资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
一元二次方程根的分布
【教材母题】
(人教B必修一复习题C组P141T3)如果关于x的方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根分别在区间(0，1)和(1，2)内，求实数a的取值范围.
【知能拓展】
　　所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题.
　　解决一元二次方程根的分布问题，主要根据以下几个方面建立关于系数变量的不等式(组)进行求解：(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号.一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但基本可以分为以下两类题型.
1.已知两根与实数k的大小关系
根的分布情况(以a＞0为例) 两根都小于k 两根都大于k 一个根小于k，一个根大于k
图象的大致形状
满足的不等式(组) f(k)＜0
2.已知两根所在的区间
根的分布情况(以a ＞0为例) 两根都在(m，n)内 有且仅有一根在(m，n)内 一根在(m，n)内，另一根在 (p，q)内，且m＜n＜p＜q
图象的大致形状 (a＞0)
满足的不等式(组) f(m)·f(n) ＜0
【典例应用】
(1)若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－2，1) D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
(2)(一题多解)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x－2m＝0有两个不相等的正实数根，则实数m的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2)∪(－2，0) B.(－∞，2)
C.(0，2)∪(2，＋∞) D.(－2，＋∞)
答案：(1)C　(2)A
解析：(1)设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意有f(1)＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.故选C.
(2)法一：设f(x)＝x2＋(m－2)x－2m，依题意有，即解得m＜0且m≠－2，所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，0).故选A.
法二：因为方程x2＋(m－2)x－2m＝0有两个不相等的正实数根，所以解得m＜0且m≠－2，所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，0).故选A.
　　当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.
学生用书 第21页
已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数 m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围.
解：(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则其图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出图象如图，由题意，得
解得－＜m＜－.
故实数m的取值范围是(－，－).
(2)由题意知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出图象如图，由题意，
得
解得－＜m≤1－.
故实数m的取值范围是(－，1－］.
　　求解一元二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴；④在区间端点处的函数值.
对点练1.已知一元二次方程x2－mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
答案：B
解析：设f＝x2－mx＋1，由题意可得解得2≤m＜.故选B.
对点练2.设m为实数，若二次函数y＝x2－x＋m在区间上有两个零点，则实数m的取值范围是　　　　　　　　.
答案：
解析：二次函数y＝x2－x＋m的对称轴为x＝，且开口向上.因为二次函数y＝x2－x＋m在区间上有两个零点，所以方程x2－x＋m＝0在区间内有两个不同的根，设f(x)＝x2－x＋m，由题意可得解得0＜m＜，所以实数m∈.
对点练3.关于x的方程x2＋x＋m＝0满足下列条件，求实数m的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在内，另一个根在内.
解：(1)令f＝x2＋x＋m，
法一：设f＝0的两个根为x1，x2.
由题意可得解得0＜m≤1.
所以实数m的取值范围是(0，1].
法二：由题意可得解得0＜m≤1.
所以实数m的取值范围是(0，1].
(2)令f＝x2＋x＋m，
若方程x2＋x＋m＝0的一个根大于1，一个根小于1，
由于f＝x2＋x＋m开口向上，
故只需f＝2m－2＜0，解得m＜1.
所以实数m的取值范围是(－∞，1).
(3)令f＝x2＋x＋m，
若方程x2＋x＋m＝0的一个根在内，另一个根在内，
结合f＝x2＋x＋m开口向上，由题意可得解得－＜m＜0.
所以实数m的取值范围是(－，0).
学生用书 第22页
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