资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第48讲　双曲线
【课程标准】　1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.　3.通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜｜F1F2｜时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝｜F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞｜F1F2｜时，P点不存在.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 ｜F1F2｜＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
【常用结论】
1.双曲线方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ.
(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ.
2.双曲线中的常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F1PF2.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹为双曲线
B.方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线
C.双曲线－＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程是±＝0
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于
答案：CD
学生用书 第234页
2.(链接人教A选择性必修一P127T1)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于　　　　.
答案：6
解析：设双曲线的焦点为F1，F2，｜PF1｜＝4，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2，故｜PF2｜＝6或2.又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1＞2，故｜PF2｜＝6.
3.(链接人教A选择性必修一P121T3)若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是　　　　　.
答案：(－2，－1)
解析：因为方程＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1.
4.(多空题)(链接人教A选择性必修一P124例3)双曲线－＝1的实轴长为　　　　，离心率为　　　　，渐近线方程为　　　　　　　　.
答案：10　　y＝±x
解析：双曲线－＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，则c＝7，所以实轴长为2a＝10，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
考点一　双曲线的定义及其应用 师生共研
(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
(2)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为　　　　.
(3)已知双曲线C：－＝1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3，1)，则｜MD｜－｜MF1｜的最大值为　　　　.
答案：(1)B　(2)3　(3)－3
解析：(1)如图，连接ON.由题意可得｜ON｜＝1，且N为MF1的中点.又O为F1F2的中点，所以｜MF2｜＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.由垂直平分线的性质可得｜PM｜＝｜PF1｜，所以｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝｜｜PF2｜－｜PM｜｜＝｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.故选B.
(2)双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).因为｜OP｜＝2＝｜F1F2｜，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，故｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16.又｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2，所以4＝｜｜PF1｜－｜PF2｜｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝16－2｜PF1｜·｜PF2｜，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝6，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝3.
(3)根据题意，知双曲线C的实半轴长a＝2.设右焦点为F2(3，0)，所以｜MD｜－｜MF1｜＝｜MD｜－(｜MF2｜＋2a)＝(｜MD｜－｜MF2｜)－2a≤｜F2D｜－2a＝－4＝－3，当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号.
双曲线定义的主要应用 1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系. 2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. 3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解.
对点练1.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离为(　　)
A.4 B.12
C.4或12 D.不确定
答案：C
解析：设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝2，c＝＝4，则｜PF2｜＝8.由双曲线定义可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝4，即｜｜PF1｜－8｜＝4，所以｜PF1｜＝4或｜PF1｜＝12.由于c－a＝2，故点P到它的左焦点的距离是4或12.故选C.
对点练2.已知动圆M与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋7＝0都外切，则动圆M的圆心轨迹为(　　)
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.抛物线 D.以上都不对
答案：B
解析：题中两圆分别记为圆A：x2＋y2＝1以及圆B：x2＋y2－6x＋7＝0，整理得(x－3)2＋y2＝2，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则于是｜MB｜－｜MA｜＝－1＜｜AB｜，即差为定值，因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支.故选B.
对点练3.已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P为其右支上一点，点A(0，－6)，则△APF周长的最小值为(　　)
A.4＋6 B.4＋6
C.6＋6 D.6＋6
答案：B
解析：设双曲线的右焦点为M.由双曲线的方程可得a2＝4，b2＝5，则a＝2，b＝，c＝3，所以F(－3，0)，M(3，0)，且｜PF｜－｜PM｜＝2a＝4，所以｜PF｜＝｜PM｜＋4.△APF的周长为｜PA｜＋｜PF｜＋｜AF｜＝｜PA｜＋｜PM｜＋4＋｜AF｜＝｜PA｜＋｜PM｜＋4＋3≥｜AM｜＋4＋3＝4＋6，当且仅当点P在线段AM上时取等号，则△APF周长的最小值为4＋6.故选B.
【教师备选】　如图，F为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜－｜P4F｜－｜P5F｜－｜P6F｜＝　　　　.
答案：18
解析：设双曲线的右焦点为F2.因为双曲线C上的点Pi与P7－i(i＝1，2，3)关于y轴对称，所以｜PiF2｜＝｜P7－iF｜(i＝1，2，3).又双曲线的实轴长为2a＝2×3＝6，根据双曲线的定义可得｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜－｜P4F｜－｜P5F｜－｜P6F｜＝(｜P1F｜－｜P6F｜)＋(｜P2F｜－｜P5F｜)＋(｜P3F｜－｜P4F｜)＝(｜P1F｜－｜P1F2｜)＋(｜P2F｜－｜P2F2｜)＋(｜P3F｜－｜P3F2｜)＝2a＋2a＋2a＝6a＝18.
