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第47讲　椭圆
【课程标准】　1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.　3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.　4.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
条　件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 F1，F2为椭圆的焦点
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a ｜F1F2｜为椭圆的焦距
2a＞｜F1F2｜
[微提醒]　若2a＝｜F1F2｜，则动点M的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b
焦距 ｜F1F2｜＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
[常用结论]
1.椭圆中的最值
P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则｜OP｜∈[b，a]；｜PF1｜∈[a－c，a＋c]；｜PF1｜·｜PF2｜∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2；过焦点的弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短为.
2.焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S.
(1)｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，△PF1F2的周长为2a＋2c.
(2)当P为短轴端点时，θ最大.
(3)S＝｜PF1｜｜PF2｜·sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(4)｜PF1｜·｜PF2｜≤()2＝a2.
(5)4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos θ.
3.在椭圆＝1(a＞b＞0)中，设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆
B.椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形
学生用书 第229页
C.＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆
D.＝1(a＞b＞0)与＝1(a＞b＞0)的焦距相等
答案：BD
2.(链接人教A选择性必修一P127T5)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
答案：A
解析：连接QA(图略).由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜.根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.
3.(链接人教A选择性必修一P109T1)已知椭圆＝1上一点P到椭圆的一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)
A.2 B.3
C.5 D.7
答案：D
解析：由椭圆的定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，所以｜PF2｜＝10－3＝7.故选D.
4.(链接人教A选择性必修一P112例4)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
答案：D
解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1，所以a＝，b＝，c＝，则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝.故选D.
考点一　椭圆的定义及其应用(高考超重点) 师生共研
(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0，2)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A.＝1(x≠0) B.＝1(y≠0)
C.＝1(x≠0) D.＝1(y≠0)
(2)(一题多解)(2023·全国甲卷文)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
(3)(双空题)已知F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)，则｜PA｜＋｜PF1｜的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
答案：(1)A　(2)B　(3)6＋　6－
解析：(1)△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，所以｜BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值.又8＞4，所以点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，所以b2＝12，所以椭圆的方程为＝1(x≠0).故选A.
(2)法一：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而＝b2tan 45°＝1＝｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B.
法二：因为·＝0，所以∠F1PF2＝90°.由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4 c＝2，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝42＝16.又｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝16＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2.故选B.
(3)椭圆方程可化为＝1.设F2是椭圆的右焦点，则F2(2，0)，连接AF2，PF2(图略)，所以｜AF2｜＝，易知｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜－｜PF2｜＋6.又－｜AF2｜≤｜PA｜－｜PF2｜≤｜AF2｜(当P，A，F2三点共线时等号成立)，所以6－≤｜PA｜＋｜PF1｜≤6＋.所以｜PA｜＋｜PF1｜的最大值为6＋，最小值为6－.
[变式探究](数智赋能辅助)
(变条件)若将本例(2)中的“·＝0”变为“∠F1PF2＝60°”，求｜PF1｜·｜PF2｜及｜OP｜的值.
解：由椭圆方程知c2＝5－1＝4，即c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cos 60°＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)2－3｜PF1｜｜PF2｜，即16＝20－3｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝.
因为)，所以)2＝＋2·)＝[(｜｜＋｜｜)2－｜｜·｜｜]＝(20－)＝，所以｜PO｜＝.
综上可知，｜PF1｜·｜PF2｜及｜OP｜的值分别为.
椭圆定义的应用技巧 1.椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. 2.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题以及｜PF1｜，｜PF2｜的相关问题. 3.利用定义实现距离的转化，利用三点共线关系求距离和差的最值问题.
对点练1.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
答案：8
解析：根据椭圆的对称性及｜PQ｜＝｜F1F2｜可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF1｜＝m，则｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝8－m，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝｜F1F2｜2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为｜PF1｜·｜PF2｜＝m(8－m)＝8.
【教师备选】　(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为(　　)
A.13 B.12
C.9 D.6
答案：C
解析：a2＝9，b2＝4，则｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝6，所以｜MF1｜·｜MF2｜≤()2＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时，等号成立.故｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为9.故选C.
对点练2.若F为椭圆C：＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为　　　　.
