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第25讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用
【课程标准】　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.　2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ 0 π 2π
x － －＋ －
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
[微提醒]　“五点法”作图中的五个关键点：(1)y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点.(2)y＝Acos(ωx＋φ)，两个零点，三个最值点.
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
[微提醒]　无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角ωx＋φ”的变化.
【常用结论】
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标.
学生用书 第116页
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A
B.函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin
C.把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sinx
D.如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为
答案：ABC
2.(链接人教A必修一P254T10)函数y＝2sin(2x＋)的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，， B.1，，
C.2，， D.1，，－
答案：A
解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin(2x＋)的振幅为2，频率为，初相为.故选A.
3.(链接人教A必修一P240T1)为了得到函数y＝3sin(2x－)的图象，只需把函数y＝3sin(x－)的图象上所有的点(　　)
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
答案：B
解析：将函数y＝3sin(x－)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得函数y＝3sin(2x－)的图象.故选B.
4.(链接人教A必修一P241T4)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则ω＝　　　　.
答案：4
解析：由题图可知＝π－＝，所以周期T＝，所以＝，即ω＝4.
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 师生共研
已知函数f(x)＝2sin.
(1)作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象：
(2)将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；
再将y＝sin(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)的图象；再将y＝sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin的图象.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种作法 五点法设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点连线后得出图象图象变 换法由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
对点练1.(2025·浙江绍兴二模)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位后得到函数y＝cos 2x的图象，则φ可以是(　　)
A. B.
C. D.π
答案：A
解析：因为y＝cos 2x＝sin，将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位后得到函数y＝sin 2＝sin，所以sin＝sin，则＋2kπ＝2φ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，k＝1时，φ＝.故选A.
对点练2.把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin(x－)的图象，则f(x)＝(　　)
学生用书 第117页
A.sin(－) B.sin(＋)
C.sin(2x－) D.sin(2x＋)
答案：B
解析：依题意，将y＝sin(x－) 的图象向左平移 个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到f(x)的图象，所以y＝sin(x－)y＝sin(x＋)的图象
f(x)＝sin(＋)的图象.故选B.
考点二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 师生共研
(双空题)(1)已知函数f＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)＝　　　　　　 ，f＝　　　　.
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，且f(x)的图象关于点(，2)中心对称，则f(x)＝　　　　　　　，f＝　　　　.
(3)(2023·新课标Ⅱ卷改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若｜AB｜＝，则f(x)＝　　　　　　　，f(π)＝　　　　.
答案：(1)2sin　 －　(2) 2sin(2x＋)＋2 　4　(3)sin(4x－)　－
解析：(1)由图易知A＝2，函数的最小正周期T满足＝－＝，得到T＝π.又ω＞0，所以＝π，解得ω＝2.又函数图象经过点，则有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以f＝2sin，则f＝2sin(2 027π－)＝－.
(2)由题图可知，A＝B＝2.又因为f，所以f＝2sin φ＋2＝3，解得sin φ＝.又因为0＜φ＜π，且f上单调递减，所以φ＝，所以f＝2sin＋2.根据五点作图法可知，×ω＋＝π，解得ω＝2，所以f＝2sin＋2，f＝f＝2sin(2×＋)＋2＝2sin ＋2＝4.
(3)设A(x1，)，B(x2，)，由｜AB｜＝可得x2－x1＝.由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4.因为f()＝sin(＋φ)＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)＝sin(4x－＋kπ)＝sin(4x－＋kπ)，所以f(x)＝sin(4x－)或f(x)＝－sin(4x－).又因为f(0)＜0，所以f(x)＝sin(4x－)，所以f(π)＝sin(4π－ )＝ － .
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
1.求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
2.求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
3.求φ常用的方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.像“最大值点”(即图象的“峰点”)：ωx＋φ＝＋2kπ；“最小值点”(即图象的“谷点”)：ωx＋φ＝＋2kπ.
对点练3.如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，≤φ≤π)的部分图象，其中｜AB｜＝5，则此函数的解析式为　　　　　　　　.
答案：y＝2sin
解析：由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，设A(x1，2)，B(x2，－2)，其中x1＜x2，因为｜AB｜＝5，可得 ＝5，解得x2－x1＝3，即T＝3，所以T＝6，可得ω＝＝，所以f(x)＝2sin(x＋φ).又由f(0)＝2sin φ＝1，可得sin φ＝.因为≤φ≤π，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
【教师备选】　已知函数f＝Msin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A，B，若将f的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则M＝(　　)
A.2 B.3
C.4 D.2
答案：D
解析：设f的最小正周期为T，依题意得＝－0＝，则T＝，所以ω＝＝3.因为将f个单位长度后关于y轴对称，则f＝Msin，可得－＋φ＝＋kπ，则φ＝＋kπ，所以f(x)＝Msin(3x＋＋kπ)(k∈Z)，即f(x)＝Msin(3x＋)或f(x)＝－Msin(3x＋)，又f(0)＜0，故f(x)＝－Msin，将A代入可得M＝2.故选D.
