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第42讲　向量法、几何法求空间距离
【课程标准】　能用向量法、几何法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.点到直线的距离
如图①，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
2.点到平面的距离
如图②，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝.
说明：线面距和面面距可转化成点面距求解.
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
B.点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度
C.直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等
D.直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α
答案：ABD
2.(链接人教A选择性必修一P34例6)在空间直角坐标系中，已知A(1，－1，0)，B(4，3，0)，C(5，4，－1)，则点A到直线BC的距离为(　　)
A.3 B.
C. D.
答案：D
解析：因为A(1，－1，0)，B(4，3，0)，C(5，4，－1)，所以＝(－3，－4，0)，＝(1，1，－1)，所以点A到直线BC的距离为d＝＝.故选D.
3.已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量＝，则点F到平面ABC的距离为　　　　.
答案：
解析：根据题意，点F到平面ABC的距离为＝＝.
4.已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到l的距离为　　　　.
答案：
解析：因为＝(－2，0，－1)，且n＝为l的一个单位方向向量，故点P到l的距离为d＝＝＝.
考点一　向量法求空间距离 多维探究
角度1　向量法求点到直线的距离
(2025·海南海口二模)如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°，点M，N分别在直线AB和CD上移动.
(1)证明：AD⊥BC；
(2)当MN的长最小时，求点M到直线CD的距离.
解：(1)证明：根据题意，由平面ABC⊥平面BCD，得以B点为坐标原点，以BC所在直线为y轴，分别在平面BCD、平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°，
所以B，A，C，D，
＝，＝，
则＝0，所以⊥，故AD⊥BC.
(2)设＝λ，＝μ，则＝＋＝＋μ，
则M，N，
所以＝＋＋
＝＋＋，
当时，MN的最小值为，
此时＝，＝，
所以＝0，即⊥，故MN⊥CD.
又点N在直线CD上，
因此当MN的长最小时，点M到直线CD的距离为.
学生用书 第208页
角度2　向量法求点到平面的距离
(2025·T8联考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M，N分别为棱DD1，BC上的动点(含端点).
(1)当点M在什么位置时，有B1D⊥平面MAC；
(2)当动点M，N满足＝时，求点A1到平面AMN距离的取值范围.
解：(1)如图，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标坐标系.
设＝λ，λ∈，则A(0，0，0)，B1(1，0，2)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，2)，M，
所以＝，＝，＝.
要使B1D⊥平面MAC，需满足
由＝1－4λ＝0，解得λ＝.
所以当M是棱DD1上靠近点D的四等分点时，有B1D⊥平面MAC.
(2)设＝＝λ，λ∈，则M，N，所以＝，＝，＝.
设平面AMN的法向量为n＝，
则
令z0＝1，得到x0＝2λ2，y0＝－2λ，
得n＝为平面AMN的一个法向量.
所以点A1到平面AMN的距离d＝＝＝，
易知d＝上单调递减，
所以≤d≤2，
所以点A1到平面AMN距离的取值范围是.
1.利用向量法求解点M到直线AB的距离问题的常用方法
(1)勾股定理法：求向量上投影向量的长度，则其与｜｜和所求距离是直角三角形的三条边长，进而利用勾股定理即可得到答案.
(2)三角函数法：通过向量夹角公式求得cos＜，＞，再由平方关系求得sin＜，＞，进而通过｜｜sin＜，＞即可得到答案.
2.利用向量法求点面距的步骤
第一步：求出该平面的一个法向量；
第二步：找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；
第三步：求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
对点练1.(多选)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点，则(　　)
A.点A1到直线B1E的距离为
B.直线FC1与直线AE的距离为
C.点A1到平面AB1E的距离为
D.直线FC1与平面AB1E的距离为
答案：ABD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则点A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E(0，0，)，F(1，1，)，C1(0，1，1)，A(1，0，0).对于A，因为＝(－1，－1，－)，所以u1＝＝(－，－，－).设a1＝＝(0，1，0)，则a1·u1＝－，所以点A1 到直线B1E 的距离为＝＝，故A正确；对于B，因为＝(－1，0，)，＝(－1，0，)，所以∥，所以AE∥FC1，所以点F 到直线AE 的距离即为直线FC1 与直线AE的距离.设a2＝＝(0，1，)，u2＝＝(－，0，)，则a2·u2＝，所以直线FC1 与直线AE 的距离为＝，故B正确；对于C，设平面AB1E 的法向量n＝(x，y，z).因为＝(0，1，1)，＝(－1，0，)，所以 令z＝2，得n＝(1，－2，2)，所以n0＝＝(，－，).又＝(0，0，－1)，所以点A1 到平面AB1E 的距离为｜·n0｜＝，故C错误；对于D，因为FC1∥AE，FC1 平面AB1E，所以FC1∥ 平面AB1E，所以FC1 与平面AB1E 的距离即为点F 到平面AB1E 的距离.又平面AB1E 的单位法向量n0＝(，－，)，＝(0，0，)，所以直线FC1 与平面AB1E 的距离为｜·n0｜＝，故D正确.故选ABD.