答案：20
解析：如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为｜AF｜＋｜BF｜＋｜AB｜＝2a－｜AF1｜＋2a－｜BF1｜＋｜AB｜＝4a＋｜AB｜－｜AF1｜－｜BF1｜＝20＋｜AB｜－｜AF1｜－｜BF1｜，当A，B，F1共线时，｜AB｜－｜AF1｜－｜BF1｜＝0，当A，B，F1不共线时，｜AB｜－｜AF1｜－｜BF1｜＜0，所以△ABF周长的最大值为20.
考点二　椭圆的标准方程 多维探究
角度1　椭圆标准方程的特征
(多选)若方程＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　)
A.若C为椭圆，则1＜t＜3
B.若C为双曲线，则t＞3或t＜1
C.曲线C可能是圆
D.若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1＜t＜2
答案：BC
解析：对于A，若C为椭圆，则所以1＜t＜3且t≠2，故A错误；对于B，若C为双曲线，则(3－t)(t－1)＜0，所以t＞3或t＜1，故B正确；对于C，若C为圆，则3－t＝t－1，所以t＝2，故C正确；对于D，若C为椭圆，且长轴在y轴上，则所以2＜t＜3，故D错误.故选BC.
学生用书 第230页
角度2　求椭圆的标准方程
求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)；
(2)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(3)过点(2，－)且与椭圆＝1有相同离心率.
解：(1)若焦点在x轴上，设椭圆方程为＝1(a＞b＞0).
因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1，所以a＝3.
因为2a＝3×2b，所以b＝1.
所以椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆方程为＝1(a＞b＞0).
因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1，所以b＝3.
又2a＝3×2b，所以a＝9.所以椭圆方程为＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n).
因为点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
所以解得m＝，n＝.
所以椭圆的方程为＝1.
(3)椭圆＝1的离心率是e＝.
当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是＝1(a＞b＞0)，
所以＝1.
当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，
所以＝1.综上所述，椭圆的标准方程为＝1或＝1.
1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 第一步(作判断)：根据条件判断焦点的位置； 第二步(设方程)：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)； 第三步(找关系)：建立关于a，b，c或m，n的方程组； 第四步：求解，得方程. 2.椭圆的标准方程的两个应用 (1)椭圆＝1(a＞0，b＞0，a≠b)与＝λ(a＞0，b＞0，a≠b，λ＞0)有相同的离心率. (2)与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算更简便.
对点练3.(多选)已知方程＝1表示椭圆，下列说法正确的是(　　)
A.m的取值范围是(4，12)
B.若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)
C.若m＝6，则该椭圆的焦距为4
D.若m＝10，则该椭圆经过点(1，)
答案：BC
解析：对于A，因为方程＝1表示椭圆，所以解得4＜m＜12，且m≠8，故A错误；对于B，因为椭圆＝1的焦点在y轴上，所以m－4＞12－m＞0，解得8＜m＜12，故B正确；对于C，若m＝6，则椭圆方程为＝1，所以c2＝a2－b2＝6－2＝4，从而2c＝4，故C正确；对于D，若m＝10，则椭圆方程为＝1，点(1，)的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(1，)，故D错误.故选BC.
对点练4.(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·＝－1，则C的方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＋y2＝1
答案：B
解析：根据题意，得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1.又C的离心率e＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＝1.故选B.
考点三　椭圆的几何性质(高考超重点) 多维探究
角度1　求椭圆离心率的值
(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
学生用书 第231页
A. B.
C. D.
答案：(1)A　(2)A
解析：(1)由已知得e1＝，e2＝.因为e2＝e1，所以，解得a＝.故选A.
(2)法一：点A(－a，0).设点P(x1，y1)，则点Q(－x1，y1)，kAP＝，kAQ＝.故kAP·kAQ＝.由＝1，解得＝b2(1－)，代入，得，所以椭圆C的离心率e＝.故选A.
法二：不妨设点P为椭圆的上顶点，则kAP·kAQ＝()2＝.可得离心率e＝.故选A.
角度2　求椭圆离心率的取值范围
(2021·全国乙卷理)设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：根据题意，得B(0，b).设椭圆上一点P(x0，y0)，则｜y0｜≤b.＝1，可得＝a2－，则｜PB｜2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤.故选C.
角度3　与椭圆几何性质有关的最值(范围)
(1)若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A.2 B.3
C.6 D.8
(2)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率为.若点A(0，2)，点B在椭圆C上，则｜AB｜的最大值为　　　　.
