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第35讲　复　数
【课程标准】　1.通过方程的解，认识复数.　2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.　3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的 分类 a＋bi为实数 b＝0
a＋bi为虚数 b≠0
a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：复数z＝a＋bi的模，记作｜a＋bi｜或｜z｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
[微提醒]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi).
3.复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)复数的加、减运算的几何意义
复数加、减法可按向量的加、减法进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＋，－.
(3)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
【常用结论】
1.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
2.＝±2i，＝i，＝－i.
3.z·＝｜z｜2＝｜｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜｜＝，｜zn｜＝｜z｜n.
4.对于任意复数z1，z2，都有｜z1＋z2｜2＋｜z1－z2｜2＝2｜z1｜2＋2｜z2｜2.
5.复数z的方程(或不等式)在复平面上表示的图形
(1)a≤｜z｜≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
(2)｜z－(a＋bi)｜＝r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b
B.复数可以比较大小
学生用书 第175页
C.已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
答案：ABC
2.(链接人教A必修二P69例1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.－1或1
答案：A
解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.故选A.
3.(链接人教A必修二P73T6)已知复数z满足(2－i)＝1－2i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：A
解析：由(2－i)＝1－2i得，－i，故z＝＋i，所以z在复平面内对应的点为，故z在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
4.(链接人教A必修二P73T5)若复数z＝－i，则＝　　　　.
答案：
解析：.
考点一　复数的有关概念 自主练透
1.(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.6
答案：C
解析：因为i＝i＋5i2＝－5＋i，所以其虚部为1.故选C.
2.设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　 )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案：C
解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C.
3.已知z＝(1－3i)(a＋i)(a∈R)为纯虚数，则a＝(　　)
A.3 B.－3
C. D.－
答案：B
解析：根据题意，z＝(a＋3)＋(1－3a)i.由z是纯虚数，得所以a＝－3.故选B.
4.(一题多解)设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则｜(1－z)｜＝　　　　.
答案：
解析：法一： ＝－1＋i，｜(1－z)｜＝｜(1＋1＋i)·(－1＋i)｜＝｜(2＋i)·(－1＋i)｜＝｜－3＋i｜＝.
法二： ｜(1－z)｜＝｜－｜z｜2｜＝｜－1＋i－2｜＝｜－3＋i｜＝.
解决复数概念问题的方法及注意事项
1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
考点二　复数的四则运算(高考超重点) 自主练透
1.(2025·全国二卷)已知z＝1＋i，则＝(　　)
A.－i B.i
C.－1 D.1
答案：A
解析：＝－i.故选A.
【溯源教材19】
溯源 (人教A必修二P95 T2(2)) 已知复数z＝1－2i，那么＝　　　　.
透视 这两个题目均围绕复数的倒数运算展开，都运用了复数分母实数化的方法，通过乘以分母的共轭复数来化简计算，本质是复数基本运算规则的实践应用，属于同一类复数运算题型的不同呈现.在2024·新课标Ⅰ卷中进行了类似的考查：若＝1＋i，则z＝(　　) A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 答案：C 解析：由题意知z＝(1＋i)(z－1)，则z＝＝1－i.故选C.
预测 已知复数z满足z＝1＋5i，则＝　　　　. 答案： 解析：因为z＝1＋5i，所以z＝＝3＋2i，所以.
2.(2025·山东威海一模)已知复数z＝1＋2i，则z＝(　　)
A.4＋8i B.4－8i
C.4i－8 D.4i＋8
答案：C
解析：由z＝1＋2i可得＝1－2i，故z＝＝4i＝－8＋4i.故选C.
3.若z＝，则z100＋z50＋1＝(　　)
A.1 B.i
C.－1 D.－i
答案：B
解析：因为z＝，所以z2＝()2＝＝i，所以z100＋z50＋1＝(z2)50＋(z2)25＋1＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.故选B.
4.(一题多解)设复数z满足＝－i，则｜z｜＝(　　)
A.i B.
C.1 D.
答案：C
解析：因为＝－i，所以1＋z＝－i(1－z)，z＝.
法一：所以｜z｜＝＝1.故选C.
法二： 因为z＝＝－i，所以｜z｜＝｜－i｜＝1.故选C.
学生用书 第176页
复数代数形式运算问题的解题策略
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算.
2.复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
3.解复数的运算与复数概念的综合题时，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义作答.
考点三　复数的几何意义(高考超重点) 师生共研
(1)(2021·新高考Ⅱ卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知｜z｜＝2，则｜z＋3－4i｜的最大值为　　　　.
(3) (2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2 满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝＋i，则｜z1－z2｜＝　　　　.
答案：(1)A　(2)7　(3)2
解析：(1)＋i，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选A.
(2)设z＝x＋yi，x，y∈R，则有＝2，即x2＋y2＝4，则z在复平面中的点P(x，y)在以(0，0)为圆心，2为半径的圆周上.z＋3－4i＝(x＋3)＋(y－4)i，｜z＋3－4i｜＝，表示P(x，y)与点A(－3，4)的距离，如图所示，由图可知，｜AP｜max＝＋r＝5＋2＝7，即｜z＋3－4i｜的最大值为7.
