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第60讲　二项分布、超几何分布与正态分布
【课程标准】　1.通过具体实例，理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.　2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.　3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助于频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.　4.了解正态分布的均值、方差及其含义.
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验.
(2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
随机变量X服从超几何分布，则E(X)＝.
3.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值；
③当｜x｜无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
【常用结论】
1.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
2.[教材知识纵向延伸]超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，D(X)＝(1－)(1－).
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形
B.若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布
学生用书 第301页
C.从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布
D.当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”
答案：AB
2.(链接人教A选择性必修三P77T2)鸡接种一种疫苗后，有90％不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　)
A.0.33 B.0.66
C.0.5 D.0.45
答案：A
解析：设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.9)，所以P＝×0.94×0.1≈0.33.故选A.
3.(链接人教A选择性必修三P87练习T2)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝　　　　.
答案：
解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝.
4.(链接人教A选择性必修三P78例5)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝　　　　.
答案：
解析：根据题意，得P＝＝.
考点一　超几何分布 师生共研
(一题多变)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与均值.
解：(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M，则P(M)＝＝.
(2)根据题意，知X的可能取值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
法一：所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
法二：由E(X)＝，得E(X)＝＝2.
[变式探究](数智赋能辅助)
(变设问)若用Y表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求Y的分布列.
解：由题意可知Y的可能取值为1，2，3，4，5，则
P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝3)＝＝，P(Y＝4)＝＝，
P(Y＝5)＝＝.
所以Y的分布列为
Y 1 2 3 4 5
P
求超几何分布的分布列、均值的步骤
注意：(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
学生用书 第302页
对点练1.(2025·山东威海一模)现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本.
(1)把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率；
(2)从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为X，求X的分布列及期望.
解：(1)记事件A：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻，
则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为2，3，4，
则P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以X的期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
考点二　二项分布(高考超重点) 多维探究
角度1　n重伯努利试验
现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.
解：(1)根据题意，可得参加甲游戏的概率为P1＝＝，参加乙游戏的概率为P2＝＝.
设事件Ai为“有i个人参加甲游戏”，i＝0，1，2，3，4，则P(Ai)＝)i()4－i.
所以P(A2)＝×()2×()2＝.
(2)设事件B为“甲游戏人数大于乙游戏人数”，则B＝A3∪A4，
所以P(B)＝P(A3∪A4)＝P(A3)＋P(A4)＝××＋×＝.
角度2　二项分布
(2025·浙江台州二模)某市为了推广垃圾分类，在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果，市环保部门随机抽取了1 000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万，且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果如下：
了解情况 非常了解 一般了解 不了解
人数(名) 580 320 100
(1)从该市成年人口中随机抽取1人，求其对垃圾分类知识“不了解”的概率；
(2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，有20％转变为“非常了解”，其余保持不变.经过重点宣传后，从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，求X的分布列及数学期望.
解：(1)已知随机抽取了1 000名市民进行调查，其中“不了解”的人数为100名，
根据古典概型概率公式可得P＝＝＝0.1，
所以从该市成年人口中随机抽取1人，对垃圾分类知识“不了解”的概率P＝0.1.
(2)原来“不了解”的市民占比为0.1，“非常了解”的市民占比为＝0.58，“一般了解”的市民占比为＝0.32，
经过重点宣传后，“不了解”的市民中有50％转变为“一般了解”，有20％转变为“非常了解”，其余保持不变，
所以重点宣传后“非常了解”的概率为0.58＋0.1×20％＝0.58＋0.02＝0.6.
从该市成年人口中随机抽取3人，记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数，
因为每次抽取是相互独立的，且抽取到“非常了解”的概率都为0.6，所以X～B(3，0.6).
根据二项分布的概率公式P(X＝k)＝0.6k(1－0.6)3－k，k＝0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝0.60(1－0.6)3－0＝1×1×0.43＝0.064，
P(X＝1)＝0.61(1－0.6)3－1＝3×0.6×0.42＝0.288，
P(X＝2)＝0.62(1－0.6)3－2＝3×0.36×0.4＝0.432，
P(X＝3)＝0.63＝0.63＝0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
因为X～B(3，0.6)，根据二项分布的数学期望公式可得E(X)＝3×0.6＝1.8.
二项分布的期望与方差的求解策略
1.如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
2.有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX＋b)，同样还可求出D(aX＋b).
