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第2课时　一元二次方程、不等式
【课程标准】　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.　2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2.三个“二次”间的关系
项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x｜x＜x1， 或x＞x2} R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x｜x1＜x＜x2}
【常用结论】
1.分式不等式的解法
(1)＞0(＜0) f(x)·g＞0(＜0).
(2)≥0
2.绝对值不等式的解法
绝对值不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；｜x｜＜a(a＞0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
3.一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是
【自测诊断】
1.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0
D.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集
答案：AD
2.(链接人教A必修一P53T1)不等式－2x2＋x≤－3的解集为　　　　　　　　.
答案：(－∞，－1]∪
解析：由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥，故不等式的解集为(－∞，－1]∪.
3.不等式＜0的解集为　　　　　　 　.
答案：(2，3)
解析：＜0等价于(x－3)(x－2)＜0，解得2＜x＜3.故不等式的解集为(2，3).
4.(链接北师大必修一P41T1)若不等式x2＋ax＋b＞0的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，则a＋b＝　　　　.
答案：－3
解析：由题意可得－a＝－1＋2，b＝(－1)×2，即a＝－1，b＝－2，故a＋b＝－3.
学生用书 第18页
考点一　 三个“二次”的关系 自主练透
1.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝(　　 )
A.14 B.－14
C.10 D.－10
答案：B
解析：依题意知故a＋b＝－14.故选B.
2.(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x｜x≤－4，或x≥5}，则下列说法正确的是(　　)
A.a＞0
B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－5}
C.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为
D.a＋b＋c＞0
答案：AC
解析：由题意得，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，即a＞0，故A正确；因为－4，5是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以所以 bx＋c＞0，即－ax－20a＞0，解得x＜－20，故B错误；不等式cx2－bx＋a＜0等价于－20ax2＋ax＋a＜0，即20x2－x－1＞0，即(5x＋1)(4x－1)＞0，解得x＜－或x＞，故C正确；因为1 {x｜x≤－4，或x≥5}，所以a＋b＋c＜0，故D错误.故选AC.
3.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为　　　　.
答案：
解析：由题意知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2.又a＞0，解得a＝.
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
考点二　一元二次不等式的解法(高考超重点) 多维探究
角度1　不含参数的一元二次不等式(分式不等式)
1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集为(　　)
A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2}
C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1}
答案：C
解析：由≥2，得≥0，得≤0，可得得－2≤x＜1.故选C.
2.不等式3－ ＜x的解集为　　　　　　.
答案：{x｜0＜x＜1，或x＞2}
解析：不等式3－＜x等价于＞0，等价于x(x2－3x＋2)＞0，即x(x－1)(x－2)＞0，由数轴标根法得所求不等式的解集为{x｜0＜x＜1，或x＞2}.
3.求下列不等式的解集：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)｜x｜(1－2x)＞0；
(3)0＜x2－x－2≤4.
解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于即x＜且x≠0，
所以原不等式的解集为.
(3)原不等式等价于

借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为{x｜－2≤x＜－1，或2＜x≤3}.
角度2　含参数的一元二次不等式
解下列关于x的不等式：
(1)x2－(a＋1)x＋a＜0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)；
(3)ae2x－(a＋1)ex＋1＜0.
解：(1)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0.
当a＞1时，原不等式的解集为{x｜1＜x＜a}；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a＜1时，原不等式的解集为{x｜a＜x＜1}.
(2)原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以a(x－)(x－1)＜0.
当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，原不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a＞1时，原不等式的解集为.
(3)令t＝ex(t＞0)，
所以原不等式可化为(at－1)(t－1)＜0，
当a≤0时，不等式可化为t－1＞0，解得t＞1，即ex＞1，解得x＞0；
当a＞0，所以a(t－ ) (t－1)＜0，
当a＞1时，解得＜t＜1，即＜ex＜1，解得－ln a＜x＜0；
当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解得1＜t＜，即1＜ex＜，解得0＜x＜－ln a.
综上，当a≤0时，原不等式的解集为；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为；
当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a＞1时，原不等式的解集为.
【教师备选】　已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－3，－2)∪[4，5) B.(－3，－2]∪(4，5]
C.(－3，－2]∪[4，5) D.[－3，－2)∪(4，5]
答案：D
解析：不等式x2－(a＋1)x＋a＜0，可化为(x－a)(x－1)＜0，当a＝1时，不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为空集，不符合题意；当a＞1时，不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(1，a)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则4＜a≤5；当a＜1时，不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集为(a，1)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则－3≤a＜－2，综上可得，实数a的取值范围是[－3，－2)∪(4，5].故选D.
