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第24讲　三角函数的图象与性质
【课程标准】　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，，，(2π，0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x｜x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增 区间 ［2kπ－，2kπ＋］ [2kπ－π，2kπ] (kπ－，kπ＋)
单调递减 区间 ［2kπ＋，2kπ＋］ [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0) (kπ＋，0) (，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
[微提醒]　正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调.
【常用结论】
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2.奇偶性(充要条件)
(1)若函数y＝Asin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z).
(2)若函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z).
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝(k∈Z).
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.y＝cos x在第一、二象限内单调递减
B.若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期
C.函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋
D.函数y＝tan x在整个定义域上是增函数
答案：ACD
2.(链接人教A必修一P201例2)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1
C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2
答案：A
3.已知函数f(x)＝5sin(0＜φ＜2π)为偶函数，则φ＝(　　)
A. B.
C.π D.
答案：C
解析：因为函数f(x)为偶函数，所以＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝π＋2kπ，k∈Z.又0＜φ＜2π，所以φ＝π.故选C.
4.(链接人教A必修一P207例5)函数y＝sin(x＋)的单调递增区间是　　　　　　　.
答案：
解析：令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以y＝sin的单调递增区间是［－＋2kπ，＋2kπ］.
学生用书 第111页
第1课时　三角函数的定义域、值域与单调性
考点一　三角函数的定义域 自主练透
1.函数f＝－2tan 的定义域是(　　)
A.{x｜x≠}
B.{x｜x≠kπ＋}
C.{x｜x≠－}
D.{x｜x≠＋}
答案：D
解析：由2x＋≠kπ＋，得x≠＋.故选D.
2.函数y＝lg＋的定义域是　　　　　　　　　　　.
答案：{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}
解析：要使函数有意义，则有
解得所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝lg(sin x)＋的定义域是{x｜2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z}.
3.函数y＝的定义域是　　　　　　　　　　.
答案：{x｜2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0，即sin x≥cos x.在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x的值为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为{x｜2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}.
三角函数的定义域的求法
　　求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象，对于有限集、无限集求交集可借助数轴.
注意：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略.
考点二　三角函数的值域(最值) 师生共研
(一题多变)(教材典题再练)(人教A必修一P255T20)已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x，
(1)求f的最小正周期；
(2)当x∈时，求f的最小值以及取得最小值时x的集合.
解：(1)因为f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x
＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝cos(2x＋)，
故f(x)的最小正周期T＝π.
(2)由x∈［0，］可得2x＋∈［，］，
得当2x＋＝π即x＝时，函数取得最小值－.
所以x∈时，f＝－.
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件)将本例中的函数换为“f(x)＝sin x－cos x”，则函数f(x)在[0，π]上的最大值是　　　　　　　.
(注明：该变式为2024年全国甲卷第13题)
答案：2
解析：由题意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)，当x∈[0，π]时，x－∈，所以sin(x－)∈，于是f(x)∈[－，2]，故f(x)在[0，π]上的最大值为2.
2.(变条件)将本例中的函数换为“f(x)＝sin2x＋cos x－(x∈［0，］)”，则f的最大值为　　　　.
答案：1
解析：由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos x＋＝－(cos x－)2＋1.因为x∈，所以cos x∈.所以当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1.
3.(变条件)将本例中的函数换为“f(x)＝sin x－cos x＋sin xcos x”，则函数f(x)的值域为　　　　.
答案：［－－，1］
解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.所以函数的值域为［－－，1］.
求三角函数的值域(最值)的三种类型及解题思路
1.直接法：形如y＝asin ωx＋b(或y＝acos ωx＋b)的形式，直接利用sin x或cos x的值域求解.
2.化一法：形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).
3.换元法：(1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).(2)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
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考点三　三角函数的单调性 多维探究
角度1　求三角函数的单调区间(高考超重点)
(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：(1)由kπ－＜2x－＜kπ＋，得－＜x＜＋，所以函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间是(－，＋)(k∈Z).故选B.