考点三　三角函数图象与性质的综合应用多维探究
角度1　图象与性质的综合问题
(多选)函数f＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，＜)的部分图象如图所示，f的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f图象上，点M，N关于点C对称，下列说法正确的是(　　)
A.函数f的最小正周期是π
B.函数f的图象关于点对称
C.函数f在单调递增
D.函数f的图象向右平移个单位长度后，得到函数g的图象，则g为奇函数
答案：ABD
解析：对于A，由点M，N关于点C对称，则T＝－＋0－＝π，故A正确；对于B，＝＝2.又ω＞0，则ω＝2，2·＋φ＝2kπ，则φ＝2kπ＋.又＜，则φ＝，故f＝Asin，当x＝时，2x＋＝＋＝2π，故函数f对称，故B正确；对于C，当x∈时，2x＋∈，又y＝sin x在上不单调，故f上不单调递增，故C错误；对于D，g＝Asin＝Asin 2x，定义域为R，且g＝Asin＝－Asin 2x＝－g，故g为奇函数，故D正确.故选ABD.
角度2　三角函数的零点(方程根、交点)问题(高考超重点)
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin(3x－)的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
【溯源教材13】
溯源 (人教A必修一P237例1)画出函数y＝2sin 的简图.
透视 高考题与教材例题非常类似，教材中通过函数y＝sin x的图象的变换得到函数y＝2sin(3x－)的图象，在同一坐标系中由两个函数的图象便可得到交点的个数，高考题是教材例题的改编，也是教材例题的升华
学生用书 第118页
预测 函数f(x)＝sin x＋cos 2x在区间(0，3π)上的零点个数为(　　) A.3　　　　　　B.4　　　 C.5　　　　　　D.6 答案：B 解析：函数f(x)＝sin x＋1－2sin2x，由f(x)＝0，得sin x＝1或sin x＝－，当x∈(0，3π)时，x∈，因此函数f(x)在(0，3π)上的零点个数为4.故选B.
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在(，π)上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是　　　　.
答案：(1)C　(2)(－2，－1)
解析：(1)因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin(3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示.
由图可知，这两个图象共有6个交点.故选C.
(2)方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋)，x∈(，π).设2x＋＝t，则t∈(，)，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈(，)有两个不同的实数根.即为y＝和y＝sin t，t∈(，)的图象有两个不同交点，如图所示，观察图象知，的取值范围是(－1，－)，故实数m的取值范围是(－2，－1).
角度3　三角函数的实际应用
已知摩天轮的半径为60 m，其中心距离地面70 m，摩天轮做匀速转动，每30 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.则在时刻t(min)时，点P离地面的高度h为(　　)
A.60sin πt＋70
B.60sin(πt－π)＋70
C.60sin(πt＋π)＋70
D.60cos(πt－π)＋70
答案：B
解析：点P的初始位置在最低点，设点P从最低点沿逆时针方向匀速转动，OP在t min内所转过的角度为·t＝t，则以Ox为始边，OP为终边的角为πt－π，因此点P的纵坐标y＝60sin(πt－π)，所以点P离地面的高度h＝70＋y＝60sin(πt－π)＋70.故选B.
1.解决三角函数图象与性质的综合问题的关键
首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性).
2.巧用图象解决三角函数中的零点(方程根)问题
解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后再将方程根的问题转化为图象的交点问题，利用数形结合思想解决.
3.三角函数模型的实际应用类型及解题关键
(1)已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
(2)函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
对点练4.(多选)(2025·山东威海模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
B.f(x)在上的值域为[－2，2]
C.f(x)在上单调递增
D.y＝f的图象关于原点对称
答案：AD
解析：由图象可知A＝2，＝，得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ).再由五点作图法可得2×＋φ＝，得φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋).对于A，当x＝时，f(x)＝2sin(2×＋)＝2，故y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；对于B，当x∈时，2x＋∈，则2sin(2x＋)∈，故B错误；对于C，当x∈时，2x＋∈，正弦函数在不单调，故C错误；对于D，y＝f＝2sin(2x＋＋)＝－2sin 2x，易知是奇函数，故D正确.故选AD.