(3)如图所示，设复数z1，z2 所对应的点为Z1，Z2，令＋.由已知｜｜＝＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2 为菱形，且△OPZ1，△OPZ2 都是正三角形，所以∠Z1OZ2＝120°，｜Z1Z2｜2＝｜OZ1｜2＋｜OZ2｜2－2｜OZ1｜·｜OZ2｜cos 120°＝22＋22－2×2×2×(－)＝12，所以｜z1－z2｜＝｜｜＝｜Z1Z2｜＝2.
复数几何意义的理解及应用
1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
对点练1.在复平面内，向量对应的复数为－1＋3i，向量对应的复数为－2＋i，则向量对应的复数为(　　)
A.－3－4i B.－3＋4i
C.1＋2i D.－1－2i
答案：D
解析：因为向量对应的复数为－1＋3i，向量对应的复数为－2＋i，所以－＝(－2＋i)－(－1＋3i)＝－1－2i，所以向量对应的复数为－1－2i.故选D.
对点练2.若复数(2＋i)·(a－i)(i是虚数单位，a∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－，3) B.(，2)
C.(－，2) D.(，3)
答案：C
解析：复数(2＋i)(a－i)＝2a＋1＋(a－2)i，其对应点(2a＋1，a－2)在第四象限，则解得－＜a＜2.故选C.
对点练3. 已知复数z满足｜z－2｜＝1，则｜z－i｜的最小值为(　　)
A.1 B.－1
C.＋1 D.3
答案：B
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为｜z－2｜＝｜x－2＋yi｜＝＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x－2)2＋y2＝1，如图.又｜z－i｜＝｜x＋(y－1)i｜＝，所以｜z－i｜表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，所以｜z－i｜min＝CA－1＝－1.故选B.
考点四　复数集内一元二次方程的解 师生共研
(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则(　　)
A.p＝2 B.x2＝1－i
C.x1·＝－2i D.＝i
答案：BD
解析：因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，且x1＝1＋i，所以x1x2＝2，可得x2＝＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由＝1＋i，所以x1·＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；＝i，故D正确.故选BD.
1.对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失效了，其他仍适用.
对点练4.(一题多解)已知复数z1，z2是关于x的方程x2－2x＋3＝0的两根，则z1z2的值为(　　)
A.－3 B.－2
C.2 D.3
答案：D
解析：法一：由x2－2x＋3＝0，得z1＝1＋i，z2＝1－i，所以z1z2＝(1＋i)(1－i)＝3.故选D.
法二：方程x2－2x＋3＝0，由韦达定理可得z1z2＝＝3.故选D.
对点练5.已知1－2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则｜a＋bi｜＝(　　)
A.2 B.3
C.5 D.
答案：D
解析：因为1－2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，所以1＋2i是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的另一个根.由韦达定理可得，所以｜a＋bi｜＝｜－2＋5i｜＝.故选D.
课时分层测评54　复　数
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.(2025·广东佛山二模)复数＝(　　)
A.－25 B.25
C.－5 D.5
答案：B
解析：＝9＋16＝25.故选B.
2.(2025·安徽皖南八校第三次联考)已知复数z与互为共轭复数，则复数z的虚部为(　　)
A.－1 B.－i
C.－2 D.－2i
答案：A
解析：因为＝2＋i，所以z＝2－i，虚部为－1.故选A.
3.已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数a＝(　　)
A.－4 B.－2
C.1 D.2
答案：B
解析：因为＝2－2i＋ai－ai2＝2＋a＋i，所以解得a＝－2.故选B.
4.(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则｜z｜＝(　　)
A. B.2
C.4 D.8
答案：B
解析：由i·z＋2＝2i，可得z＝＝2＋2i，所以＝2.故选B.
【教师备选】(2025·安徽江淮十校联考)已知复数z＝1－i(其中i为虚数单位)，则的值为　　　 　.
答案：－i
解析：因为z＝1－i，所以－i.
5.(2025·山东烟台二模)已知复数z满足z＝2－3i，则z在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：C
解析：由z＝2－3i得z＝，则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限.故选C.
6.(一题多解)已知虚数z是关于x的方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，且｜z｜＝，则a＝(　　)
A.1 B.2
C.4 D.5
答案：D
解析：法一： 设z＝m＋ni(m，n∈R且n≠0)，代入原方程可得m2－n2－4m＋a＋(2mn－4n)i＝0，所以因为｜z｜＝，所以n2＝1，则a＝5.故选D.
法二：因为实系数一元二次方程x2－4x＋a＝0的虚数根共轭成对出现，所以a＝z·＝｜z｜2＝5.故选D.
