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圆与椭圆的参数方程
　　圆与椭圆的参数方程也是圆与椭圆的其他形式之一，主要突出工具性作用，应用时把圆或椭圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题，其中2025年全国一卷第18(2)(ⅱ)就考查了椭圆的参数方程，详见培优进阶19.
【教材母题】
(人教A选择性必修一P89T10)在平面直角坐标系中，如果点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数，r＞0.证明：点P的轨迹是圆心为(a，b)，半径为r的圆.
【知能拓展】
1.圆的参数方程
(1)圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的参数方程为(θ为参数).
(2)利用参数方程表示圆上的点.由圆的参数方程，我们可以把圆心为(x0，y0)，半径为r的圆上的点设为(x0＋rcos θ，y0＋rsin θ)(θ∈[0，2π)，简称设“点参”.
特别地，若原点为圆心，常用(rcos θ，rsin θ)来表示半径为r的圆上的任一点.
2.椭圆的参数方程
中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的方程，可以采用三角换元，表示成如下两种情况：
焦点在x轴上的椭圆：＝1(a＞b＞0)，(θ为参数).
焦点在y轴上的椭圆：＝1(a＞b＞0)，(θ为参数).
以上方程为椭圆的参数方程，且方程中的参数θ∈[0，2π).
【典例应用】
题型一　圆的参数方程
(一题多解)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值为(　　)
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.72
答案：C
解析：将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.
法一(参数方程法)：设圆的参数方程为则x－y＝2＋3cos θ－1－3sin θ＝1＋3cos(θ＋)，故x－y的最大值为1＋3.故选C.
法二(几何意义法)：设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3.故选C.
对点练1.若实数x，y满足条件x2＋y2＝1，则2x＋y的取值范围是(　　)
A.[0，] B.[－，0]
C.[－，] D.[－，]
答案：D
解析：令x＝cos α，y＝sin α，则2x＋y＝2cos α＋sin α＝sin(α＋φ)∈[－，].故选D.
对点练2.已知实数a，b满足a2＋b2＋1＝2a＋2b，则(3a＋4b－1)2的最大值为　　　.
答案：121
解析：因为a2＋b2＋1＝2a＋2b，所以(a－1)2＋(b－1)2＝1.令a－1＝cos θ，b－1＝sin θ得3a＋4b－1＝3cos θ＋4sin θ＋6＝5sin(θ＋φ)＋6，其中tan φ＝.因为sin(θ＋φ)∈[－1，1]，所以3a＋4b－1∈[1，11]，所以(3a＋4b－1)2的最大值是121.
题型二　椭圆的参数方程
(一题多解)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为(　　)
A. B.
C. D.2
答案：A
解析：法一(参数方程法)：因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ).易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－4(sin θ＋)2＋.易知当sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.故选A.
法二(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得｜PB｜2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－4(y＋)2＋.当y＋＝0，即y＝－(满足｜y｜≤1)时，｜PB｜2取得最大值，所以｜PB｜max＝.故选A.
对点练3.若P(x，y)为曲线C：＋y2＝1上的动点，求点P到直线l：4x－3y＋12＝0的距离d的最大值和最小值.
解：因为＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，
设P(2cos θ，sin θ)，由直线l为4x－3y＋12＝0，
则d＝
＝，
所以最大值为，最小值为.
学生用书 第233页
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