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第49讲　抛物线
【课程标准】　1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.　3.通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.　4.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
[微提醒]　当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
焦点 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 y＝0 x＝0
开口方向 向右 向左 向上 向下
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
焦半径(其中P(x0，y0)) ｜PF｜＝x0＋ ｜PF｜＝－x0＋ ｜PF｜＝y0＋ ｜PF｜＝－y0＋
[微提醒]　在不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.
[常用结论]
1.抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p(｜AF｜＝x1＋).
学生用书 第237页
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则｜AF｜＝，｜BF｜＝；｜AB｜＝；.以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2.抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则｜PF｜≥；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；A(m，n)为一定点，则｜PA｜＋｜PF｜有最小值.
【自测诊断】
1.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹为抛物线
B.方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0)
C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形
D.以(0，1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y
答案：ABC
2.(链接人教A选择性必修一P133T2)抛物线y＝x2的准线方程为(　　)
A.y＝－1 B.y＝－2
C.x＝－1 D.x＝－2
答案：A
解析：因为y＝x2，所以x2＝4y，所以准线方程为y＝－1.故选A.
3.(链接人教A选择性必修一P133T3)(2024·上海卷)已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为　　　　　.
答案：4
解析：由y2＝4x知抛物线的准线方程为x＝－1，设点P.由题意得x0＋1＝9，解得x0＝8，代入抛物线方程y2＝4x，得＝32，解得y0＝±4，则点P到x轴的距离为4.
4.(链接人教A选择性必修一P134例3)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为　　　　　　.
答案：y2＝－8x或x2＝－y
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
考点一　抛物线的定义及其应用 多维探究
角度1　动点轨迹的判定
动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹为(　　)
A.直线 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案：D
解析：设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1.根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线.故选D.
角度2　直接利用定义求值(高考超重点)
1.(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：C
解析：根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，所以A(4，4)，所以｜AF｜＝｜AB｜＝5.故选C.
2.(2023·全国乙卷理)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　　　.
答案：
解析：根据题意可得()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－(－)＝.
【溯源教材24】
溯源 (人教A选择性必修一P133T3)填空.(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M与焦点间的距离是a(a＞)，则点M到准线的距离为　　　　　　　，点M的横坐标为　　　　　； (2)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点的坐标为　　　　　.
透视 高考题与教材题考查相同的知识点，相似度极高，都是考查抛物线上的点满足的性质，区别在于教材上的练习题与真题的条件和设问正好反过来
预测 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点.若｜MF｜＋｜NF｜＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为　　　　　. 答案： 解析：根据题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M'，N'(图略).根据抛物线的定义得｜MF｜＝｜MM'｜，｜NF｜＝｜NN'｜，所以｜MF｜＋｜NF｜＝｜MM'｜＋｜NN'｜，所以线段MN的中点到准线的距离为(｜MF｜＋｜NF｜)＝，所以线段MN的中点到y轴的距离为－1＝.
角度3　最值问题
(一题多变)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，F为焦点，则｜PB｜＋｜PF｜的最小值为　　　　　.
答案：4
解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则｜P1Q｜＝｜P1F｜.则有｜PB｜＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝4.即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为4.
学生用书 第238页
[变式探究](数智赋能辅助)
1.(变条件)若将本例中的B点坐标改为(3，4)，则｜PB｜＋｜PF｜的最小值为　　　　.
答案：2
解析：由题意可知，点(3，4)在抛物线的外部，所以｜PB｜＋｜PF｜的最小值即为B，F两点间的距离，即｜PB｜＋｜PF｜≥｜BF｜＝＝2，即｜PB｜＋｜PF｜的最小值为2.
2.(变设问)若本例条件不变，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为　　　　.
答案：
解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离.于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到点F(1，0)的距离之和最小，显然连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.
3.(变设问)若本例条件不变，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为　　　　.
