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第61讲　概率与统计的综合问题
【课程标准】　概率与统计的综合问题是命制生活实践情境类试题的最佳切入点，所考查内容涉及数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之一，处理此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和必要的逻辑推理.
考点一　频率分布直方图与分布列的综合问题 师生共研
(2025·河南洛平许济二模)某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间(单位：小时)，从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得的数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值；
(2)从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率；
(3)将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设X为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求X的分布列及数学期望.
解：(1)根据频率之和等于1可得，5×(0.01＋0.06＋0.07＋a＋0.02)＝1，解得a＝0.04.
(2)由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于(0.04＋0.02)×5＝0.3，
所以电池续航时间不少于35小时的电池有50×0.3＝15组，
电池续航时间少于35小时的电池有50×0.7＝35组，
所以从抽取的50组电池中任取2组，
恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为＝＝.
(3)由(2)知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于.
根据题意可知，随机变量X服从二项分布，所以X～B，
所以X所有可能的取值有0，1，2，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.6.
统计图表与概率综合问题的求解策略
1.正确识读统计图表，从图表中提取有效信息及样本数据.
2.根据统计原理即用样本数字特征估计总体的思想，结合样本中各统计量之间的关系构造数学模型(函数模型、不等式模型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分布模型等).
3.正确进行运算，求出样本数据中能够说明问题的特征值，从而用此数据估计总体或作出科学的决策与判断.
对点练1.(2025·山东德州三模)随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一.智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6年的为优质品.现用A，B两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率.
(1)现从大量的A，B两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率；
(2)通过多年统计发现，A品牌智能门锁每件产品的
学生用书 第306页
利润y(单位：元)与其使用时间t(单位：年)的关系如下表：
使用时间t(单位：年) t＜5 5≤t＜6 t≥6
每件产品的利润y(单位：元) －200 200 400
若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望.
解：(1)由直方图可知，从A品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率P(A)＝0.4＋0.1＝，
从B品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率P(B)＝0.3＋0.1＝，
所以从A，B两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品，其中至少有3件是优质品的概率
P＝×××＋××＋＝.
(2)根据题意，知X的可能取值为－400，0，200，400，600，800.
所以P(X＝－400)＝·＝，
P(X＝0)＝2××＝，
P(X＝200)＝2××＝，
P(X＝400)＝·＝，
P(X＝600)＝2××＝，
P(X＝800)＝·＝.
所以X的分布列为
X －400 0 200 400 600 800
P
所以X的数学期望E(X)＝－400×＋0×＋200×＋400×＋600×＋800×＝360.
考点二　回归模型与分布列的综合问题 师生共研
(2026·湖南长沙模拟)我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年(年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8)该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研经费xi(单位：百亿元) 2 3 6 10 13 15 18 21
市场规模yi(单位：百万辆) 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
参考数据：xiyi＝347，＝1 308，＝93，≈42.25.
参考公式：相关系数r＝.
(1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度(结果精确到0.01，当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱)；
(2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p(p∈(0，1))，从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若P(X＝5)＝P(X＝4)，求随机变量X的数学期望和方差.
解：(1)先计算＝xi＝＝＝11；
＝yi＝＝＝3.
然后计算(xi－)(yi－)＝xiyi－n ，
将xiyi＝347，n＝8，＝11，＝3代入可得
(xi－)(yi－)＝347－8×11×3＝347－264＝83.
接着计算＝－n ，将＝1 308，n＝8，＝11代入可得
＝1 308－8×112＝1 308－968＝340.
再计算＝－n ，将＝93，n＝8，＝3代入可得：
＝93－8×32＝93－72＝21.
最后计算相关系数r：
根据公式r＝，
将(xi－)(yi－)＝83，
＝340，＝21代入可得
r＝＝.
因为＝≈2×42.25＝84.5，所以r＝≈0.98.
由于｜r｜≈0.98接近1，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强.
(2)已知随机变量X～B(5，p)(因为从国内新能源车主中随机抽取5人，
每个人购买该品牌汽车的概率为p，符合二项分布的定义).