　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类；(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数；(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 注意：对于复合指数(对数、三角)不等式，可以利用换元法或整体思想，转化为一元二次不等式求解，同时注意换元前后对未知数取值范围的影响.
学生用书 第19页
对点练1.(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A.不等式x2＋x－2＞0的解集为{x｜x＜－2，或x＞1}
B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2}
C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3}
D.设x∈R，则“｜x－1｜＜1”是“＜0”的充分不必要条件
答案：ABD
解析：对于A，因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2＞0的解集为{x｜x＜－2，或x＞1}，故A正确；对于B，因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；对于C，由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1，或x≥3}，故C错误；对于D，由｜x－1｜＜1，可得－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2，由＜0，可得－4＜x＜5，因此，“｜x－1｜＜1”是“＜0”的充分不必要条件，故D正确.故选ABD.
【教师备选】　不等式(x－2)(x＋3)＞x－2的解集为　　　　　.
答案：{x｜x＜－2，或x＞2}
解析：原不等式可化为(x－2)(x＋2)＞0，所以原不等式的解集为{x｜x＜－2，或x＞2}.
对点练2.解关于x的不等式x2－ax＋1＜0，a∈R.
解：当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ，
当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，
方程x2－ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
原不等式的解集为{x｜＜x＜}.
综上可知，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ，
当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜＜x＜}.
考点三　一元二次不等式恒成立问题 师生共研
(一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P58T6)当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？
解：当k＜0时，要使一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，
则二次函数y＝2kx2＋kx－的图象在x轴下方，
即Δ＝k2－4×2k×＜0，得－3＜k＜0.
当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－的图象开口向上，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立.
综上可知，实数k的取值范围是(－3，0).
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件)已知函数f(x)＝kx2－kx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－k恒成立，则实数k的取值范围是　　　　.
答案：
解析：要使f(x)＜5－k在x∈[1，3]上恒成立，
即k＋k－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一：令g＝k＋k－6，x∈[1，3].当k＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g＝g(3)，即7k－6＜0，所以k＜，所以0＜k＜；当k＝0时，－6＜0恒成立；当k＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g＝g(1)，即k－6＜0，所以k＜6，所以k＜0.综上所述，实数k的取值范围是.
法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，k(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，所以k＜在x∈[1，3]上恒成立.令y＝.因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需k＜即可.所以实数k的取值范围是.
2.(变条件、变设问)已知函数f(x)＝kx2－kx－1.若对于k∈[1，3]，f(x)＜5－k恒成立，则实数x的取值范围是　　　　.
答案：(，)
解析：要使f(x)＜5－k在k∈[1，3]上恒成立，即k(x2－x＋1)－6＜0在k∈[1，3]上恒成立.记f(k)＝(x2－x＋1)k－6，显然函数y＝f(k)(k∈[1，3])的图象是一条线段，由不等式恒成立可得故不等式组等价于x2－x－1＜0，解得＜x＜，所以实数x的取值范围是(，).
【教师备选】　若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是　　　　　.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析：不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3＞0，由已知可得＞0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得解得x＜－1或x＞3.
一元二次不等式恒成立问题的解题策略 前提：(1)弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；(2)弄清楚是在R上恒成立，还是在给定区间上恒成立判别式法适用于“在R上恒成立”问题(典例2)数形结合法、分离法、分类讨论法适用于“在给定区间上恒成立”问题(变式探究1)，此时不能用判别式Δ主参变换法适用于“已知参数范围求函数自变量范围”问题(变式探究2)，此时的解题思路是“更换主元”，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解
对点练3.(一题多问，一题练透)已知关于x的不等式mx2－2x－m＋1＜0.
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？请说明理由.
(2)若不等式对任意x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围.
(3)对于m∈[－2，2]，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
(4)若不等式在[2，3]上有解，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＝0时，－2x＋1＜0对任意x∈R不恒成立，不满足；当m＞0时，不满足；
当m＜0时，Δ＝4－4m(1－m)＝4m2－4m＋4＜0无解.
故不存在实数m，使得不等式对任意x∈R恒成立.
(2)令f(x)＝mx2－2x－m＋1.
