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空间几何体的截面与交线问题
【教材母题】
(人教A必修二P138例3)
如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A'C'.
(1)要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
【知能拓展】
1.正方体中的基本斜截面
2.多面体中找截面的几种方法
(1)直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.
(2)延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线的方法找到交点，然后借助交点找到交线.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点作直线的平行线找到多面体与截面的交线.
【典例应用】
题型一　截面图形的判断与计算
(1)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
(2)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，AA1＝2，M为棱B1C1的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积为(　　)
A. B.
C.10 D.6
答案：(1)C　(2)C
解析：(1)先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形.故选C.
(2)设AB＝2A1B1＝4x，上底面和下底面的中心分别为O1，O，过A1作A1H⊥AC交AC于点H.设四棱台的高O1O＝h，在上下底面由勾股定理可知，A1O1＝＝x，AO＝＝2x.在梯形A1O1OA中，A1A2＝AH2＋A1H2 12＝＋h2 h2＝12－2x2，所以该四棱台的体积为V＝(16x2＋＋4x2)h＝x2h，所以V2＝x2·x2·h2＝x2·x2·(12－2x2)≤，当且仅当x2＝12－2x2，即x＝2时取等号，此时AB＝8，A1B1＝4，O1O＝h＝2.取C1D1，BC的中点N，E，连接NM，ND，ME，OE，显然有MN∥D1B1∥DB.由于MN 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD，因此平面MBDN就是截面.显然MN＝B1D1＝2，BD＝8.在直角梯形O1MEO中，ME＝＝＝2，因此在等腰梯形B1C1CB中，MB＝＝＝2，同理在等腰梯形D1C1CD中，DN＝2.在等腰梯形MBDN中，设MF∥DN，MG⊥BD，则MF＝2，BF＝8－2＝6，MG＝＝，所以梯形MBDN的面积为×＝10.故选C.
对点练1.(多选)正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是(　　)
A.截面形状可能为正三角形
B.截面形状可能为正方形
C.截面形状可能为正六边形
D.截面面积最大值为3
答案：ACD
解析：如图，当平面α与平面B1D1C重合时，截面形状为正三角形，当平面α与平面HGMIPN重合时，截面形状为正六边形(H，G，M，I，P，N均为棱的中点)，截面形状不可能为正方形，故A，C正确，B不正确；当六边形的顶点均为棱的中点时，截面为正六边形，其面积最大，MN＝2，GH＝，OE＝＝＝，所以S＝2××(＋2)×＝3，故D正确.故选ACD
.
对点练2.如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为　　　　.
答案：3
解析：如图所示，因为A1M＝2MD1，故通过平行线法可知，该截面与正方体的交点位于D1C1，AB和AA1，CC1和CB上靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝2a，MI＝a，IH＝2a，HG＝a，FG＝2a，EF＝a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3.
题型二　多面体中的交线问题
(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　.
答案：
解析：易知四边形A1B1C1D1为菱形，∠B1A1D1＝60°，连接B1D1，则△B1C1D1为正三角形，取B1C1的中点O，连接D1O，易得D1O⊥B1C1，所以D1O⊥平面BCC1B1.取BB1的中点E，CC1的中点F，连接D1E，D1F，OE，OF，EF，易知D1E＝D1F＝，易知以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以O为圆心，OE为半径的，因为B1E＝B1O＝1，所以OE＝，同理OF＝，易知EF＝2，所以∠EOF＝90°，所以的长＝×＝.
对点练3.在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝AD＝，以C为球心，2为半径的球C与该四面体每个面的交线的长度之和为(　　)
A. B.π
C. D.
答案：D
解析：由题意得△ACD，△ABC为等腰直角三角形.设球C与Rt△ACD的边CD，AD分别交于点M，N，如图①所示，设球C与Rt△ABC的边AB，CB分别交于点H，G，如图②所示.易得cos∠ACN＝，则∠ACN＝，AN＝AC·tan＝1，所以∠NCM＝∠ACD－∠ACN＝－＝，所以的长为2×＝，同理，.在△ABD内，如图③所示，因为AH＝AN＝＝1，∠HAN＝，则的长为1×＝.
在△BCD内，如图④所示，易知是以顶点C为圆心，2为半径，圆心角为的弧，则的长为2×＝，所以球C与该四面体每个面的交线的长度之和为＋＋＋＝.故选D.
对点练4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD内(包括边界)的动点，满足直线D1P与直线CC1所成角的大小为，则动点P的轨迹与底面ABCD的交线长为　　　　.
答案：
解析：根据题意，知DD1∥CC1，所以DD1 与D1P 所成角的大小为，如图所示.tan ∠DD1P＝＝，所以DP＝.所以点P 的轨迹是以D 为圆心，为半径的四分之一圆，故动点P的轨迹与底面ABCD的交线长为×2πr＝×2π×＝.
学生用书 第199页
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