答案：2
解析：由抛物线的定义可知，点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离.由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
利用抛物线的定义可解决的常见问题 1.轨迹问题：用抛物线的定义确定轨迹是不是抛物线. 2.距离问题：在解决涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的问题时，注意利用两者之间的关系相互转化. 注意：(1)一定要检验定点是否在定直线上.(2)“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题可根据定义简捷、直观的转化求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
对点练1.在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝－4x D.y2＝－8x
答案：D
解析：根据题意知，动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，结合抛物线的定义，所以P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D.
对点练2.已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为　　　　.
答案：2
解析：根据题意知，抛物线的准线l：y＝－1.过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1.设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略)，则｜MM1｜＝.因为｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜(F为抛物线的焦点)，即｜AF｜＋｜BF｜≥6，所以｜AA1｜＋｜BB1｜≥6，2｜MM1｜≥6，｜MM1｜≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
考点二　抛物线的标准方程 师生共研
求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0).
又＝2，所以2p＝8，
故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，或32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
求抛物线标准方程的方法 1.定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可. 2.待定系数法：先定位、再定形、定量，若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.
对点练3.(2025·浙江金华一模)已知点F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(3，m)在抛物线C上，且｜MF｜＝4，则抛物线C的方程为(　　)
A.y2＝x B.y2＝2x
C.y2＝4x D.y2＝6x
答案：C
解析：根据题意，连接MF，过M作MH垂直于抛物线的准线x＝－，垂足为H，如图所示.由抛物线定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝xM＋＝3＋＝4，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.故选C.
对点练4.已知点F为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的标准方程为　　　　.
答案：y2＝4x
解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F(，0)，将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4.不妨令P(8，4)，则S△OFP＝4＝p＝2，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x.
考点三　抛物线的几何性质(高考超重点) 师生共研
(1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是(　　)
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为(0，)
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y＝－4
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则(　　)
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.｜AB｜＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8
D.
答案：(1)AC　(2)BD
解析：(1)由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选AC.
(2)由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；由抛物线的性质可得｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；
法一：设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ＞0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，，故C错误，D正确；法二：因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，，故C错误，D正确.故选BD.
　　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
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对点练5.(一题多解)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为　　　　　.
答案：x＝－
解析：法一(直角三角形法)：由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以，即，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二(射影定理法)：由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
对点练6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则(　　)
A.p＝2 B.｜AB｜≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
答案：ABD
解析：对于A，因为抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；对于B，因为抛物线方程为y2＝4x，则焦点为F(1，0).设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以｜AB｜＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；对于C，因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；对于D，根据题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正确.故选ABD.
课时分层测评71　抛物线
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上.若点M到直线x＝－3的距离为5，则｜MF｜＝(　　)
A.7 B.6
C.5 D.4
答案：D
解析：如图所示，根据题意得点M到直线x＝－2的距离｜MN｜＝4.
由方程y2＝8x，知x＝－2是抛物线C的准线.由抛物线的定义，得｜MF｜＝｜MN｜＝4.故选D.
2.已知面积为的等边△OAB(O为坐标原点)的三个顶点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则p＝(　　)
A. B.
C. D.2
答案：A
解析：因为等边△OAB的面积为，所以｜OA｜＝2.不妨设点A是第一象限的点，则结合抛物线的对称性可知A(，1)，所以1＝2p，解得p＝.故选A.
3.已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3，3)，则｜PQ｜＋d的最小值为(　　)
A.5 B.＋1
C.－1 D.4
答案：D
解析：因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1，0).P到直线x＝－1的距离等于｜PF｜，所以P到y轴的距离d＝｜PF｜－1，所以｜PQ｜＋d＝｜PQ｜＋｜PF｜－1.所以当F，P，Q三点共线时，｜PQ｜＋｜PF｜取得最小值｜QF｜.因为Q(－3，3)，F(1，0)，所以｜QF｜＝5，所以｜PQ｜＋d的最小值为5－1＝4.故选D.