(2)(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)＝.
①求φ；
②设函数g(x)＝f(x)＋f(x－)，求g(x)的值域和单调区间.
[注：本题规范解答见答案]
解：①因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝.
②第1步：化简g(x)
g(x)＝f(x)＋f(x－)＝cos(2x＋)＋cos 2x
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x)
＝cos(2x＋).
第2步：求g(x)的值域
因为余弦函数y＝cos θ的值域是[－1，1]，令θ＝2x＋，那么函数y＝cos θ的值域为[－，]，所以g(x)的值域为[－，].
第3步：求g(x)的单调区间
易知余弦函数y＝cos θ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间是［kπ－，kπ－］(k∈Z).
易知余弦函数y＝cos θ在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z).
【溯源教材12】
溯源 (人教A必修一P255T21)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1， (1)求常数a的值； (2)求函数f(x)的单调递减区间； (3)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.
透视 高考题与教材习题在考查知识点、命题角度、解题方法上高度相似，高考题以教材习题为基础，深化拓展，体现 “源于教材、高于教材” 的命题特点，引导考生重视教材基础内容的学习与方法迁移
预测 函数f(x)＝sin的单调递减区间是　　　　　　. 答案：［kπ－，kπ＋］，k∈Z 解析：f(x)＝sin的单调递减区间是y＝sin(2x－)的单调递增区间，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间是［kπ－，kπ＋］，k∈Z.
角度2　利用单调性比较大小
(1)已知a＝sin ，b＝sin ，c＝cos，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
(2)已知a＝，b＝sin ，c＝cos，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.b＜c＜a
答案：(1)D　(2)C
解析：(1)由诱导公式得a＝sin ＝sin ，b＝sin＝sin ，c＝sin ＝sin .因为y＝sin x在上单调递增，所以sin ＞sin ＞sin ，即b＞c＞a.故选D.
(2)因为b＝sin ＜sin ＝＜＝a，所以b＜a.因为c＝cos ＞cos ＝＞＝a，所以c＞a，所以b＜a＜c.故选C.
角度3　根据单调性求参数
已知f(x)＝sin(2x－φ)在上单调递增，且f(x)在上有最小值，那么实数φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由x∈，可得2x－φ∈.又由0＜φ＜，且f(x)在上单调递增，可得－φ≤，所以≤φ＜.当x∈时，2x－φ∈.由f(x)在上有最小值，可得－φ＞，所以φ＜.综上，≤φ＜.故选B.
1.已知三角函数解析式求单调区间的方法
(1)代换法：第一步：将比较复杂的三角函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)；第二步：利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个角，根据基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解.
(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间.
注意：如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.
学生用书 第113页
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
3.已知三角函数单调性求参数的两种方法
一是求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；二是由所给区间求出整体角ωx＋φ的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.
对点练1.函数y＝｜cos x｜的一个单调递增区间是(　　)
A.［－，］ B.[0，π]
C.［π，］ D.［，2π］
答案：D
解析：将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方及x轴上的部分不变，即得y＝｜cos x｜的图象(如图)，由图象可知，D选项符合题意.
对点练2.若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则实数a的最大值为(　　)
A. B.
C. D.π
答案：A
解析：f(x)＝cos x－sin x＝cos，由题意得a＞0.因为f(x)＝cos在[－a，a]上单调递减，所以解得0＜a≤，所以实数a的最大值为.故选A.
对点练3.(多选)下列不等式成立的是(　　)
A.sin＜sin
B.cos 400°＞cos(－50°)
C.sin ＜sin
D.sin 3＜sin 2
答案：BD
解析：对于A，因为－＜－＜－＜0，且函数y＝sin x在上单调递增，所以sin＜sin，故A错误；对于B，因为cos 400°＝cos 40°，cos(－50°)＝cos 50°，且当0≤x≤时，函数y＝cos x单调递减，所以cos 40°＞cos 50°，即cos 400°＞cos(－50°)，故B正确；对于C，因为＜＜＜，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin ＞sin ，故C错误；对于D，因为＜2＜3＜，且函数y＝sin x在区间上单调递减，所以sin 3＜sin 2，故D正确.故选BD.