学生用书 第303页
对点练2.(多选)若随机变量X～B，则(　　)
A.P(X＝2)＝××
B.E(X)＝
C.E(3X＋2)＝22
D.D(3X＋2)＝20
答案：BCD
解析：P(X＝2)＝×()2×，E(X)＝10×＝，D(X)＝10××＝，所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝22，D(3X＋2)＝32D(X)＝20，故A错误，B、C、D正确.故选BCD.
对点练3.(2025·山东济南一模)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.
解：(1)设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”.
根据题意，P(B)＝，P()＝，P(A｜B)＝，
P(A｜)＝，
因此P(A)＝P(B)P(A｜B)＋P()P(A｜)＝×＋×＝，
所以智能客服的回答被采纳的概率为.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝3×＝；D(X)＝3××＝.
【教师备选】　甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进1次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立.乙第1次投篮，投进的概率为，从第2次投篮开始，若前1次投进，则该次投进的概率为；若前1次未投进，则该次投进的概率为.
(1)求甲投篮3次得2分的概率；
(2)若乙投篮3次得分为X，求X的分布列和数学期望；
(3)比较甲、乙两人本次比赛的投篮水平.
解：(1)甲投篮3次得2分，即只投进1次，概率为P＝××(1－)2＝.
(2)根据题意，知X的所有可能取值为0，2，4，6.
P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝4)＝××＋××＋××＝，P(X＝6)＝××＝.
随机变量X的分布列为
X 0 2 4 6
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋2×＋4×＋6×＝3.
(3)设甲投篮3次的得分为Y，则Y＝0，2，4，6，且～B，
所以Y的数学期望E(Y)＝2×3×＝3，D(Y)＝22×3××＝3.
由(2)，得D(X)＝02×＋22×＋42×＋62×－32＝.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，P(X＝6)＞P(Y＝6)＝，
所以从最终得分的均值方面分析，甲、乙两人的投篮水平相当；从最终得分的方差方面分析，甲的投篮水平更稳定；从概率方面分析，乙得6分的可能性更大.(答案不唯一，言之有理即可)
考点三　正态分布 多维探究
角度1　正态密度函数及正态曲线
(1)设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　)
A.10与8 B.10与2
C.8与10 D.2与10
(2)(多选)某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　)
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙总体的平均数相同
答案：(1)B　(2)AD
解析：(1)由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.故选B.
(2)不妨设成绩ξ服从正态分布N(μ，σ2)，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，且σ是标准差，x＝μ为正态曲线的对称轴，且μ为平均数.由题图可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大，甲、乙、丙总体的平均数相同，故A，D正确.故选AD.
角度2　正态分布的概率
(1)已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)＝(　　)
A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
(2)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z＜μ＋σ)≈0.841 3(　　)
A.P(X＞2)＞0.2 B.P(X＞2)＜0.5
C.P(Y＞2)＞0.5 D.P(Y＞2)＜0.8
【溯源教材32】
溯源 (人教A选择性必修三P87习题T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： (1){165＜X≤175}；(2){X≤165}；(3){X＞175}.
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透视 这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查与正态分布有关的概率的求解问题，两题的相似度较高，2022年新高考Ⅱ卷进行了类似的考查：(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝　　　　. 答案：0.14 解析：根据题意，得P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5.所以P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
预测 若随机变量X～N(1，σ2)，且P(X＜0.9)＝0.3，则P(｜X－1｜＜0.1)＝(　　) A.0.3　　 B.0.4 C.0.5　　 D.0.6 答案：B 解析：由｜X－1｜＜0.1可得－0.1＜X－1＜0.1，即0.9＜X＜1.1.因为随机变量X～N(1，σ2)，且P(X＜0.9)＝0.3， 故P(｜X－1｜＜0.1)＝P(0.9＜X＜1.1)＝1－2P(X＜0.9)＝1－2×0.3＝0.4.故选B.
答案：(1)B　(2)BC
解析：(1)随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以曲线关于直线x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5.由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3.故选B.