考点二　双曲线的标准方程 师生共研
(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线的离心率e＝，且该双曲线经过点(2，2)，则该双曲线的标准方程为　　　　　.
(3)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为　　　　　.
答案：(1)C　(2)－x2＝1　(3)－＝1
解析：(1)根据题意，知∠F1PF2＝90°.又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2.根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，｜PF1｜｜PF2｜＝4a×2a＝4a2.又＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝4c2，所以c2＝10.又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
(2)根据题意，知e＝，解得a＝2b.当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).因为点(2，2)在该双曲线上，所以－＝1，即－＝1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).因为点(2，2)在该双曲线上，所以－＝1，即－＝1，解得b＝1，所以a＝2，所以该双曲线的标准方程为－x2＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0).所以－＝1.
学生用书 第235页
求双曲线标准方程的常用方法 1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程.2.待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出双曲线的标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”.如果焦点的位置不确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)，再根据条件求解.
对点练4.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.x2－＝1(x≤－1) D.x2－＝1(x≥1)
答案：C
解析：设动圆M的半径为r.由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).故选C.
对点练5.(一题多解)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程为　　　　　　　　.
答案：4x2－y2＝1
解析：法一：根据题意知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a＞0，b＞0)，则－＝1，且＝2，此时无解.综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
法二：根据题意，可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0).因为双曲线经过点(1，)，所以λ＝4×12－()2＝1，所以双曲线方程为4x2－y2＝1.
考点三　双曲线的几何性质(高考超重点) 多维探究
角度1　渐近线
1.(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝　　　　.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　　.
答案：(1)A　(2)－3　(3)y＝±x
解析：(1)根据题意，知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0.点(3，0)到直线3x＋4y＝0的距离d＝.故选A.
(2)y2＋＝1表示双曲线，则m＜0，即y2－＝1.可知焦点在y轴上，故渐近线方程为y＝±.所以，解得m＝－3.
(3)因为双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.由离心率为e＝＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，可得b＝a，由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x.
角度2　离心率
(1)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点.若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　　　.
(2)(一题多解)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为　　　　.
答案：(1)　(2)
解析：(1)如图，根据题意，知｜F2A｜＝5，｜F1F2｜＝＝12.由双曲线的定义，得2a＝｜F1A｜－｜F2A｜＝8，2c＝｜F1F2｜＝12，所以离心率e＝.
(2)法一：根据题意，设｜AF2｜＝2m，则｜BF2｜＝3m＝｜BF1｜，｜AF1｜＝2a＋2m，｜AB｜＝5m.在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以｜AF1｜＝4a，｜AF2｜＝2a，｜BF2｜＝｜BF1｜＝3a，则｜AB｜＝5a，故cos∠F1AF2＝.所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝，整理得5c2＝9a2，故e＝.
法二：根据题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t.又⊥，所以·＝(c，－t)·(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2.又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50c2a2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2.又e＞1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝.
角度3　几何性质的综合应用
(1)(多选)(2025·全国二卷)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　)
A.∠A1MA2＝
B.｜MA1｜＝2｜MA2｜
C.C的离心率为
D.当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8
(2)(2025·湖北武汉测试)已知点M(－5，0)，点P在曲线－＝1(x＞0)上运动，点Q在曲线C：(x－5)2＋y2＝1上运动，则的最小值为　　　　.