课时分层测评35　三角函数的定义域、值域与单调性
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.函数f(x)＝的定义域是(　　)
A.［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
B.［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
C.［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
D.［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
答案：A
解析：根据题意，函数f(x)＝有意义，则满足－2cos x－1≥0，即cos x≤－ ，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z).故选A.
2.函数f(x)＝sin(2x＋)在(－，)上的值域为(　　)
A.(0，1] B.(－，0)
C.(－，1］ D.[－1，1]
答案：C
解析：当x∈(－，)时，2x＋∈(－，π).当2x＋＝，即x＝时，f(x)＝sin(2x＋)取最大值1.当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin(2x＋)＝－，结合f(x)的单调性，易知f(x)在(－，)上的值域为(－，1］.故选C.
3.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是(　　)
A.f(x)＝｜cos 2x｜ B.f(x)＝｜sin 2x｜
C.f(x)＝cos｜x｜ D.f(x)＝sin ｜x｜
答案：A
解析：对于A，函数f(x)＝｜cos 2x｜的最小正周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递增，故A正确；对于B，函数f(x)＝｜sin 2x｜的最小正周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递减，故B不正确；对于C，函数f(x)＝cos｜x｜＝cos x的最小正周期为2π，故C不正确；对于D，f(x)＝sin∣x∣＝由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确.故选A.
4.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ∈(0，2π)，若f(x)≤f对任意x∈R恒成立，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：根据题意得f为函数f(x)的最大值，即2×＋φ＝2kπ＋，则φ＝2kπ＋.又φ∈(0，2π)，所以φ＝，所以f(x)＝sin(2x＋).令2x＋∈［2kπ－，2kπ＋］，则x∈［kπ－，kπ＋］.故选B.
5.(多选)下列结论中正确的是(　　)
A.sin 1＞cos 1
B.cos＜cos
C.tan(－52°)＞tan(－47°)
D.sin＞sin
答案：AD
解析：对于A，因为函数y＝sin x在上单调递增，且0＜－1＜1＜，所以sin 1＞sin(－1)＝cos 1，故A正确；对于B，因为函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，cos＝cos＝cos，cos＝cos.又因为0＜＜＜π，所以cos＞cos，即cos＞cos，故B错误；对于C，当－＜x＜0时，函数y＝tan x单调递增.因为－90°＜－52°＜－47°＜0°，所以tan(－52°)＜tan(－47°)，故C错误；对于D，因为函数y＝sin x在(－，0)上单调递增且－＜－＜－＜0，所以sin＞sin，故D正确.故选AD.
【教师备选】　若a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，则(　　)
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.c＜a＜b
答案：D
解析：因为tan 5＝tan(5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y＝tan x在区间上单调递增，所以tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，所以tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.故选D.
6.(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的最大值为＋1
C.f(x)在区间上单调递减
D.为f(x)的一个零点
答案：ACD
解析：f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f(x)的最小正周期为2π，故A正确；当sin＝1时，f(x)的最大值为2，故B错误；因为x∈，所以x＋∈ ，所以f(x)在区间上单调递减，故C正确；f＝2sin(＋)＝2sin π＝0，所以为f(x)的一个零点，故D正确.故选ACD.
7.已知ω＞0，函数f(x)＝sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的单调递减区间是　　　　.
答案：
解析：由题意知＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋).令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间是，k∈Z.又x∈，则f(x)在区间.
8.(多题同法)(1)(2025·山东济南一模)函数f＝＋cos x的最小值为　　　　.
(2)(新定义)定义运算a*b为：a*b＝例如，1*2＝1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为　　　　.
答案：(1)－1　(2)［－1，］
解析：(1)当sin x≥0时，即2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z时，f＝＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，当sin x＜0时，即2kπ＋π＜x＜2kπ＋2π，k∈Z时，f＝＋cos x＝－sin x＋cos x＝cos，所以f＝＋cos x＝作出函数f的图象.