【教师备选】　《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，在堑堵ABC-A1B1C1中，若AB＝BC＝AA1＝2，且P为线段BA1的中点，则点P到直线B1C的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：根据堑堵的定义，可知三棱柱ABC-A1B1C1是底面为直角三角形的直三棱柱，建立以B为原点的空间直角坐标系，如图所示.则B(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(0，0，2)，C(0，2，0)，P(1，0，1)，故＝(0，2，－2)，＝(1，0，－1).
法一：cos＜，＞＝＝＝，所以sin＜，＞＝.则点P到直线B1C的距离为｜｜sin＜，＞＝×＝.故选B.
法二：点P到直线B1C的距离为＝＝.故选B.
对点练2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，过AB1E的平面截正方体，得到如图所示的多面体，F为棱CC1上的动点.
(1)点H在棱BC上，当CH＝CB时，FH∥平面AEB1，试确定动点F在棱CC1上的位置，并说明理由；
(2)若AB＝2，求点D到平面AEF的最大距离.
解：(1)取BC的中点G，
则CG的中点为H，连接C1G.
过点H作HF∥GC1，交C1C于点F，则中点F满足条件.
证明如下：
取AD中点为I，连接CI，EI，AG，EC1，易证EC1CI，AGCI，所以EC1AG，所以四边形EC1GA为平行四边形，
所以C1G∥AE.
又FH∥C1G，所以FH∥AE.
又FH 平面AEB1，AE 平面AEB1，所以FH∥平面AEB1.
又因为FH∥C1G，H为CG的中点，所以F为CC1的中点.
(2)以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，E(1，0，2).
设F(0，2，t)，t∈[0，2]，
所以＝(－1，0，2)，＝(－2，2，t)，＝(2，0，0).
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
令x＝4，则y＝4－t，z＝2，所以n＝，
所以点D到平面AEF的距离d＝＝.
又t∈[0，2]，所以≤d≤，
当t＝2，即点F与点C1重合时，d取得最大值.
所以点D到平面AEF的最大距离为.
学生用书 第209页
考点二　几何法求空间距离 师生共研
(1)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(　　)
A.2 B.2
C. D.4
(2)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为　　　　.
答案：(1)A　(2)2
解析：(1)如图，取PA的中点M，连接BM，CM.因为PB⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，所以PB⊥BC.又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又PA 平面PAB，所以BC⊥PA.因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA.又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC 平面BCM，所以PA⊥平面BCM.又CM 平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2.故选A.
(2)根据题意可得AB＝8.因为AP＝BP，所以S△ABP＝×8×4＝16.因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以＝×16×4＝.因为AP＝BP＝4，所以AC＝BC＝4，所以S△ABC＝×8×＝16.设点P到平面ABC的距离为d，则＝×16d＝，解得d＝2.
1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.
2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.
3.求线面距时，可转化为点面距.
对点练3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB＝PC＝2，PA＝BC＝2AD＝2CD＝4，E为BC的中点，点F在棱PB上(不包括端点).
(1)证明：平面AEF⊥平面PAD；
(2)若点F为PB的中点，求直线EF到平面PCD的距离.
解：(1)证明：连接AC(图略).
因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AC.
因为PB＝PC＝2，PA＝4，所以AB＝AC＝2.
因为BC＝4，所以AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC.
又因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，且AE＝EC＝2.
因为AD＝CD＝2，所以四边形AECD为正方形，
所以AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE.
又因为AD∩PA＝A，AD，PA 平面PAD，
所以AE⊥平面PAD.
又因为AE 平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD.
(2)因为F为PB的中点，E为BC的中点，所以EF∥PC.
又EF 平面PCD，PC 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
同理，AE∥平面PCD.
又EF与AE为平面AEF内的两条相交直线，
所以平面AEF∥平面PCD，
所以点A到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离.
如图，作AH⊥PD.