4.(2025·山东烟台一模)已知A(，m)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，若过点A且与该抛物线相切的直线交x轴于点(－2，0)，则p的值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案：C
解析：不妨令m＞0，由y＝，则y'＝，所以A点处的切线斜率为k＝1，则切线为y＝x＋2，故m＝＋2.又m2＝2p＝p2，即m＝p(负值舍)，则＋2＝p p＝4.故选C.
5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.p＝4
B.抛物线方程为y2＝16x
C.直线l的方程为y＝2x－4
D.｜AB｜＝10
答案：ACD
解析：由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线方程为y2＝8x，故B错误；焦点F(2，0)，则＝8x1，＝8x2，若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，所以－＝8x1－8x2，即＝2，所以直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由可得x2－6x＋4＝0，所以x1＋x2＝6，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.故选ACD.
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是(　　)
A.｜MN｜＝｜AB｜
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM＝∠QMF
答案：ABD
解析：如图，由抛物线的定义，得｜AC｜＝｜AF｜，｜BD｜＝｜BF｜.又｜MN｜＝，则｜MN｜＝｜AB｜，故A正确；由｜MN｜＝｜AB｜，｜AM｜＝｜MB｜，得｜MN｜＝｜AM｜，所以∠MAN＝∠MNA.而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，所以△ANC≌△ANF，可知∠ACN＝∠AFN＝90°，所以FN⊥AB，故B正确；在Rt△MNF中，｜QN｜＝｜QF｜，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，故D正确；由∠QFM＝∠QMF，可知｜QF｜＝｜QM｜，所以｜QN｜＝｜QM｜，即Q是MN的中点，故C不正确.故选ABD.
7.A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点.若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的面积为12，则∠AOB＝　　　　.
答案：60°
解析：如图，因为｜OA｜＝｜OB｜，所以A，B两点关于y轴对称，设A，B，所以S△AOB＝2a＝12，解得a＝2，所以B(2，6)，设OB与y轴正方向夹角为θ，所以tan θ＝，所以θ＝30°，所以∠AOB＝2θ＝60°.
8.(2025·山东济宁一模改编)设F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若｜AF｜＝3｜BF｜，则｜AB｜＝　　　　　.
答案：8
解析：设直线AB的倾斜角为θ，过A作AA1垂直于准线于A1点，作FQ⊥AA1于点Q，则｜AA1｜＝｜AQ｜＋｜QA1｜＝｜AF｜cos θ＋p＝｜AF｜，所以｜AF｜＝，同理可证｜BF｜＝.因为｜AF｜＝3｜BF｜，所以，解得cos θ＝，所以sin2θ＝1－cos2θ＝，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＝8.
9.(10分)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.
解：(1)设圆心C的坐标为(x，y)，则半径r＝.
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为｜PP1｜，到y轴的距离为｜PP2｜，点F到直线y＝x＋4的距离为｜FF1｜.
由抛物线的定义，可知｜PP2｜＝｜PF｜－2，
所以｜PP1｜＋｜PP2｜＝｜PP1｜＋｜PF｜－2.
由图可知｜PP1｜＋｜PF｜的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(｜PP1｜＋｜PF｜)min＝｜FF1｜＝＝3，
所以｜PP1｜＋｜PP2｜的最小值为3－2.
即点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点.过P作☉A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点.过P作l的垂线，垂足为B.则(　　)
A.l与☉A相切
B.当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝
C.当｜PB｜＝2时，PA⊥AB
D.满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个
答案：ABD
解析：对于A，易知l：x＝－1，故l与☉A相切，故A正确；对于B，A(0，4)，☉A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以｜PA｜＝4，｜PQ｜＝，故B正确；对于C，当｜PB｜＝2时，P(1，2)，B(－1，2)，或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF(图略)，易知F(1，0).由抛物线定义，知｜PF｜＝｜PB｜.因为｜PA｜＝｜PB｜，所以｜PA｜＝｜PF｜，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有2个，故D正确.故选ABD.