7.(多选)(2025·武汉四调)若复数z＝，则(　　)
A.＝4－i
B.｜｜＝
C.z在复平面内对应的点位于第四象限
D.复数ω满足｜ω｜＝1，则｜ω－z｜的最大值为＋1
答案：BCD
解析：复数z＝＝4－i，＝4＋i，故A错误；＝4＋i，，故B正确；z的实部为4，大于零，虚部为－1，小于零，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确；因为复数ω满足｜ω｜＝1，设ω在单位圆上，则｜ω－z｜表示ω和点z之间的距离，其最大值为z到原点的距离加半径，最大值为＋1，故D正确.故选BCD.
【教师备选】若复数z满足｜z－1＋i｜＝3，则｜z｜的最大值为　　　　.
答案：5
解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则｜z－1＋i｜＝3表示复平面内点Z(a，b)到点(1，－)的距离为3，则｜z｜的最大值为点(1，－)到(0，0)的距离加上3，即｜z｜max＝＋3＝5.
8.(多选)已知复数z在复平面内对应的点为，则(　　)
A.＝1 B.z＋＝1
C.z2＋z＋1＝0 D.z2 027＝
答案：ACD
解析：由题意可知，z＝－＋i，＝1，故A正确；＝－－i，z＋＝－1，故B错误；z2＝－－i＝－－i，所以z2＋z＋1＝－1＋1＝0，故C正确；z3＝z2·z＝＝1，所以z2 027＝z2 025·z2＝·z2＝z2＝，故D正确.故选ACD.
9.(2025·天津卷) 已知i是虚数单位，则＝　　　　.
答案：
解析：由题意得＝－i＝1－3i，所以.
10.(2025·浙江金华十校二模)已知复数z1，z2互为共轭复数，则下列有关复数模的结论，正确的命题序号有　　　　.
(1)；(2)z1·z2＝；
(3)＝－；(4) .
答案：(1)(2)(3)
解析：设z1＝a＋bi，则z2＝a－bi，对于(1)，，故(1)正确；对于(2)，z1z2＝a2＋b2，＝a2＋b2，故(2)正确；对于(3)，z1－z2＝2bi，＝4b2，－＝－＝4b2，故(3)正确；对于(4)，设z1＝1＋i，z2＝1－i，则＝i，则＝1，＝i2＝－1，故(4)错误.故正确的命题序号有(1)(2)(3).
(每小题5分，共20分)
11.若是纯虚数，则复数z可以是(　　)
A.－3＋4i B.3－4i
C.4＋3i D.4－3i
答案：D
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a2＋b2≠0，则.因为是纯虚数，所以经验证可知，a＝4，b＝－3符合，即复数z可以是4－3i.故选D.
12.已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，且＝－2，则复数z2在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案：C
解析：因为复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，则设z1＝a＋bi.因为＝所以z2＝－2z1＝－2＝－2a－2bi，所以复数z2在复平面内所对应的点为.又a＞0，b＞0，所以－2a＜0，－2b＜0，所以该点位于第三象限.故选C.
13.(多选)(2025·浙江杭州二模)已知复数ω＝cos 120°＋isin 120°(i是虚数单位)，则(　　)
A.＝1 B.ω2＝
C.ω2＋ω＋1＝0 D.＋＝1
答案：ABC
解析： 因为cos 120°＝－，sin 120°＝，所以ω＝cos 120°＋isin 120°＝－＋i，｜ω｜＝＝1，故A正确；ω2＝＝－－i，而＝－－i，与ω2相等，故B正确； ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0，故C正确；＝－＋i，＝－－i，所以＋＋＝－1，故D错误.故选ABC.
14.已知复数数列{an}满足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i为虚数单位，则a2 026＝　　　　.
答案：－1＋i
解析：因为a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝(－1＋i)i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝(1＋i)i＋i＋1＝2i，…，所以复数数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a2 026＝a4×506＋2＝a2＝－1＋i.
(每小题5分，共10分)
15.(多选)(2025·山东泰安三模)定义复数运算：z1 z2＝＋z1z2，已知z＝1＋2i，若复数w满足z w＝10，则(　　)
A.w可以是3＋i
B.的最小值为
C.w在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D.zw的实部为5
答案：BCD
解析：设w＝a＋bi(a，b∈R)，代入z w＝10，解得a－2b＝5.对于A，3－2＝1不满足a－2b＝5，故A错误；对于B，×，故，故B正确；对于C，a－2b＝5 b＝a－，所以w在复平面内对应的点的坐标为，当＞0，则a＞5，所以该点不可能位于第二象限，故C正确；对于D，zw＝＝a－2b＋i，其实部为a－2b，因为a－2b＝5，即其实部为5，故D正确.故选BCD.
16.(双空题)(2025·浙江杭州一模)已知复数z1，z2的实部和虚部都不为0，满足①＝2；②＝2.则z1＝　　　　，z2＝　　　　.(写出满足条件的一组z1和z2)
答案：＋i　＋i(答案不唯一，只要满足a2＋b2＝4，c2＋d2＝1，abcd≠0即可)
解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(abcd≠0，a，b，c，d∈R)，则，
z1z2＝＝ac－bd＋i，
由
整理得
即
所以可取a＝b＝，c＝d＝，
所以z1＝＋i，z2＝＋i
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