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第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系
【课程标准】　1.理解空间向量的概念、掌握空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.　2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.　3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.　4.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.　5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系.　6.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理.
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a，b＞，其范围是[0，π]，若＜a，b＞＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞.
(3)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb (b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 ｜a｜
夹角余弦值 cos＜a，b＞(a≠0，b≠0) cos＜a，b＞＝
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n＝0
l⊥α u∥n u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
学生用书 第200页
【常用结论】
1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.
2.若A为BC的中点，O为空间任一点，则＝.
3.在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
4.向量四点共面定理：在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为平面ABC外任意一点.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的有(　　)
A.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α
B.若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量
C.若a·b＜0，则＜a，b＞是钝角
D.若两平面的法向量平行，则不重合的两平面平行
答案：ABC
2.(链接人教A选修一P10T5)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A.3 B.2
C. D.1
答案：C
解析：＝x＋y＋z＝x(＋)＋y(＋)＋z(＋)＝(x＋y)＋(y＋z)＋(z＋x)，而＝＋＋，所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝.故选C.
3.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝　　　　.
答案：
解析：因为a⊥b，所以a·b＝－8－2＋3x＝0，解得x＝.
4.如图，已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝，PA＝AB＝BC＝6，则｜＋＋｜＝　　　　.
答案：12
解析：因为｜＋＋｜2＝＋＋＋2＋2＋2＝｜PA｜2＋｜AB｜2＋｜BC｜2＋2｜AB｜｜BC｜cos＜，＞＝62＋62＋62＋2×6×6×＝4×62，所以｜＋＋｜＝12.
考点一　空间向量的线性运算及共线、共面向量定理 自主练透
1.(一题多解)已知四面体O-ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：法一：如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，＝＋)＝－2＋)，则＝＝－2＋).根据题意，＝3＝3(－)，则＝＝＋)＝＝＋＋)，所以x＝y＝z＝.故选A.
法二：因为G1是△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＋＋＋＋＋＝0，从而＝＋＋).因为G是OG1上一点，且OG＝3GG1，所以＝，从而＝＋＋)，所以x＝y＝z＝.故选A.
2.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共线的充要条件
B.若，共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
答案：CD
解析：对于A，由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，向量a，b共线，但不能得到｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，故A不正确；对于B，若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故B不正确；对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，故C正确；对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确.故选CD.
3.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)(一题多解)判断点M是否在平面ABC内.
解：(1)由题知＋＋＝3，
所以－＝－＋－，
即＝＋＝－－，
所以，，共面.
(2)法一：由(1)知，，共面且过同一点M.
所以四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.
法二：因为＝＋＋)＝＋＋，又因为＋＋＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.
学生用书 第201页 1.空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主，具体求解过程中要注意结合图形，依据三角形法则、平行四边形法则合理运算. 2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
考点二　空间向量的数量积及其应用 多维探究
角度1　基本运算
1.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，｜c｜＝.若(a＋b)·c＝7，则＜a，c＞＝(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案：C
解析：因为a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，所以(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－.所以＜a，c＞＝120°.故选C.
2.已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，则的最大值为(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案：C
解析：取AB 的中点O，连接PO，如图所示，则＝(＋)·(＋)＝－＝－1.由图知，显然当点P 运动到D1 或C1 处时，PO最大.)max＝D1D2＋DA2＋AO2＝9，所以 的最大值为8.(另解：建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示求最大值.)故选C.
角度2　模与夹角
如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.求：
(1)AC1的长；
(2)BD1与AC夹角的余弦值.
解：(1)记＝a，＝b，＝c，
则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
｜｜2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，
所以｜｜＝，即AC1的长为.
(2)因为＝b＋c－a，＝a＋b，所以｜｜＝，｜｜＝，＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
所以cos＜，＞＝＝.
所以BD1与AC夹角的余弦值为.