结合函数图象可知当x＝2kπ＋π，k∈Z时，函数f＝＋cos x的最小值为－1.
(2)由题意可得f(x)＝sin x*cos x，当x∈(＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z时，sin x＞cos x，所以f(x)＝cos x，这时函数的值域为［－1，)；当x∈［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z时，sin x≤cos x，所以f(x)＝sin x，这时函数的值域为［－1，］.综上，函数的值域为［－1，］.
9.(10分)已知函数f＝2sin2x＋2sin x·cos x－1.
(1)求函数f的单调递增区间；
(2)若函数g＝2f，且g＝2，求函数g在区间内的最小值.
解：(1)由题意得f＝2sin2x＋2sin xcos x－1＝－＋2sin xcos x
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f，k∈Z.
(2)由(1)得g＝2f＝4sin，
由g＝2得4sin＝2，
即sin＝，
则2a－＝2kπ＋或2a－＝2kπ＋，k∈Z，解得a＝kπ＋或a＝kπ＋，k∈Z.
又＜，所以a＝，故g＝4sin.
因为x∈，所以2x＋∈，
故g的最小值为g＝4sin＝－4.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(多选)(2025·浙江衢州、丽水、湖州二模)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，则(　　)
A.f(x)的最大值是
B.f(x)在(0，)上单调递增
C.f(－x)＝f(x)
D.f(x)在[0，π]上有两个零点
答案：AC
解析：对于A，由于f＝sin x＋cos x＝sin(x＋)≤，且f＝，所以f，故A正确；对于B，因为f＝＞＝f，所以f上不是单调递增的，故B错误；对于C，由于f＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，故f＝sin＝sin(－x)＝sin＝sin(＋x)＝f，故C正确；对于D，若f＝0，则sin＝0，即sin＝0，可得x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)在[0，π]上恰有1个零点x＝，故D错误.故选AC.
11.(多选)已知函数f(x)＝sin，若当x∈[m，n](m＜n)时，f(x)∈，则n－m的值可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：f(x)＝sin，作出函数f(x)的图象，如图所示.
在一个周期内考虑问题，若要使当x∈[m，n]时，f(x)∈，则需满足所以n－m的值可以为区间内的任意实数.故选ABC.
12.(15分)已知函数f＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(0＜ω≤3)，且函数f图象的一个对称中心为.
(1)求ω的值；
(2)求f在x∈[0，2π]上的单调递减区间；
(3)若f在区间上的值域为，求实数m的取值范围.
解：(1)f＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.
因为函数f，则f＝2sin＝0，
则－＋＝kπ，k∈Z，即ω＝1－3k，k∈Z.
因为0＜ω≤3，则当k＝0时，ω＝1.
(2)由(1)可知，f＝2sin.
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
当k＝0时，≤x≤符合题意；当k＝1时，≤x≤符合题意.
故f.
(3)x∈，则2x＋∈，
因为2sin＝－，
结合y＝2sin x函数图象可知，
欲使f，
则≤2m＋≤，即≤m≤，
故实数m的取值范围是.
(每小题5分，共10分)
13.若函数f(x)＝sin(2x－)与g(x)＝cos(x＋)都在区间(a，b)(0＜a＜b＜π)上单调递减，则b－a的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：函数f(x)＝sin上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数g(x)＝cos上单调递减，在上单调递增，所以这两个函数都在区间上单调递减，故(b－a)max＝－＝.故选B.
14.(2025·广东湛江二模)若函数f(x)＝3sin x＋2cos x在[0，α]上单调递增，则当α取得最大值时，cos α＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
答案：D
解析：f(x)＝3sin x＋2cos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝＞0，cos φ＝＞0，且φ为锐角.因为f(x)在[0，α]上单调递增，且φ＋x∈，所以 ，则α的最大值为－φ，此时cos α＝cos＝sin φ＝.故选D
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