当m＞0时，解得m＞1；
当m＝0时，－2x＋1＜0在[0，1]上不恒成立；
当m＜0时，因为二次函数图象的对称轴为直线x＝，抛物线开口向下，所以只需f(0)＝－m＋1＜0，解得m＞1，矛盾.
综上，实数m的取值范围是(1，＋∞).
(3)利用主元法，设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，
若当m∈[－2，2]时，g(m)＜0恒成立，
则
解得＜x＜，
所以实数x的取值范围是(，).
(4)因为x∈[2，3]，不等式可整理为m＜，即m＜()max，
设2x－1＝t∈[3，5]，则x2－1＝，
所以m＜()max＝()max＝()max.
因为函数y＝x和函数y＝－在[3，5]上均为增函数，所以函数y＝t－＋2在[3，5]上为增函数，则函数y＝在[3，5]上为减函数，
所以m＜()max＝1.
故实数m的取值范围是(－∞，1).
学生用书 第20页
课时分层测评6　一元二次方程、不等式
(时间：60分钟　满分：90分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.已知A＝，B＝，则A∩B＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由－4x2＋16x－12≥0，即≤0，解得1≤x≤3，所以A＝＝.又B＝，所以A∩B＝＝.故选C.
2.已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A. B.
C.{x｜－2＜x＜1} D.{x｜x＜－2，或x＞1}
答案：A
解析：因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a＜0，－1＋2＝－，×2＝，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为.故选A.
3.已知命题p：“ x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3＞0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a｜－1＜a＜2} B.{a｜a≥1}
C.{a｜a＜－1} D.{a｜－1≤a＜2}
答案：D
解析：当a＝－1时，3＞0成立；当a≠－1时，需满解得－1＜a＜2.综上所述，实数a的取值范围是{a｜－1≤a＜2}.故选D.
4.对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，) B.(－∞，)
C.(，＋∞) D.(－∞，)
答案：D
解析：分离参数得a＜，要使对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，只需a＜.又因为＝，令f(x)＝x＋，由对勾函数性质可知，f(x)在[1，)上单调递减，在[，2]上单调递增，又f(1)＝4，f(2)＝，所以f(x)max＝4，所以＝，所以a＜.故选D.
【教师备选】　若关于x的不等式3x2－(a＋2)x－3＞0在区间［，2］内有解，则a的取值范围是(　　)
A.(－10，) B.(－∞，－10)
C.(－∞，－2) D.(－∞，)
答案：D
解析：因为x∈［，2］，所以由不等式3x2－(a＋2)x－3＞0得a＋2＜＝3x－.不等式3x2－(a＋2)x－3＞0在区间［，2］内有解，只需a＋2＜. 因为y＝3x－在x∈［，2］上单调递增，所以y的最大值为ymax＝3×2－＝，可得a＋2＜，解得a＜.故选D.
5.(多选)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)＞0的解集可能是(　　)
A. B.{x｜x＞－2}
C. D.
答案：ACD
解析：当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)＞0，解得x＜－2；当a＞0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)＞0，解得x＞或x＜－2，故A正确；当a＜0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)＞0，若＝－2，则a＝－1，则解集为空集；若＜－2，则－1＜a＜0，则不等式的解集为，故D正确；若＞－2，解得a＜－1，则不等式的解集为，故C正确.故选ACD.
6.(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　)
A.－ B.1
C.－1 D.－2
答案：AC
解析：由题意知a＜0，则排除B；对于A，当a＝－时，＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a＝－2时，(－2x－1)(x－5)＞0，即(2x＋1)(x－5)＜0，解得－＜x＜5，解集中有5个整数，不符合题意.故选AC.
7.不等式＞x的解集为　　　　　.
答案：(－∞，－1)∪(1，5)
解析：不等式＞x化为以下两个不等式组解得x＜－1，解解得1＜x＜5，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，5).
8.不等式－＜0的解集为　　　　.
答案：
解析：当x＞2时，－＝2x－1－x＋2＝x＋1；≤x≤2时，－＝2x－1＋x－2＝3x－3；x＜时，－＝1－2x＋x－2＝－x－1；－＝当x＞2时，x＋1＜0 x＜－1，无解；≤x≤2时，3x－3＜0 x＜1，解为≤x＜1；x＜时，－x－1＜0 x＞－1，解为－1＜x＜.取并集，所以原不等式的解集为.
9.(10分)解关于x的不等式2a2x2－3ax－2＞0，a∈R.