　　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知｜a｜，｜b｜和＜a，b＞，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
对点练1.(多选)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(1，2，－1)，B(0，1，1).下列结论正确的有(　　)
A.｜｜＝4
B.＝1
C.若n＝(4，2，t)，且n⊥，则t＝3
D.若m＝(1，1，k)，且m∥，则k＝2
答案：BC
解析：对于A，因为＝(－1，－1，2)，所以｜｜＝＝，故A错误；对于B，因为＝(1，2，－1)，＝(0，1，1)，所以＝1，故B正确；对于C，由n·＝4×(－1)＋2×(－1)＋t×2＝0，解得t＝3，故C正确；对于D，若m∥，则k＝－2，故D错误.故选BC.
对点练2.如图，正四面体A-BCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设＝a，＝b，＝c，试用向量法解决下列问题：
(1)求的模长；
(2)求，的夹角.
解：(1)因为点E，F，G分别是棱BC，AD，AB的中点，
所以＝＋＋＝＋＋＝－)－＋＝，
因此｜｜2＝＝(c2＋b2＋a2－2c·b＋2b·a－2c·a).
因为正四面体的所有棱长为1，
所以｜｜2＝×(1＋1＋1－2×1×1×＋2×1×1×－2×1×1×)＝，所以｜｜＝.
(2)由(1)可知＝，｜｜＝，
同理＝，｜｜＝，
所以cos＜，＞＝
＝＝
＝×(1＋1－2×1×1×－1)＝0，
所以，的夹角为90°.
学生用书 第202页
考点三　利用空间向量证明平行与垂直 师生共研
如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD.
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF.
证明：如图，取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD.
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
所以OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(0，0，)，B(1，2，0).
＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2，).
(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z).
则
取z＝1，得n＝(－，，1)是平面BCF的一个法向量.
又四边形BDEF为平行四边形，
所以＝＝(－1，－2，)，
所以＝＋＝＋＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，
所以·n＝3－4＋＝0，所以⊥n.
又AE 平面BCF，所以AE∥平面BCF.
(2)因为＝(－3，0，)，＝－3＋3＝0，＝－3＋3＝0，
所以⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE.
又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
所以CF⊥平面AEF.
1.利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
注意：证明平行与垂直，一是方向向量与法向量的计算要准确，二是位置关系与向量关系的转化要准确.
对点练3.如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PDC.
证明：(1)根据题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设PA＝AD＝a(a＞0)，AB＝b(b＞0)，
则有A(0，0，0)，P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0).
因为M，N分别为AB，PC的中点，
所以M，N，所以＝.
又＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，所以＝＋.
又MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD.
(2)结合(1)知，M，＝(b，a，－a)，
＝，＝(0，a，－a).
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
令z1＝b，则x1＝2a，y1＝－b，得n1＝(2a，－b，b).
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
得x2＝0，令z2＝1，则y2＝1，得n2＝(0，1，1).
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2，
故平面PMC⊥平面PDC.
【教师备选】　如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；
(2)PD⊥平面AHF.
证明：(1)因为E，H分别是线段AP，AB的中点，
所以PB∥EH.
因为PB 平面EFH，且EH 平面EFH，
所以PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0).
＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，
所以＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
所以⊥，⊥，
所以PD⊥AF，PD⊥AH.
因为AH∩AF＝A，且AH，AF 平面AHF，
所以PD⊥平面AHF.
课时分层测评60　空间向量及其运算和空间位置关系
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.－a＋b＋c 　B.a＋b＋c
C.－a－b－c 　D.－a－b＋c
答案：C
解析：＝＋＝＋＋)＝＋＋＝－a－b－c.故选C.
2.已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：根据题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2.又｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，所以cos＜a，b＞＝＝＝.又＜a，b＞∈[0，π]，所以a与b的夹角为.故选A.
3.已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋＝(　　)
A. B.3
C.6 D.0
答案：C
解析：如图，连接PO，AD，BE，CF，则＋＋＋＋＋＝6＋(＋＋＋＋＋)＝6.故选C.
4.已知，，不共面，＝(3－x－y)＋x＋(y－2)，则(　　)
A. x，y∈R，A，B，C，M四点共面
B. x，y∈R，A，B，C，M四点不共面
C. x，y∈R，A，B，C，P四点共面
D. x，y∈R，A，B，C，P四点共面
答案：A
解析：因为(3－x－y)＋x＋(y－2)＝1，所以 x，y∈R，A，B，C，M四点共面.故选A.
