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等和线与极化恒等式
一、等和线
【教材母题】
(人教B必修二P160例4)
如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，求证：平面内任意一点P在直线l上的充要条件是，存在实数t，使得＝(1－t)＋t.
【知能拓展】
已知平面内一组基向量，及任一向量，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.
容易得到等和线的几个结论：
1.其和为k的等和线
(1)当k＝1时，等和线恰为直线AB，即点P在直线AB上.
(2)k∈(0，1)时，等和线在O点和直线AB之间，点P在平行于AB的直线上.
(3)k∈(1，＋∞)时，直线AB在点O和等和线之间，点P在平行于AB的直线上.
2.(1)若两等和线关于O点对称，则它们对应的定值k1，k2互为相反数.
(2)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比，即k＝.
【典例应用】
(1)如图，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　　　.
(2)(一题多解)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为　　　　.
答案：(1)　(2)2
解析：(1)由等和线定理可知λ＋μ＝.
(2)法一：由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).其中A(1，0)，B(－，)，令∠AOC＝θ，0≤θ≤，则有＝x＋y(－，)，即得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，所以x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，其中0≤θ≤，所以＝2，当且仅当θ＝时取得.
法二：如图，连接AB交OC于点D，设＝t.由于＝x＋y，所以＝t(x＋y).因为D，A，B三点在同一直线上，所以tx＋ty＝1，x＋y＝，由于｜｜＝t｜｜＝t，当OD⊥AB时t取到最小值，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
法三(等和线法)：连接AB，过C作直线l∥AB，则直线l为以，为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大.因为∠AOB＝120°，所以＋，所以x＋y的最大值为2.
1.在利用等和线定理求解两系数的线性关系式的值时，需要先通过变换基向量，使得需要研究的代数式为基的系数和，再去找基向量的等和线，转化为线段比例关系求解.
2.要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线.
学生用书 第173页
对点练1.(一题多解)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A.1 B.
C. D.
答案：B
解析：法一：因为E为线段AO的中点，所以＋)＝＋＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B.
法二：(等和线法)：如图，延长BE交AD于F，则直线AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，.故选B.
对点练2.如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为(　　)
A. B.
C.2 D.2
答案：C
解析：设圆O与AB，AC边相切于点E，N，由题意知＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y.如图，作出定值k为1的等和线DE，DE与BO相交于点P，AC是过圆上的点最远的等和线，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝＝2，所以2x＋y的最大值为2.故选C.
二、极化恒等式
【教材母题】
(人教A版必修二P22练习T3)
求证：(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b.
【知能拓展】
证明过程：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
｜｜2＝＝｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2，
｜｜2＝＝｜a｜2－2a·b＋｜b｜2，
两式相减得a·b＝，此式即为极化恒等式.
2.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的.
3.常见结论：
(1)三角形模式：如图，在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则－.
(2)平行四边形模式：在 ABCD 中，O 为AC，BD 的交点，则有(4｜｜2－4｜｜2)＝｜｜2－｜｜2.
【典例应用】
(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.＝4，＝－1，则的值为　　　　.
(2)已知△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是　　　　.
答案：(1)　(2)
解析：(1)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，得－＝9n2－m2＝4①，－＝n2－m2＝－1②，联立①②，解得n2＝，m2＝.因此－＝4n2－m2＝.即.
(2)因为B是EF的中点，且EF＝6，由极化恒等式，得－－9.又知△ABC是边长为8的等边三角形，P在AC边上运动，则∈，所以∈，所以－－9∈.
极化恒等式使用方法
　　在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：
　　第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
　　第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
　　第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).
对点练3.(一题多解)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　)
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
答案：D
解析：法一：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4).设P(x，y)，则x2＋y2＝1，，，所以＝x2－3x＋y2－4y＝＋－.又＋表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0，0)到点，所以∈［－，－］，即∈.故选D.
法二(极化恒等式)：设AB的中点为M，的夹角为θ，由极化恒等式得－－＋－2－＋1－5cos θ－＝1－5cos θ，因为cos θ∈[－1，1]，所以∈.故选D.
对点练4.(2025·安徽池州模拟)莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则·(＋)的最小值为　　　　　　.
答案：10－4
解析：如图，设D为BC的中点，E为AD的中点，连接PD，PE，CE，则·(＋)＝2＝2(＋)·(＋)＝2(＋)·(－)＝2(－).在正三角形ABC中，AD＝，所以AE＝DE＝，所以·(＋)＝2(－)＝2－.因为CE＝，所以｜｜min＝2－｜｜＝2－，所以·(＋)的最小值为2｜－＝2×－＝10－4.
对点练5.(双空题)如图，在四边形ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，＝－，则实数λ 的值为　　　 ，若M，N 是线段BC 上的动点，且｜｜＝1，则 的最小值为　　　　　　　.
答案：　
解析：由题意得AD∥BC，∠BAD＝120°.由＝｜｜·｜｜cos ∠BAD＝－｜｜＝－，得｜｜＝1，因此λ＝.取MN 的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，[(＋)2－(－)2]＝－－.注意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB·sin B＝，因此－ 的最小值为()2－，即 的最小值为.
学生用书 第174页
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