(2)根据题意，知X～N(1.8，0.12)，所以P(X＞2)＜P(X＞1.8)＝0.5，P(X＜1.9)≈0.841 3，所以P(X＞2)＜P(X≥1.9)＝1－P(X＜1.9)≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2，故A错误，B正确；因为Y～N(2.1，0.12)，所以P(Y＜2.2)≈0.841 3，P(Y＞2)＞P(Y＞2.1)＝0.5，所以P(2＜Y＜2.1)＝P(2.1＜Y＜2.2)＝P(Y＜2.2)－P(Y≤2.1)≈0.841 3－0.5＝0.341 3，所以P(Y＞2)＝P(2＜Y＜2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.341 3＋0.5＝0.841 3＞0.8(另解：P(Y＞2)＝P(Y＜2.2)≈0.841 3＞0.8)，故C正确，D错误.故选BC.
角度3　正态分布的实际应用
某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58.
(1)计算样本平均数和样本方差s2；
(2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？
参考数据：P(｜X－μ｜＜1.3σ)≈0.8，P(｜X－μ｜＜1.6σ)≈0.9.
解：(1)根据题意，得＝×(82＋70＋58＋79＋61＋82＋79＋61＋58)＝70，
s2＝×[(82－70)2＋(70－70)2＋(58－70)2＋(79－70)2＋(61－70)2＋(82－70)2＋(79－70)2＋(61－70)2＋(58－70)2]＝100，所以样本平均数＝70，样本方差s2＝100.
(2)因为得分X服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝＝70，σ2＝s2＝100，则σ＝10，所以X～N(70，102).
又P(｜X－μ｜＜1.3σ)≈0.8，｜X－μ｜＜1.3σ，即｜X－70｜＜13，即57＜X＜83，所以P(57＜X＜83)≈0.8.
因为＝0.1，所以获奖率为0.1.
因为P(57＜X＜83)≈0.8，
则1－P(57＜X＜83)≈0.2，
所以P(X≤57)＝P(X≥83)＝0.1，
即评奖的分数线约为83分.
解决正态分布问题有三个关键点
1.对称轴x＝μ.
2.标准差σ.
3.分布区间：利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率，注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0.
对点练4.(2026·江苏海安、宿迁测试)随机变量X～N(μ，σ2)，σ＞0.若P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝p，则P(X＜μ＋σ)＝(　　)
A. B.p－
C. D.p＋
答案：C
解析：由P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝p，得P(μ＜X＜μ＋σ)＝，所以P(X＜μ＋σ)＝＋＝.故选C.
对点练5.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷改编)若某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中正确的是(　　)
A.σ越大，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.1)内的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(9.8，10.1)内的概率相等
答案：BCD
解析：σ2为数据的方差，所以σ越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越小，故A错误；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，故B正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等，故C正确；由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(9.8，10.1)内的概率相等，故D正确.故选BCD.
对点练6.(2025·广东湛江二模)某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(50，4)，现有该新品种草莓10 000个，估计其中单果质量超过52 g的草莓有(　　)
附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 5.
A.228个 B.456个
C.1 587个 D.3 174个
答案：C
解析：由N(50，4)可知μ＝50，σ＝2，则P(X＞52)＝[1－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝0.158 65，故其中单果质量超过52 g的草莓约有10 000×0.158 65≈1 587个.故选C.
课时分层测评86　二项分布、超几何分布与正态分布
(时间：60分钟　满分：90分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.甲、乙两选手进行羽毛球单打比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用三局两胜制，则甲以2∶1获胜的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：甲以2∶1获胜指前两局甲胜一局，第三局甲胜，则概率为××＝.故选A.
2.(2026·安徽阜阳模拟)设两个正态分布N(μ1，)(σ1＞0)和N(μ2，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示.则有(　　)
A.μ1＜μ2，σ1＜σ2
B.μ1＜μ2，σ1＞σ2
C.μ1＞μ2，σ1＜σ2
D.μ1＞μ2，σ1＞σ2
答案：A
解析：根据正态分布N(μ，σ2)曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭.故选A.
3.已知随机变量X～B(n，p).若E(X)＝1，D(X)＝，则P(X＝3)＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由E(X)＝1，D(X)＝，得所以P(X＝3)＝＝.故选D.
4.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为X，则均值E(X)为(　　)
A. B.
C.1 D.
答案：D
解析：X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.故选D.
5.(多选)(2026·沈阳质量监测)下列说法正确的是(　　)
A.连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量X表示停止时抛掷的次数，则P(X＝3)＝
B.从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数，则E＝
C.若随机变量X～B(9，)，则D＝2
D.若随机变量η～N，则当μ减小，σ增大时，P(＜σ)保持不变
答案：BCD
解析：对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则P(X＝3)＝()2×＝，故A错误；对于B，显然随机变量Y服从超几何分布，则E(Y)＝＝，故B正确；对于C，由随机变量X～B(9，)，得D(X)＝9××＝2，故C正确；对于D，由正态分布的意义知，P(｜η－μ｜＜σ)＝P(μ－σ＜η＜μ＋σ)为定值，故D正确.故选BCD.