5.(多选)已知空间向量a＝(2，－2，1)，b＝(3，0，4)，则下列说法正确的是(　　)
A.向量c＝(－8，5，6)与a，b均垂直
B.向量d＝(1，－4，－2)与a，b共面
C.若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则l1与l2所成的角的余弦值为
D.向量a在向量b上的投影向量为(6，0，8)
答案：BC
解析：对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，故c与a不垂直，故A错误；对于B，设d＝ma＋nb，则m(2，－2，1)＋n(3，0，4)＝(1，－4，－2)，所以即2a－b＝d，故B正确；对于C，因为cos＜a，b＞＝＝＝，所以异面直线l1与l2所成的角的余弦值为，故C正确；对于D，向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞·＝3××(3，0，4)＝，故D错误.故选BC.
6.(多选)若{，，}构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是(　　)
A.存在x，y∈R，使得＝x＋y
B.{，，}也构成空间的一个基底
C.若＝＋＋，则直线AP与BD异面
D.若＝－＋，则P，B，C，D四点共面
答案：BCD
解析：根据题意知，向量，，不共面，故A错误；若向量，，共面，则有＝x＋y＝x(－)＋y(－)，即(－x－1)＋(x－y)＋y＝0.因为向量，，不共面，所以无解，故向量，，不共面，{，，}能够构成空间的一个基底，故B正确；若共面，则有＝m＋n.又＝＋＋，所以(m－1)－＋(n－1)＝0，与题意矛盾，故C正确；若＝－＋，则－＝－＋，则＝，所以P，B，C，D四点共面，故D正确.故选BCD.
7.(多题同解)(1)若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝　　　　.
(2)已知空间向量a＝(－3，2，m)，b＝(－1，－1，3)，c＝(1，－4，n)，若a，b，c共面，则m＋n＝　　　　.
答案：(1)7　(2)6
解析：(1)因为空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，所以∥，又＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋2)，所以＝＝，解得p＝3，q＝4，所以p＋q＝7.
(2)若a，b，c共面，则存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即(1，－4，n)＝x(－3，2，m)＋y(－1，－1，3)＝(－3x－y，2x－y，mx＋3y)，则 所以m＋n＝6.
【教师备选】　已知非零向量a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面.若a∥b，则x＋y＝　　　　.
答案：－5
解析：因为m，n，p不共面，所以{m，n，p}可构成空间的一个基底.因为a∥b，所以存在λ≠0，使得b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp，所以则x＋y＝－5.
8.如图所示，已知空间四边形O-ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos＜，＞的值为　　　　　　.
答案：0
解析：设＝a，＝b，＝c，由已知条件得＜a，b＞＝＜a，c＞＝，且｜b｜＝｜c｜，＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝｜a｜｜c｜－｜a｜｜b｜＝0，所以⊥，所以cos＜，＞＝0.
9.(10分)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH；
(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝＋＋＋).
证明：(1)如图，连接BG，
故＝＋＝＋＋)＝＋＋＝＋.
由共面向量定理的推论，知E，F，G，H四点共面.
(2)因为＝－＝－＝－)＝，所以∥，即EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，所以BD∥ 平面EFGH.
(3)如图，任取一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.
由(2)，知＝.
同理，可得＝.
所以＝，即EHFG，
所以四边形EFGH 是平行四边形，
所以EG，FH交于点M，且被点M 平分.
故＝＋)＝＋
＝×＋)＋×＋)
＝＋＋＋).
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.如图，在四面体A-BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，AD＝2，BC＝4，且向量与向量的夹角为120°，则线段MN的长度为(　　)
A. B.
C.或 D.3或3
答案：A
解析：如图，取AC的中点E，连接ME，EN.因为M，N分别为AB，CD的中点，所以ME∥BC，且ME＝BC＝2，EN∥AD，且EN＝AD＝1.因为向量的夹角为120°，所以向量的夹角为120°.又＝＋，所以｜｜2＝(＋)2＝｜｜2＋2＋｜｜2＝22＋2×2×1×＋12＝3，所以｜｜＝，即线段MN的长度为.故选A.