根据二项分布的概率公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，由P(X＝5)＝P(X＝4)可得
p5(1－p)0＝p4(1－p)1，即p5＝5p4(1－p)，因为p∈(0，1)，得p＝5(1－p)，
解方程p＝5－5p，得p＝.
再根据二项分布的数学期望公式E(X)＝np和方差公式D(X)＝np(1－p)，
将n＝5，p＝代入可得E(X)＝5×＝，D(X)＝5××＝5××＝.
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回归分析与概率综合问题的解题思路
1.此类问题的特点为：同一生活实践情境下设计两类问题，即：(1)求经验回归方程(预测)；(2)求某随机变量的概率(范围)、均值、方差等；
2.充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)做出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的；
3.明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型.
对点练2.(2025·黑龙江哈尔滨三模)某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数(单位：千人)如下：
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日
第x天 1 2 3 4 5
参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明(保留小数点后两位)；(若｜r｜＞0.75，则认为y与x的线性相关性很强)，并求出y关于x的线性回归方程；
(2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为，，，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差.
附：参考数据：xiyi＝72，＝55，＝4，＝95.86，≈12.59.
参考公式：回归直线方程＝x＋，其中＝，＝－.
相关系数r＝.
解：(1)根据题意，知＝＝3，而xiyi＝72，＝55，＝4，
则r＝＝＝≈≈0.95.
因为r≈0.95＞0.75时线性相关性很强，所以y与x线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合.
＝＝＝1.2，＝－＝4－1.2×3＝0.4，
因此，y关于x的线性回归方程为＝1.2x＋0.4.
(2)记“甲从2号门出学校”为事件A，“甲从1号门进学校”为事件B，
“甲从2号门进学校”为事件C，“甲从3号门进学校”为事件D，
根据题意可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
P(A｜B)＝P(A｜D)＝，P(A｜C)＝.
由全概率公式得P(A)＝P(BA＋CA＋DA)＝P(BA)＋P(CA)＋P(DA)＝P(B)P(A｜B)＋P(C)P(A｜C)＋P(D)P(A｜D)＝×＋×＋×＝.
同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为，
X为4人中从2号门出学校的人数，则X～B(4，)，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以X的期望E(X)＝4×＝1，方差D(X)＝4××＝.
考点三　独立性检验与分布列的综合问题 师生共研
(2025·浙江杭州二模)某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车A款 新能源汽车B款 总计
男性 50 10 x
女性 25 15 40
总计 y 25 100
(1)求x，y；
(2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X，求X的数学期望.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.10 0.05 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
解：(1)根据题意得，x＝50＋10＝60，y＝100－25＝75.
(2)零假设为H0：选购新能源汽车的款式与性别无关联.
根据列联表中的数据，
可得χ2＝≈5.556＞3.841.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
(3)随机抽取1人购买B款车的概率为p＝＝，
X的可能取值有0，1，2，3，由题意得X～B(3，)，
由二项分布的期望公式得E(X)＝np＝3×＝.
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独立性检验与概率综合问题的解题思路
　　解决该类问题首先收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得χ2的值后进行比较，其次再按照随机变量满足的概率模型求解.
对点练3.(2025·湖北七市州调研)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求E和D；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解：(1)根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为H0：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算可得
χ2＝＝＝≈3.590＞2.706＝x0.1.
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断H0不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率P＝＝.
即可得X～B，故E＝20×＝，
D＝20××＝.
(3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布，
P＝＝，P＝＝＝，P＝＝＝，P＝＝＝.
故所求分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以Y的数学期望E＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.1.
课时分层测评87　概率与统计的综合问题
(时间：60分钟　满分：55分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(10分)(2025·四川巴中模拟)从某校高二年级获取了容量为120的有放回简单随机样本，将所得数学和语文入学考试成绩的部分样本观测数据整理如下：
数学成绩 语文成绩 合计
不优秀 优秀
优秀 48 36
不优秀 24
合计 120
(1)请将题中表格补充完整，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，是否认为数学成绩与语文成绩有关联；
(2)在数学成绩优秀的学生中，采用按比例分配分层随机抽样的方法选取7人，再从7人中随机抽取3人进行座谈，用X表示语文成绩优秀的人数，求X的分布列、数学期望、方差.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
解：(1)表中数据如下：
数学成绩 语文成绩 合计
不优秀 优秀
优秀 48 36 84
不优秀 24 12 36
合计 72 48 120
零假设为H0：数学成绩与语文成绩无关联.