答案：(1)C　(2)
解析：(1)由椭圆＝1可得F(－1，0).设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.故选C.
(2)根据题意，得2c＝2，c＝.离心率e＝，解得a＝2，所以b＝＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.设B(x0，y0)，则＝1，所以｜AB｜2＝＝4－4－4y0＋4＝－3－4y0＋8＝－3(y0＋)2＋，其中－1≤y0≤1.当y0＝－时，｜AB｜max＝，故｜AB｜的最大值为.
1.求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解. (3)构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 2.与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略
对点练5.(2025·浙江宁波一模)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若｜AB｜＝｜F1B｜，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图.因为△ABF1的周长为4a，｜AF1｜＝｜AF2｜＝a，｜AB｜＝｜F1B｜，所以｜AB｜＝｜F1B｜＝a，｜BF2｜＝.又cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，所以＝0 3c2＝a2 ＝e.所以椭圆C的离心率为.故选C.
【教师备选】　已知M，N是椭圆C：＝1(a＞b＞0)上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于M，N的点，且·的最大值是a2，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根据题意可得，－，则·＝()·(－)＝－.由椭圆可知｜｜，｜｜∈[b，a]，则·－的最大值为a2－b2＝c2，即a2＝c2，整理得椭圆C的离心率e＝.故选B.
对点练6.已知F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　.
答案：［，1)
解析：若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点.如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥.又e＜1，所以离心率e∈［，1).
对点练7.(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　)
A.的最大值为4
B.｜PF1｜的取值范围是[4－2，4＋2]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.｜PB｜的最大值为2
答案：AB
解析：根据题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴顶点时，()max＝2c×b＝4，故A正确；由椭圆的性质知｜PF1｜的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；对于D，设P(x0，y0)，所以｜PB｜＝.又＝1，所以＝16－4，所以｜PB｜＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，｜PB｜max＝，故D错误.故选AB.
课时分层测评69　椭圆
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.已知椭圆＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝(　　)
A.2 B.4
C.7 D.14
答案：C
解析：如图，设椭圆的另一焦点为F2.因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以｜OM｜＝｜PF2｜.由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝20－6＝14.所以｜OM｜＝7.故选C.
2.一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.双曲线的一支
答案：A
解析：设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则｜PA｜＝r＋1，｜PB｜＝8－r，可得｜PA｜＋｜PB｜＝9.又9＞2＝｜AB｜，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.故选A.
3.方程＝1表示椭圆的充要条件是(　　)
A.－4＜m＜－1
B.m＞－1
C.－4＜m＜2
D.－4＜m＜－1或－1＜m＜2
答案：D
解析：根据题意，得解得－4＜m＜－1或－1＜m＜2.故选D.
4.(一题多解)(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则｜OP｜＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根据题意，知a＝3，b＝，c＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝①.由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6②，由①②，解得mn＝.
法一：设｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π.由余弦定理得＝－，得x2＝，所以｜OP｜＝.故选B.
法二：因为)，所以｜｜2＝(m2＋n2＋2mncos∠F1PF2)＝[(m＋n)2－mn]＝，所以｜PO｜＝.故选B.
5.(多选)椭圆C：＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝，则(　　)
A.C的焦距为2 B.C的短轴长为2
C.C的离心率为 D.△ABF2的周长为8
答案：ABD
解析：由于∠F1AF2＝，所以∠F1AO＝∠OAF2＝，故cos∠F1AO＝cos，因此＝()2＝，故m2＝3，所以椭圆C：＝1，a＝2，b＝，c＝1.对于A，焦距为2c＝2，故A正确；对于B，短轴长为2b＝2，故B正确；对于C，离心率为e＝，故C错误；对于D，△ABF2的周长为4a＝8，故D正确.故选ABD.