答案：(1)ACD　(2)20
解析：(1)不妨设渐近线为y＝x，M在第一象限，N在第三象限.对于A，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2＝π－，故A正确；对于B，法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且｜MO｜＝c.设M(x0，y0)，则故MA2⊥A1A2.由A得∠A1MA2＝，故｜MA2｜＝｜MA1｜，即｜MA1｜＝｜MA2｜，故B错误；
法二：因为tan∠MOA2＝，又c2＝a2＋b2，则cos∠MOA2＝.又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N，则OM＝c，则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则｜OH｜＝c·＝a＝｜OA2｜，则点H与A2重合，则MA2⊥x轴，又∠A1MA2＝，所以｜MA1｜＝｜MA2｜，故B错误；
法三：在△OMA2中利用余弦定理知，＝｜OM｜2＋－2｜OM｜｜OA2｜cos∠MOA2，即＝c2＋a2－2ac·＝b2，则｜MA2｜＝b，则△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA2＝，则2｜MA2｜＝｜MA1｜，故B错误；对于C，法一：因为)，故4＋2·，由B可知｜MA2｜＝b，｜MA1｜＝b，故4c2＝b2＋b2＋2×bbb2＝(c2－a2)即c2＝13a2，故离心率e＝，故C正确；法二：因为，则＝2，则e＝，故C正确；对于D，当a＝时，由C可知e＝，故c＝，故b＝2，故四边形NA1MA2的面积为2＝222＝8，故D正确.故选ACD.
(2)如图，在双曲线－＝1中，a＝3，b＝4，c＝＝5，圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1.所以双曲线－＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以≥＝(｜PC｜＋1)＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当｜PC｜＝4时，等号成立，故的最小值为20.
1.渐近线的求法：求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0(y＝±x). 2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 3.与双曲线有关的最值(范围)问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
学生用书 第236页
对点练6.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝m，所以C的离心率e＝.故选A.
对点练7.已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－4b，则E的离心率的取值范围是(　　)
A.(2，＋∞) B.(1，］
C.［，2) D.［，＋∞)
答案：D
解析：不妨设点P在E的右支上.由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝｜PF2｜＋2a.由｜PF1｜＋｜PF2｜≥4a－4b，可得2｜PF2｜＋2a≥4a－4b，即｜PF2｜≥a－2b，而｜PF2｜的最小值为c－a，故c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.当2a－c≤0，即≥2时，显然成立；当2a－c＞0，即12时，(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，得≤2.综上可知，E的离心率的取值范围是［，＋∞).故选D.
对点练8.(多选)(2026·江苏南通调研)已知双曲线C：－＝1(b＞0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　)
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.｜PF｜的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－
答案：AD
解析：已知双曲线C：－＝1(b＞0)的渐近线方程为x＝±y.又直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，所以＝b.又b＞0，所以b＝，故双曲线C的方程为－＝1.对于A，C的虚轴长为2，故A正确；对于B，设双曲线C的半焦距为c，则c＝，所以C的离心率为，故B错误；对于C，由已知有F(，0)，所以｜PF｜的最小值为，故C错误；对于D，C的两条渐近线的斜率分别为，－，当直线PF的斜率等于－时，PF∥l，与P在l上矛盾，所以直线PF的斜率不等于－，故D正确.故选AD.
【教师备选】　(多选)已知双曲线C：－＝1(m＞0)，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
C.若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D.若m＝2，则双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
答案：BC
解析：对于A，由双曲线C：－＝1且m＞0，得实轴长为2a＝2，故A错误；对于B，渐近线方程为y＝±x，若渐近线相互垂直，则－＝－1 m＝2，故B正确；对于C，若(2，0)为焦点，则c＝2，则2＋m＝c2＝4 m＝2，故C正确；对于D，若m＝2，则双曲线C：－＝1，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c－a＝2－，故D错误.故选BC.
课时分层测评70　双曲线
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.2
答案：D
解析：根据题意，得b＝a.又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a，故e＝2.故选D.
2.已知双曲线mx2－y2＝1(m＞0)的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：A
解析：根据题意，知双曲线的实轴长为2，则2＝1，解得m＝4，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选A.
【教师备选】　(2025·八省联考)双曲线x2－＝1的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±3x D.y＝±4x
答案：C
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为±＝0，代入此题可知渐近线方程为y＝±3x.故选C.
3.经过点M(2，2)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案：D
解析：根据题意，可设所求的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).因为点M(2，2)在双曲线上，所以－＝λ，解得λ＝－6，故所求的双曲线方程是－＝1.故选D.
4.(2026·辽宁省部分重点中学协作体考试)已知双曲线C的离心率为，F1，F2为C的两个焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则＝(　　)
A. B. C.2 D.
答案：D
解析：根据题意知，e＝，则c＝a，b＝＝a，可知渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，且F2(a，0)，则｜PF2｜＝＝a，｜F1F2｜＝2a，∠POF2＝，可得｜OP｜＝＝a，∠PF2F1＝.在△PF1F2中，由余弦定理可得－2｜PF2｜·｜F1F2｜·cos∠PF2F1＝a2＋8a2－2a×2a＝5a2，即｜PF1｜＝a，所以.故选D.