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝5，AD＝AB＝4，M，N，P分别是棱C1D1，BC，CC1上的点，且C1M＝MD1，C1P＝C1C，CN＝CB，Q是平面ABCD内一动点.若直线D1Q与平面MNP平行，则的最小值为(　　)
A. B.17
C. D.
答案：A
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D1(0，0，5)，N(1，4，0)，M(0，2，5)，P(0，4，2)，B1(4，4，5)，所以＝(1，2，－5)，＝(0，2，－3).设平面MPN的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝3，则z＝2，x＝4，故n＝(4，3，2).设Q(s，t，0)，则＝(s，t，－5)，＝(4－s，4－t，5).因为直线D1Q与平面MNP平行，所以·n＝(s，t，－5)·(4，3，2)＝4s＋3t－10＝0，所以4s＋3t＝10，所以s＝.又＝(4－s，4－t，5)·(－s，－t，5)＝s2－4s＋t2－4t＋25＝－10＋3t＋t2－4t＋25＝＋，故当t＝时，取得最小值，最小值为.故选A.
12.(15分)如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.
解：(1)证明：设BD与AC交于点O，由题知BD⊥AC.
连接A1O，如图所示.
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝A＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝A，所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O 平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABCD.
又BO，CO 平面ABCD，
所以A1O⊥BO，A1O⊥CO.
所以以O为原点，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，).
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以⊥，即BD⊥AA1.
(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)，
从而有P(0，1＋λ，λ)，则＝(－，1＋λ，λ).
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
设平面DA1C1的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则取n1＝(1，0，－1).
因为BP∥平面DA1C1，所以n1⊥，
即n1·＝－－λ＝0，解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1.
(每小题5分，共10分)
13.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　)
A.DB∥平面CB1D1
B.平面BDE∥平面CB1D1
C.AC1⊥平面CB1D1
D.平面CB1D1⊥平面A1BC1
答案：AC
解析：设正方体的棱长为2.对于A，如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2)，所以＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，＝(0，－2，2).设平面CB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝－1，z＝－1，所以平面CB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，－1).因为·n＝2×1＋2×(－1)＋0×(－1)＝0，所以⊥n.又DB 平面CB1D1，从而DB∥平面CB1D1，故A正确；对于B，由图可知，E(2，0，1)，所以＝(2，0，1).设平面BDE的法向量为m＝(x' ，y' ，z' )，则令x' ＝1，则y' ＝－1，z' ＝－2，所以m＝(1，－1，－2)是平面BDE的一个法向量，易知m与n不平行，所以平面BDE与平面CB1D1不平行，故B错误；对于C，由图可知，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，所以＝(－2，2，2)＝－2n，故∥n，所以AC1⊥平面CB1D1，故C正确；对于D，由图可知，A1(2，0，2)，所以＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0).设平面A1BC1的法向量为p＝(x″，y″，z″)，则令x″＝1，则y″＝1，z″＝1，所以p＝(1，1，1)是平面A1BC1的一个法向量.因为p·n＝1×1＋1×(－1)＋1×(－1)＝－1≠0，所以平面A1BC1与平面CB1D1不垂直，故D错误.故选AC.
14.(双空题)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E是侧面BB1C1C内的一个动点.若点E满足⊥，则｜｜的最大值为　　　　，最小值为　　　　.
答案：2　－1
解析：如图，建立空间直角坐标系，则C(0，2，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0).设E(x，2，z)，x∈[0，2]，z∈[0，2]，所以＝(x，2，z－2)，＝(x，0，z).因为⊥，所以＝x2＋z(z－2)＝0，即x2＋(z－1)2＝1，x∈[0，2]，z∈[0，2]，则动点E的轨迹为以(0，2，1)为圆心，1为半径的半圆，将其放到平面直角坐标系中如图所示，则B(2，0)，M(0，1)，N(0，2)，所以｜｜＝＝，所以｜｜min＝－1；显然当点E在点N处(即立体图形中的C1点)时，｜｜取得最大值，｜｜max＝＝2.因此，｜｜的最大值为2，最小值为－1.
学生用书 第203页
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