6.(多选)在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N，且E＝80，D＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，高于120分者为优秀，令P(｜X－μ｜≤σ)＝m，P(｜X－μ｜≤2σ)＝n，则(　　)
A.μ＝80，σ＝400
B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C.从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为
答案：BCD
解析：对于A，由E＝80，D＝400，则μ＝80，σ2＝400，故A错误；对于B，由μ＝80，σ2＝400，则X～N，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P＝，则P(60≤X≤120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；对于C，P＝，则从该市高一全体学生中(数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××＝，故C正确；对于D，P＝＋，又P(X＞120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确.故选BCD.
7.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格.则合格的概率为　　　　.
答案：
解析：设此人答对题目的个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝，则合格的概率为P＋P(X＝3)＝.
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17，18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5位乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率都为，用X表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝　　　　.
答案：
解析：每位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B，即有P＝×，k＝0，1，2，3，4，5.故P＝×＝.
9.(10分)(2025·山东济宁一模)为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛(满分100分)，成绩如下：
数据Ⅰ(高三，1班)：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；
数据Ⅱ(高三，2班)：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95.
(1)求数据Ⅰ(高三，1班)的第80百分位数；
(2)从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
解：(1)将数据Ⅰ从小到大排列为：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，
因为10×80％＝8，所以数据Ⅰ的第80百分位数为＝89.
(2)数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分；
数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分.
即符合题意的共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.
可知X的所有可能取值为1，2，3，
则P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(2025·山东临沂二模)已知随机变量ξ～N，为使ξ在内的概率不小于0.954 5，则a的最小值为(　　)
(若X～N(μ，σ2)，则P(｜X－μ｜＜2σ)＝0.95 45)
A.8 B.16
C.32 D.64
答案：C
解析：若随机变量ξ～N，则μ＝0，σ2＝＞0，P(｜ξ－μ｜＜2σ)＝P(－2＜ξ＜2)＝0.954 5，为使ξ在(－，)内的概率不小于0.954 5，则2≤，解得a≥32，即a的最小值为32.故选C.
11.某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月(30天)下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有(　　)
A.1张 B.2张
C.3张 D.4张
答案：B
解析：设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则X～B(30，p).若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率p＝＝，E(X)＝30×＝6；若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率p＝＝，E(X)＝30×＝；若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率p＝＝，E(X)＝30×＝16；若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率p＝＝，E(X)＝30×＝20.根据题意盒子中的有奖券有2张时，更有可能30天中奖11天.故选B.
12.(15分)(2026·广东深圳期末)DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织全体员工参加DeepSeek培训.培训结束之后，公司举行了一次DeepSeek专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.
(1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
(2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
解：(1)记X为甲在预赛答对的题数，则X的取值为1，2，3，4.
所以P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
记甲进入决赛为事件A，
则甲进入决赛的概率为P(A)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
(2)根据题意，知ξ的取值为0，50，150，300，
所以P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝50)＝××＝，
P(ξ＝150)＝××＝，P(ξ＝300)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 50 150 300
P
所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋50×＋150×＋300×＝(元).
13.(15分)某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加.
(1)求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女学生的人数为X，求X的分布列及期望E(X)；
(3)若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为Y，求Y的期望E(Y).
解：(1)设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件B，
因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B｜A)＝＝＝.
(2)根据题意知X服从超几何分布，且P(X＝k)＝(k＝0，1，2).
因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)设一名女学生参加活动可获得的分数为X1，一名男学生参加活动可获得的分数为X2，则X1的所有可能的取值为3，6，X2的所有可能的取值为6，9，则
P(X1＝3)＝P(X1＝6)＝，E(X1)＝3×＋6×＝，
P(X2＝6)＝P(X2＝9)＝，E(X2)＝6×＋9×＝.
因为有X名女学生参加活动，所以有2－X名男学生参加活动，
Y＝X＋(2－X)＝15－3X，
所以E(Y)＝E(15－3X)＝15－3E(X)＝15－3×＝13，
所以两个学生的得分之和的期望为13分.
学生用书 第305页
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