5.(多选)已知曲线C的方程为－＝1，下列说法正确的是(　　)
A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m＞－n＞0
B.曲线C可能是圆
C.若mn＜0，则曲线C一定是双曲线
D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为y＝±x
答案：BD
解析：对于A，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则＝1，即－n＞m＞0，故A错误；对于B，当m＝－n＞0时，曲线C表示圆，故B正确；对于C，若m＝－n＝1，满足mn＜0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，表示圆，故C错误；对于D，若曲线C为双曲线，则mn＞0，其渐近线方程为－＝0，即y＝±x.故D正确.故选BD.
6.(多选)(2025·安徽蚌埠一模)已知双曲线C：－＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，点F1，F2分别是C的左、右焦点，点A1，A2分别是C的左、右顶点，过点F2的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，则(　　)
A.双曲线C的焦距为2
B.｜PF1｜－｜PF2｜＝4
C.｜PQ｜＞4
D.k1k2＝
答案：ABD
解析：对于A，双曲线C：－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x.又一条渐近线方程为x－2y＝0，故，解得m＝8，故c2＝8＋2＝10，解得c＝，故双曲线C的焦距为2，故A正确；对于B，由A知，a＝＝2.由双曲线定义得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝4，故B正确；对于C，F2(，0)，当直线l与x轴垂直时，－＝1中，令x＝时，y＝±，故｜PQ｜＝4，故C错误；对于D，A1(－2，0)，A2(2，0)，
设P(m，n)，则－＝1，即n2＝－2，k1k2＝·，故D正确.故选ABD.
7.(多题同解)(1)(一题多解)(2024·全国甲卷改编)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为　　　　.
(2)(2025·安徽江淮十校联考)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线的倾斜角分别为α，β，若α＝3β，则C的离心率为　　　　.
答案：(1)2　(2)
解析：(1)法一：根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则所以离心率e＝＝2.
法二：根据双曲线的定义，得2a＝｜－｜＝｜6－10｜＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝2.
(2)因为α＝3β，α＋β＝π，所以α＝，β＝，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程分别为y＝±x，所以y＝x的倾斜角为β，y＝－x的倾斜角为α，即tan β＝＝1，解得e＝，则C的离心率为.
8.(多题同解)(1)若F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且｜AB｜＝4，△ABF2的周长是20，则m＝　　　　.
(2)(2025·山东济南二模)双曲线C：－＝1的左焦点为F，点A(0，4)，若P为C右支上的一个动点，则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为　　　　.
答案：(1)9　(2)9
解析：(1)根据题意得m＞0，根据双曲线定义得｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝2，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝2，上述两式相加得(｜AF2｜＋｜BF2｜)－(｜AF1｜＋｜BF1｜)＝4，｜AF2｜＋｜BF2｜－｜AB｜＝4，即｜AF2｜＋｜BF2｜－4＝4，所以｜AF2｜＋｜BF2｜＝4＋4，所以△ABF2的周长为｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝4＋4＋4＝20，解得m＝9.
(2)设双曲线C：－＝1的右焦点为F2.对于双曲线C：－＝1，可得a2＝4，则a＝2.
因为点P在双曲线的右支上，所以｜PF｜－｜PF2｜＝2a＝4，即｜PF｜＝｜PF2｜＋4.则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋4.根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得｜PA｜＋｜PF2｜≥｜AF2｜，当且仅当A，P，F2三点共线时取等号.已知F2(3，0)，A(0，4)，根据两点间距离公式，可得｜AF2｜＝＝5.所以｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋4≥｜AF2｜＋4＝5＋4＝9，即｜PA｜＋｜PF｜的最小值为9.
【教师备选】　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为　　　　.
答案：2
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2.在△F1PF2中，由余弦定理的推论，得cos∠F1PF2＝，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝2.
9.(10分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求｜PA｜＋｜PF｜的最小值.
解：(1)－＝1的渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0.
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4.
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋｜PF0｜＋2a＝｜PA｜＋｜PF0｜＋6，
当F0，P，A三点共线时，｜PA｜＋｜PF0｜最小，且最小值为｜AF0｜＝17.