由(1)知AE⊥平面PAD，又AE∥CD，所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，且平面PCD∩平面PAD＝PD，
所以AH⊥平面PCD，
则AH就是点A到平面PCD的距离.
由(1)知，在Rt△PAD中，PD＝＝2，
所以AH＝＝，
所以EF到平面PCD的距离为.
课时分层测评62　向量法、几何法求空间距离
(时间：60分钟　满分：55分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(10分)(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点.
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离.
解：(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，
所以四边形EFCM 是平行四边形，所以EM∥FC.
又CF 平面 BCF，EM 平面 BCF，所以 EM∥平面 BCF.
(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB 是平行四边形，所以AM＝BC＝.
又AD＝，故△ADM 是等腰三角形，同理△EDM 是等腰三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，所以OA＝＝3，OE＝＝.
又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2，故OA⊥OE.
又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面 EDM.
易知S△EDM＝×2×＝.
在△ADE中，cos ∠DEA＝＝，
所以sin ∠DEA＝，S△ADE＝×2×2×＝.
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDM，得S△ADE·d＝S△EDM·OA，得d＝，
故点M到平面ADE 的距离为.
2.(13分)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.
(1)证明：OA⊥BC；
(2)(一题多解)当AO＝1时，求点E到直线BC的距离.
解：(1)证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，
所以AO⊥平面BCD.
又BC 平面BCD，所以OA⊥BC.
(2)取OD的中点F，连接CF.
因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD.
过点O作OM∥CF交BC于点M，则OM⊥OD，
所以OM，OD，OA两两垂直.
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，－1，0)，C(，，0)，E.
法一：则＝，＝，
所以点E到直线BC的距离d＝＝＝.
法二：又＝，＝，
所以｜cos＜，＞｜＝＝＝，则sin＜，＞＝，
所以点E到直线BC的距离为｜｜sin＜，＞＝×＝.
3.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝3，F是棱PD的中点，E是棱DC上一点.
(1)证明：AF⊥EF；
(2)若直线BP与平面AEF所成角的正弦值为，求点B到平面AEF的距离.
解：(1)证明：在正方形ABCD中，有AD⊥CD.
又PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又AD∩AP＝A，AD，AP 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.
又PA＝AD，F是棱PD的中点，所以AF⊥PD.
又平面PCD∩平面PAD＝PD，所以AF⊥平面PDC.
又EF 平面PDC，所以AF⊥EF.
(2)如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，P(0，0，3)，F.
设点E(m，3，0)(0≤m≤3)，所以＝(m，3，0)，＝.
设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝3，可得n＝(3，－m，m).
又＝(－3，0，3)，
所以直线BP与平面AEF所成角的正弦值sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝，
化简可得m2－22m＋21＝0，即(m－1)·(m－21)＝0，所以m＝1或m＝21(舍).
即点E(1，3，0)，由m＝1，可得n＝(3，－1，1)，＝(3，0，0)，
所以点B到平面AEF的距离d＝＝.
4.(17分)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2a，PA＝PD，二面角P-AD-B的大小为135°，点P到底面ABCD的距离为.
(1)过点P是否存在直线l，使直线l∥平面ABCD？若存在，作出该直线，并写出作法与理由；若不存在，请说明理由.
(2)若＝2，求点M到平面PAD的距离.
解：(1)过点P存在直线l，使直线l∥平面ABCD，理由和作法如下.
作法：过点P在平面PAD内作直线l平行于直线AD，如图①，满足题意.
理由：因为l∥AD，l 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以l∥平面ABCD.
(2)如图②，取线段AD的中点O，线段BC的中点E，连接OE，OP.
因为四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，所以OE∥AB.
又AD⊥AB，所以AD⊥OE.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
又PO∩OE＝O，PO，OE 平面POE，所以AD⊥平面POE.
过点O在平面POE内作直线ON⊥OE，则直线OA，OE，ON两两垂直，
以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图②所示的空间直角坐标系.
过点P作PF∥NO，交直线OE于点F.
因为ON⊥平面ABCD，故PF⊥平面ABCD.
又点P到底面ABCD的距离为，所以PF＝.
因为OE⊥AD，OP⊥AD，所以∠POE为二面角P-AD-B的平面角.
由已知可得∠POE＝135°，所以∠POF＝45°，
所以OF＝，
所以A，D，P，C，
所以＝(－a，0，0)，＝，＝.
因为＝2，
所以＝＝，所以＝.
设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，
则令y＝1，则x＝0，z＝1，
所以n＝(0，1，1)为平面PAD的一个法向量，
所以点M到平面PAD的距离为d＝＝＝
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