对点练5.时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20 ℃，气温上升到约30 ℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温y随时间x(时)的变化趋势近似满足函数y＝10sin＋25，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为(　　)
A.7.3时～11.3时 B.8.7时～11.3时
C.7.3时～12.7时 D.8.7时～12.7时
答案：B
解析：当x∈时，x－∈，由y＝10sin＋25＝20，得sin＝－，所以x－＝－，x＝≈8.7(时).由y＝10sin＋25＝30，得sin＝，所以x－＝，x＝≈11.3(时).故在6时～16时中，赏花的最佳时段约为8.7时～11.3时.故选B.
对点练6.已知函数f(x)＝sin，若函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)在x∈上恰有三个零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则x3－x1的值为　　　　.
答案：π
解析：因为当x∈时，2x＋∈，且函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)在x∈上恰有三个零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，所以(2x1＋＋2x2＋)＝，(2x2＋＋2x3＋)＝，两式相减得x3－x1＝π.
课时分层测评37　函数y＝Asin(ωx＋φ)及三角函数的应用
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
答案：A
解析：令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D项；由f＝0，f＝0，排除C项.故选A.
2.(2025·山东济宁一模)将函数y＝2cos的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2cos B.y＝2cos
C.y＝2cos D.y＝－2cos
答案：D
解析：函数周期T＝＝π，所以函数y＝2cos(2x－)的图象向右平移个周期可得y＝2cos［2(x－)－］＝2cos(2x－π)＝－2cos［π－(2x－π)］＝－2cos＝－2cos.故选D.
【教师备选】　要得到函数y＝cos 2x的图象，只需将函数y＝sin(2x＋)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案：C
解析：y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin［2(x＋)］，y＝sin(2x＋)＝sin［2(x＋)］，所以y＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象.故选C.
3.已知函数f＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f的图象向左平移个单位长度得到函数g的图象，则g＝(　　)
A. B.
C.1 D.0
答案：B
解析：由图知T＝－＝ T＝π，则＝π ω＝2.由f＝sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z.又＜，则φ＝，故f＝sin，由题意g(x)＝f＝sin，故g＝sin(2×＋)＝sin＝.故选B.
4.如图，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(　　)
A. B.
C.π D.2π
答案：A
解析：在y＝tan中，令x＝0，可得y＝1，所以D(0，1)；令y＝0，解得x＝－(k∈Z)，故E，F.所以△DEF的面积为××1＝.故选A.
5.(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，｜φ｜＜)的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为4π，则下列选项中正确的有(　　)
A.f(x)＝2sin(x＋)
B.f(x)＝2sin(2x＋)
C.直线x＝是曲线y＝f(x)的一条对称轴
D.函数f(x－)是奇函数
答案：BC
解析：设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T，由题图可知A＝2，4T＝4π，则T＝π，由T＝＝π，得ω＝2.由题图得f(0)＝1，所以2sin φ＝1，即sin φ＝，又－＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)，故A错误，B正确；因为f()＝2sin(＋)＝2sin＝2，为f(x)的最大值，所以直线x＝是曲线y＝f(x)的一条对称轴，C正确；f(x－)＝2sin［2(x－)＋］＝2sin(2x－)，该函数图象不关于原点对称，D错误.故选BC.
6.(多选)已知函数f＝2sin，函数y＝g(x)的图象由y＝f(x)的图象向左平移个单位得到，则(　　)
A.f(x)与g(x)在上有相同的单调性
B.g(x)的图象关于直线x＝＋对称
C.设h＝，则h(x)的一个对称中心为
D.当x∈[0，2π]时，y＝f与g的图象有6个交点
答案：ACD
解析：y＝f(x)的图象向左平移个单位可以得到g＝2sin＝2sin(2x＋＋)＝2cos，对于A，当x∈时，2x＋∈［，π］，f(x)与g(x)在上均是单调递减的，故A正确；对于B，由g＝2cos可知，令2x＋＝kπ，解得x＝－＋，因此可得g(x)的图象关于直线x＝－＋对称，故B错误；对于C，易知h＝＝＝tan，令2x＋＝π，解得x＝－＋，则h(x)的对称中心为，当k＝1时，对称中心为(，0)，故C正确；对于D，当x∈[0，2π]时，g(－)＝2cos 3x.又f()＝－，画出函数g的图象如图所示.结合图象可知，y＝f与g(－)的图象有6个交点，故D正确.故选ACD.
7.若函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f＝　　　　.
答案：
解析：由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.所以f＝tan＝.
8.(2025·北京海淀区二模改编)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω＝　　　　.
答案：
解析：连接BC交x轴于E，
由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，故E为圆心，故＝，＝T＝·＝，＝＝，故＝，解得ω＝.
9.(10分)把函数f(x)＝2sin x的图象向左平移φ个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，记函数h(x)＝f(x)g(x).
(1)求函数y＝h(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)画出函数y＝h(x)在区间上的大致图象.
