋＋＋3a≥2＋2＝6＋6，当且仅当即a＝时取等号，所以a2＋ab＋3a＋b的最小值是6＋6，故D错误.故选ABC.
14.函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是　　　　.
答案：[2，4]
解析：解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2.由于f(x)在[a，b]上的值域为[－2，2].若f(x)在[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若f(x)在[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2，4].
学生用书 第17页
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