6.(多选)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan∠BF1F2＝，点P在C上，线段PF1与BF2交于点Q，＝2，则(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2
C.直线PF1的斜率为
D.PF1平分∠BF1F2
答案：ACD
解析：令椭圆的半焦距为c，则F1(－c，0)，F2(c，0).由tan∠BF1F2＝，得b＝c，a＝4c，椭圆C：＝1，B(0，c).而＝2，则点Q(，).对于A，椭圆C的离心率e＝，故A正确；对于B，设K(x0，y0)，则＝15c2－，·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝－c2＝＋14c2＞0，即∠F1KF2为锐角，故B不正确；对于C，直线PF1的斜率k＝，故C正确；对于D，直线BF1的方程为x－y＋c＝0，点Q到直线BF1的距离d＝，即点Q到直线F1B与F1F2的距离相等，所以PF1平分∠BF1F2，故D正确.故选ACD.
7.(多题同解)(1)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为　　　　.
(2)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若｜AB｜＝｜F1F2｜，则△ABF1的面积为　　　.
答案：(1)　(2)9
解析：(1)根据题意可知F1(－，0)，F2(，0).因为点F2为线段AB的中点，所以AB⊥F1F2，所以｜AB｜＝＝1，所以｜AB｜·｜F1F2｜＝.
(2)根据题意，四边形AF1BF2是矩形.设｜AF1｜＝m，｜AF2｜＝n，则有m＋n＝10，m2＋n2＝(2c)2＝64，由此可得mn＝18.所以△AF1F2的面积是mn＝9.又△ABF1的面积与△AF1F2的面积相等，所以△ABF1的面积等于9.
8.(1)已知点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4，3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m，1)，则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.
(2)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝4，｜PF2｜＋｜F2Q｜＝6，则椭圆E的标准方程为　　　　　　　　　　.
答案：(1)＝1　(2)＝1
解析：(1)根据题意，设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0).由P(4，3)在C上，得＝1，显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1.而(2a＋2c)·1＝a＋c，又·2c·3＝3c，于是a＝2c，b2＝a2－c2＝a2，因此＝1，解得a2＝28，b2＝21，所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)如图，连接PF1，QF1.
由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形，所以｜PF2｜＋｜F2Q｜＝｜PF2｜＋｜PF1｜＝2a＝6，得a＝3.又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形.设｜PF2｜＝m，｜F2Q｜＝n，则mn＝4，所以则｜F1F2｜＝2.则c＝，b2＝a2－c2＝4，所以椭圆E的标准方程为＝1.
9.(10分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程.
解：(1)根据题意得，A(－a，0)，EF2：x＋y＝c.
因为A到直线EF2的距离为b，
即b，所以a＋c＝b，即(a＋c)2＝3b2.
又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，所以2c2＋ac－a2＝0.
因为离心率e＝，所以2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝，即a＝2c①.
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，
则｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝，
所以｜PF1｜｜PF2｜＝4.
又
所以a2－c2＝3②，
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(多选)已知椭圆C：＝1的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，△AF1F2为正三角形，过F1的直线l与C交于M，N两点，则(　　)
A.椭圆C的离心率为
B.｜｜·｜｜的最大值为3
C.·的取值范围是[2，3]
D.当l倾斜角为时，△AMN的周长为8
答案：ACD
解析：由△AF1F2为正三角形得a＝2c，则e＝，故A正确；由a＝2c，a2＝b2＋c2＝3＋c2，得c＝1，a＝2，故椭圆方程为＝1.因为｜｜·｜｜≤()2＝4，当且仅当｜｜＝｜｜时取等号，所以｜｜·｜｜的最大值为4，故B错误；由B知F1(－1，0)，F2(1，0)，设M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋3(1－)＝x2＋2.因为－2≤x≤2，所以·∈[2，3]，故C正确；对于D，当l的倾斜角为时，因为F1(－1，0)，F2(1，0)，A(0，)，所以直线l的方程为y＝(x＋1)，直线AF2的方程为y＝－x＋，联立即两直线的交点坐标为(，)，为线段AF2的中点，所以直线l垂直平分线段AF2，所以｜AM｜＋｜AN｜＝｜NF2｜＋｜MF2｜，所以△AMN的周长＝｜AM｜＋｜AN｜＋｜MN｜＝｜NF2｜＋｜MF2｜＋｜MN｜＝4a＝8，故D正确.故选ACD.
11.(多题同解)(1)(2025·浙江湖州、衢州、丽水一模)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，过左焦点F作直线l与圆M：x2＋y2＝相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且｜PE｜＝3｜EF｜，则椭圆离心率为　　　　.