解：当a＝0时，原不等式即为－2＞0，该不等式的解集为 ；
当a≠0时，2a2＞0，
原不等式即为(2ax＋1)(ax－2)＞0.
①若a＜0，则－＞，原不等式的解集为；
②若a＞0，则－＜，原不等式的解集为.
综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为 ；
当a＜0时，原不等式的解集为；
当a＞0时，原不等式的解集为.
(10—12题，每小题5分，共15分)
10.对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法.解：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1).参考上述解法，若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　)
A.(－2，1)∪(1，3) B.(－3，－1)∪(1，2)
C.(－3，－2)∪(－1，1) D.(－2，－1)∪(1，2)
答案：B
解析：若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0可看成是前者不等式中的x用代替得到的，所以∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1，2).故选B.
11.已知函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若关于x的不等式f≤4的解集为∪，则不等式f＞2x2的解集为(　　)
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 　B.(－2，2)
C.(－∞，－4)∪(4，＋∞) 　D.(－4，4)
答案：B
解析：因为函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，所以f上单调递减.又f≤4的解集为(－∞，－2]∪，可得f＞4，所以当x≥2，或x≤－2时，y＝f(x)的图象在y＝4图象的下方，当－2＜x＜2时，y＝f(x)的图象在y＝4图象的上方.又因为当x≥2，或x≤－2时，y＝2x2的图象在y＝4图象的上方，当－2＜x＜2时，y＝2x2的图象在y＝4图象的下方，所以当x≥2，或x≤－2时，y＝f(x)的图象在y＝2x2图象的下方，当－2＜x＜2时，y＝f(x)的图象在y＝2x2图象的上方，则不等式f＞2x2的解集为.故选B.
12.(新定义)在R上定义运算： a b＝a(b＋1).已知－1≤x≤1时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　　　.
答案：{m｜－2＜m＜1}
解析：根据题意，不等式(m－x) (m＋x)＜0，即(m－x)(m＋x＋1)＜0，即(x－m)(x＋m＋1)＞0，则当－1≤x≤1时存在x使不等式(x－m)(x＋m＋1)＞0成立，即当－1≤x≤1时存在x使不等式x2＋x＞m2＋m成立.令f(x)＝x2＋x，x∈[－1，1].因为f(x)＝－在［－1，－)上单调递减，在［－，1］上单调递增，且f(－1)＝0，f(1)＝2，f(－)＝－，所以f(x)∈［－，2］，所以m2＋m＜2，解得－2＜m＜1，即实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜1}.
13.(15分)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a＜0，解关于x的不等式f(x)＜a－1.
解：(1) x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是.
(2)依题意，因为a＜0，则f(x)＜a－1 ax2＋(1－a)x－1＜0 ＞0，
当a＝－1时，－＝1，解得x≠1；
当－1＜a＜0时，－＞1，解得x＜1或x＞－；
当a＜－1时，0＜－＜1，解得x＜－或x＞1.
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x｜x≠1}；
当－1＜a＜0时，原不等式的解集为{x｜x＜1，或x＞－}；
当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜x＜－，或x＞1}.
(每小题5分，共10分)
14.(新定义)(多选)设＜x＞表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式＜x＞2＋＜x＞－12≤0的解可以为(　　)
A. B.3
C.－4.5 D.－5
答案：BC
解析：因为不等式＜x＞2＋＜x＞－12≤0，所以(＜x＞－3)(＜x＞＋4)≤0，即－4≤＜x＞≤3，又因为＜x＞表示不小于实数x的最小整数，＜＞＝4，＜3＞＝3，＜－4.5＞＝－4，＜－5＞＝－5，所以不等式＜x＞2＋＜x＞－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC.
15.(创新交汇)(2025·天津卷) 若a，b∈R，对 x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为　　　　.
答案：－4
解析：设t＝2a＋b，原题转化为求t的最小值，原不等式可化为对任意的－2≤x≤2，tx2＋x－a－1≤0，不妨代入x＝－，得t－－a－1≤0，得t≥－4，当t＝－4时，原不等式可化为－4x2＋x－a－1≤0，即－［2x＋］2＋a2≤0，观察可知，当a＝0时，－(2x＋1)2≤0对－2≤x≤2一定成立，当且仅当x＝－取等号，此时，a＝0，b＝－4，说明t＝－4时，a，b均可取到，满足题意，故t＝2a＋b的最小值为－4.
学生用书 第20页
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