故｜PA｜＋｜PF｜的最小值为17＋6＝23.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(2025·甘肃武威一模)已知双曲线C的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，过点F2的直线与双曲线C交于A，B两点.若｜BF2｜＝2｜F2A｜，｜AB｜＝｜AF1｜，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
答案：A
解析：因为双曲线C的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0).设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以c＝，过点F2的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示.
由｜BF2｜＝2｜F2A｜，｜AB｜＝｜AF1｜，设｜BF2｜＝2｜F2A｜＝2t，则｜AB｜＝｜AF1｜＝3t.由双曲线的定义知｜AF1｜－｜AF2｜＝3t－t＝2t＝2a，所以t＝a，｜BF1｜＝4a.在△BAF1中，｜AB｜＝｜AF1｜＝3a，｜BF1｜＝4a，cos∠F1AB＝.在△F2AF1中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜F1A｜2＋｜F2A｜2－2｜F1A｜·｜F2A｜cos∠F1AF2，即28＝9a2＋a2－2×3a2，解得a2＝3，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.当过点F2的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示，由｜BF2｜＝2｜F2A｜，｜AB｜＝｜AF1｜，得｜AB｜＝｜AF1｜＝｜AF2｜，与双曲线定义不符，故此种情况不成立.综上，双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选A.
11.(多选)已知A为双曲线C：－＝1上位于第一象限内的点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有(　　)
A.若｜AB｜＝10，则AF⊥BF
B.若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C.＞2
D.｜AF｜－｜AM｜的最小值为8
答案：ABD
解析：设双曲线的右焦点为F1，根据题意，四边形AFBF1为平行四边形，如图.由双曲线C：－＝1知a＝4，b＝3，c＝5.对于A，｜AB｜＝10＝｜FF1｜，则四边形AFBF1为矩形，AF⊥BF，故A正确；对于B，由双曲线定义得｜AF｜－｜AF1｜＝8.而｜FF1｜＝10，AF⊥BF，则｜AF｜2＋｜AF1｜2＝｜FF1｜2，即(｜AF｜－｜AF1｜)2＋2｜AF｜｜AF1｜＝｜FF1｜2，于是｜AF｜｜AF1｜＝18，因此△ABF的面积S＝｜AF｜｜AF1｜＝9，故B正确；对于C，在Rt△AFM中，，双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，直线AF的斜率为，即有，，故C错误；对于D，｜AF｜－｜AM｜＝8＋｜AF1｜－｜AM｜≥8，当且仅当｜AF1｜＝｜AM｜时取等号，故D正确.故选ABD.
12.(15分)已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值.
解：(1)在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝.
又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，故有2－＝2，
两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0，设l1：x－y＝0的倾斜角为α，故tan α＝.
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，所以cos θ＝cos 2α＝＝－，于是有cos，＞＝－cos θ＝.
因为P到双曲线两条渐近线的距离为｜PP1｜＝，｜PP2｜＝，所以···cos，＞＝·.
(每小题5分，共10分)
13.(多选)(2025·山东济宁一模)若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是(　　)
A.若·＝0，则△PF1F2的面积为9
B.若Q为圆(x－3)2＋y2＝1上的一动点，则｜PF2｜＋｜PQ｜的最小值为3
C.四边形PAF2B面积的最小值为
D.·的最小值为2－3
答案：BC
解析：圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为(3，0)，半径为1，双曲线的焦点(±3，0).对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得＝8，故A错误；对于B，由双曲线的定义可得｜PF2｜＋｜PQ｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜－2≥5－2＝3，当P，F1，Q三点共线时取等号，故B正确；对于C，＝2＝2｜PA｜×1，所以当｜PA｜最小时，四边形的面积最小.由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，｜PA｜最小，所以｜PA｜＝，所以四边形PAF2B面积的最小值为，故C正确；对于D，·＝｜｜2cos2∠APF2＝(｜PF2｜2－1)(1－2sin2∠APF2)＝(－1)(1－2·)＝－3≥2－3＝2－3，当时取等号，但｜PF2｜≥2，所以取不到等号，故D错误.故选BC.
14.双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴于点M，N.若点P(－3a，0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为　　　　.
答案：2
解析：由－＝1得y2＝b2，即y＝±，不妨设A，而D(a，0)，所以直线AD的方程为y－0＝(x－a)，y＝(x－a).令x＝0得y＝，则M，同理可求得N，所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝，将P(－3a，0)代入上式得9a2＝＝(c＋a)2，即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，则c＝2a，即离心率为＝2.
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