(2)(2025·湖北武汉九调)设椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E上点P满足PF1⊥PF2，直线PF1和直线PF2分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为　　　　.
答案：(1)　(2)
解析：(1)设椭圆右焦点为F1，连接PF1，ME，如图所示.由圆M：x2＋y2＝可知圆心M(0，0)，半径r＝；显然｜EM｜＝，｜MF｜＝c，且EM⊥EF，因此可得sin∠EFM＝，所以∠EFM＝30°，可得｜EF｜＝c，｜PE｜＝3｜EF｜＝c，即可得｜PF｜＝2c.又易知｜FF1｜＝2c，由余弦定理可得＝｜PF｜2＋－2｜PF｜｜FF1｜cos30°＝12c2＋4c2－2×2c×2c＝4c2，解得｜PF1｜＝2c.由椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF｜＝2c＋2c＝2a，即a＝(＋1)c，所以离心率e＝.
(2)如图，根据已知，设｜F1A｜＝2，｜F2B｜＝3，｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，则｜F2A｜＝2a－2，｜F1B｜＝2a－3.在Rt△PAF2中，(2a－2)2＝(m＋2)2＋n2　①，在Rt△PBF1中，(2a－3)2＝m2＋(n＋3)2　②.
由①②得2a＝2m－3n.又2a＝m＋n，所以m＝a，n＝a.在Rt△PF1F2中，(a)2＋(a)2＝(2c)2，整理得17a2＝25c2，即e＝.
12.(15分)(2025·河南郑州一模)已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过F2(1，0)的直线l与动点P的轨迹交于两点A，B，与直线x＝2交于点C，设O为坐标原点，若S△OAC∶S△OBC＝3∶1，求直线l的方程.
解：(1)根据题意知｜F1F2｜＝2，｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2＞2＝｜F1F2｜，
所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦点在x轴上.
设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，
由2a＝2，2c＝2，得a＝，c＝1，b＝1，
故所求点P的轨迹方程为＋y2＝1.
(2)根据题意，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－1).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消y得(1＋2k2)x2－4k2x＋(2k2－2)＝0，
可得x1＋x2＝　①，x1x2＝　②，Δ＝8k2＋8.
由S△OAC∶S△OBC＝3∶1，所以｜AC｜∶｜BC｜＝3∶1，＝3，所以2－x1＝3(2－x2)，整理得3x2－x1＝4　③，
由①③得x1＝，x2＝，代入②，解得k＝±1，
所以直线l的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
(每小题5分，共10分)
13.(交汇融合)(2025·江苏常州二模)如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y＝sin ωx(ω＞0)图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则ω的值为(　　)
A. B.1
C.3 D.2
答案：B
解析：根据题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数y＝sin ωx(ω＞0)图象的一部分，可得AB＝2.设圆柱底面半径为r，则T＝＝2πr，所以ω＝.设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b.因为离心率为，得e＝，则a2＝b2＋c2＝b2＋(a)2，即a2＝4b2，所以，得AC＝4r.又由勾股定理得AC2－BC2＝16r2－4r2＝(2)2，解得r＝1，故ω＝1.故选B.
14.(多选)(2025·山东济南一模)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则(　　)
A.｜OH｜＋｜HF2｜＝2
B.｜OH｜＞1
C.△OHF2内切圆半径的最大值为
D.△HF1F2外接圆半径的最小值为1
答案：ACD
解析：对于A，｜OH｜＋｜HF2｜＝(｜PF1｜＋｜PF2｜)＝2a＝a＝2，故A正确；对于B，由三角形中位线得｜OH｜＝｜PF1｜，因为当点P在第二三象限时，｜PF1｜＜2，此时｜OH｜＜1，故B错误；对于C，因为｜OH｜＋｜HF2｜＋｜OF2｜＝3，＝b2tan＝3tan (θ＝∠F1PF2)，当点P在上顶点时，θ最大，所以0＜θ≤，所以0＜tan ≤，所以0≤，所以由三角形相似可得0≤.设内切圆半径为r，又｜OH｜·r＋｜HF2｜·r＋｜OF2｜·r＝r(｜OH｜＋｜HF2｜＋｜OF2｜)＝r，所以△OHF2内切圆半径的最大值为，故C正确；对于D，设△HF1F2的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝ R≥1，故D正确.故选ACD.
学生用书 第232页
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