【教师备选】　(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是(　　)
A.p＝4 B.
C.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4
答案：ABC
解析：如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则｜PF｜＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，｜AE｜＝｜AF｜，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，所以∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，得p＝4，故A正确；因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，故C正确；因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝｜DF｜＝｜AF｜＝，故D错误.故选ABC.
11.(多题同解)(1)已知直线l与抛物线C：y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，过点O作l的垂线，垂足为E(2，1)，则p＝　　　　.
(2)A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐标原点)的重心恰为F，若｜AF｜＝5，则p＝　　　　.
答案：(1)　(2)4
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2).根据题意知，kOE＝，kAB＝－＝－2，所以直线AB的方程为y－1＝－2(x－2)，即y＝－2x＋5，联立
得4x2－(20＋2p)x＋25＝0，所以因为OA⊥OB，所以y1y2＋x1x2＝0，即5x1x2－10(x1＋x2)＋25＝0，解得p＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(，0).因为△OAB的重心恰为F，则由y1＝－y2可知A，B关于x轴对称，即x1＝x2，则x1＋x2＝2x1＝，即x1＝.又因为｜AF｜＝x1＋＝5，解得p＝4.
12.(15分)如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且｜AF｜＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.
解：(1)由抛物线定义可得｜AF｜＝2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明：因为点A(2，m)在抛物线E上，
所以m2＝4×2，解得m＝±2.
由题图知A(2，2)，又F(1，0)，
所以直线AF的方程为y＝2(x－1).
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或，所以B(，－).
又G(－1，0)，所以kGA＝，kGB＝－，
所以kGA＋kGB＝0，所以∠AGF＝∠BGF，
故GF为∠AGB的平分线.
(每小题5分，共10分)
13.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是(　　)
A. B.
C. D.1
答案：B
解析：作杯子的截面得一抛物线，如图，建立平面直角坐标系，则点(1，1)在抛物线上.设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则1＝2p，p＝，所以抛物线方程为x2＝y.设球心为A(0，a)(a＞0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，｜AP｜＝，则r＝｜AP｜min，小球与杯底接触，则上式在y＝0时取得最小值，｜AP｜＝，此时≤0，即0＜a≤，r＝｜AP｜min＝a，所以rmax＝amax＝.故选B.
14.(多选)(2025·广东佛山二模)圆C过抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)上的两点A(1，2)，B(4，－4)，则(　　)
A.圆C面积的最小值为π
B.圆C与抛物线Γ的公共点个数为2或4
C.若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P，Q，则P，Q的纵坐标之和为2
D.若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P，Q，则直线PQ的斜率为2
答案：ACD
解析：因为点A(1，2)在抛物线Γ：y2＝2px(p＞0)上，所以22＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.对于A，因为圆C过抛物线上的两点A(1，2)，B(4，－4)，则以AB为直径时，圆的面积最小，半径r＝，此时圆C的面积为π×()2＝，故A正确；对于B，过O(0，0)，A(1，2)，B(4，－4)的圆C的方程为x2＋y2－7x＋y＝0，与y2＝4x联立，得y4－12y2＋16y＝0，所以y＝0或y3－12y＋16＝0 (y－2)2(y＋4)＝0，解得y＝2或y＝－4，则圆C与抛物线Γ的公共点为O，A，B，个数为3，故B错误；对于D，直线AB的方程为y＝－2x＋4，由已知可知直线PQ的斜率存在，设为k，则直线PQ的方程设为y＝kx＋m.设过A，B，P，Q的曲线方程为(2x＋y－4)(kx－y＋m)＋λ(y2－4x)＝0，方程左边xy的系数为k－2.因为A，B，P，Q的曲线方程为圆，所以k－2＝0，即k＝2，故D正确；对于C，直线PQ的方程为y＝2x＋m，与y2＝4x联立，得y2－2y＋2m＝0，设P，Q的纵坐标为y1，y2，则y1＋y2＝2，故C正确.故选ACD.
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