根据表中数据，计算得到χ2＝＝≈0.952 4＜6.635.
依据小概率值α＝0.010的独立性检验，没有充分证据推断出H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为数学成绩与语文成绩无关联.
(2)由题意得分层随机抽样比为4∶3，则语文成绩不优秀、优秀的学生分别抽取4人，3人.
X的取值可能为0，1，2，3，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
X的方差为D(X)＝×＋×＋×＋×＝.
2.(13分)(2025·江西景德镇三模)2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1 000名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”.
(1)估计该产品用户每日的平均使用时长(同一组的数据用该组区间的中点值代替)；
(2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在[40，60)，[80，100)的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中忠实粉丝的人数，求X的分布列和期望.
(3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，ξ为忠实粉丝的人数，记ξ＝k时对应的概率为Pk，则k为多少时Pk最大？
解：(1)由0.002×20＋0.004×20＋0.009×20＋a·20＋0.012×20＋0.003×20＝1，解得a＝0.02.
＝0.002×20×10＋0.004×20×30＋0.009×20×50＋0.02×20×70＋0.012×20×90＋0.003×20×110＝68.
(2)由频率分布直方图可知，[40，60)与[80，100)的用户数之比为3∶4，
所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，X取0，1，2.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的期望E(X)＝.
(3)用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为0.02×20＋0.012×20＋0.003×20＝0.7，
所以ξ～B(5，0.7)，P(ξ＝k)＝0.7k(1－0.7)5－k，
解得3.2≤k≤4.2.
又k∈Z，故k＝4时概率最大.
3.(15分)(2026·四川泸州模拟)某校课题组在高一年级选取A，B两个班级，开展“数学问题深度学习”的研究，其中A班为常规教学班，B班为课改研究班，两个班级的人数分别为50人.在某次数学测试后，对A，B两班学生的数学成绩(单位：分)进行整理，分数分布在[90，150]内，按照[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]分组，得到如下的频率分布直方图，并规定：小于120分为不优秀，大于或等于120分为优秀.
(1)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并根据相关数据判断，能否有95％的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关？
数学成绩 A班 B班 总计
优秀
不优秀
总计
(2)对A，B两班成绩在110分以下的学生，按照班级进行分层，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从抽取的这6人中随机抽取2人，记X为抽取的2人中来自A班的人数，求X的分布列和数学期望.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.025 0.01
xα 2.706 3.841 5.024 6.635
解：(1)由图可知，A班优秀人数为50×(0.02＋0.016＋0.008)×10＝22；
B班优秀人数为50×(0.028＋0.024＋0.012)×10＝32.
数学成绩 A班 B班 总计
优秀 22 32 54
不优秀 28 18 46
总计 50 50 100
χ2＝≈4.026＞3.841，
所以有95％的把握认为成绩是否优秀与课改研究有关.
(2)由图可知，A班110分以下人数为：50×(0.024＋0.008)×10＝16；
B班110分以下人数为：50×(0.004＋0.012)×10＝8.
采用分层随机抽样的方法抽出6人中，A班有4人，B班有2人，
所以X所有取值为0，1，2.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
4.(17分)(2025·湖南长沙调研)随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱.某水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
试销单价x(元) 3 4 5 6 7
产品销量y(件) 20 16 15 12 6
(1)经计算相关系数r≈－0.97，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；
(2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望.
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1)根据已知，得＝＝5，＝＝13.8，
xiyi＝313，＝135，
则＝＝＝＝－＝－3.2，
所以＝－＝13.8－(－3.2)×5＝29.8，
所以＝－3.2x＋29.8.
(2)当x＝3时，＝20.2；当x＝4时，＝17；
当x＝5时，＝13.8；当x＝6时，＝10.6；
当x＝7时，＝7.4.
因此该样本的残差绝对值依次为0.2，1，1.2，1.4，1.4，
所以“次数据”有2个.
“次数据”个数X可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
学生用书 第309页
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