解：(1)由题意知g(x)＝2sin(x＋φ)，
根据函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z).
又0＜φ＜，所以φ＝，则g(x)＝2sin，
则h(x)＝f(x)g(x)＝4sin xsin
＝4sin x(sin x＋cos x)
＝2sin2x＋2sin xcos x
＝1－cos 2x＋sin 2x＝2sin＋1，
则函数y＝h(x)的最小正周期T＝＝π.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数y＝h(x)的单调递增区间是［－＋kπ，＋kπ］(k∈Z).
(2)列表如下：
x － － －
2x－ － －π － 0
sin 0 －1 0 1
h(x) 2 1 －1 1 3 2
故y＝h(x)在区间上的大致图象如图所示.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(2025·浙江稽阳联谊学校二模)已知函数f＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，＜)的部分图象如图所示，y＝f的图象与y轴交于点C，D，B，且·＝0，则f＝(　　)
A. B. 4
C. 2 D. 4
答案：A
解析：由已知图象可知＝5－2＝3，则T＝12，所以ω＝＝，所以f＝Asin.由f＝Asin＝0，得＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为＜，所以φ＝，则f＝Asin.又f＝Asin ＝，则C.又＝，＝，·＝－10＋＝0，解得A＝2(负根舍去)，所以f＝2sin，所以f＝.故选A.
11.(多选)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.ω＝2，φ＝
B.不等式f＞1的解集为(k∈Z)
C.为f的一个零点
D.若A，B，C为△ABC内角，且f＝f，则A＝B或C＝
答案：BCD
解析：对于A，由图象可知f(0)＝－1，代入得2sin φ＝－1，即sin φ＝－.又｜φ｜＜，所以φ＝－.又f()＝2，代入得2sin(ω－)＝2，即sin(ω－)＝1，ω－＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋6k(k∈Z)，由图象可知×2＜T＜×4，解得＜ω＜3，所以ω＝2，故A错误；对于B，由f(x)＝2sin(2x－)＞1，得sin(2x－)＞，由正弦曲线得＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，所以x∈(＋kπ，＋kπ)(k∈Z)，故B正确；对于C，因为f()＝2sin(2×－)＝2sin π＝0，所以是f(x)的一个零点，故C正确；对于D，因为A，B，C是三角形的内角，且2sin(2A－)＝2sin(2B－)，所以2A－＝2B－，或(2A－)＋(2B－)＝π，即A＝B，或A＋B＝，因此A＝B，或C＝π－(A＋B)＝，故D正确.故选BCD.
12.(15分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为2×＝，解得ω＝4，所以f(x)＝Asin(4x＋φ).
又函数f(x)在x＝处取到最小值－2，所以A＝2，且f＝－2，即＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0可得φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)将函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin，
再向左平移个单位长度可得g(x)＝2sin［2(x＋)＋］＝2cos 2x.
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(3)函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象如图所示，
因为方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，
所以由图可知－2＜m＋2≤或m＋2＝2，
解得－4＜m≤－2或m＝0.
所以实数m的取值范围是(－4，－2]∪{0}.
(每小题5分，共10分)
13.(2025·广东广州一模)已知ω＞0，曲线y＝cos ωx与y＝cos(ωx－)相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω＝(　　)
A.π B.π\
C.π D.π
答案：A
解析：由cos ωx＝cos(ωx－)得cos ωx＝cos ωx＋sin ωx，即cos ωx＝sin ωx，即tan ωx＝，则ωx＝＋kπ，即x＝＋，k∈Z，即相邻两个交点的横坐标之差为＝，则由题意知，直角三角形为等腰直角三角形，则斜边为，斜边上的高为2｜cos ωx｜＝，则＝，得ω＝π.故选A.
14.(2025·山东泰安一模)已知函数f＝2sin(ωx＋)cos ωx－的最小正周期为π，f在上的图象与直线y＝a交于点A，B，与直线y＝a交于点C，D，且＝2，则a＝　　　　.
答案：
解析：因为f＝2sin(ωx＋)cos ωx－＝2(sin ωx·＋cos ωx·)cos ωx－＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.又函数最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π ω＝1.所以f＝sin.当x∈时，2x＋∈，所以sin(2x＋)∈.作函数f＝sin，x∈(－，)的草图如图.函数f图象关于直线x＝对称.设＝2t，则B，D，0＜t＜，所以sin＝sin［2(＋2t)＋］ cos 2t＝cos 4t cos 2t＝ 2cos22t－cos 2t－＝0，解得cos 2t＝或cos 2t＝－(舍去).所以a＝sin＝cos 4t＝2cos22t－1＝2×－1＝.
学生用书 第119页
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