资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
培优进阶8　三角函数中有关ω的求解(值或范围)(高考超重点)
　　在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，该问题通常会与三角函数的图象和性质综合考查，通常利用图象、性质(周期性、单调性、对称性等)、零点或极值点等相关知识来求ω的范围.但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是复习中的重难点.
题型一　三角函数的周期T与ω的关系
(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω＞0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且｜x1－x2｜的最小值为，则ω＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
解析：因为f(x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，｜x1－x2｜min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.故选B.
　　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立等量关系.
对点练1.已知函数f＝3sin (其中ω＞0)的图象与直线y＝3的两个相邻交点的距离等于2π，则ω的值为(　　)
A. B.2
C.1 D.3
答案：C
解析：由函数f＝3sin 的图象与直线y＝3的两个相邻交点的距离等于2π，又ω＞0，所以T＝2π＝，可得ω＝1.故选C.
题型二　三角函数的单调性与ω的关系
(1)若函数f＝sin在上单调递增，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间上单调，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：(1)B　(2)D
解析：(1)由题意设t＝ωx＋，由x∈，所以t∈，则y＝sin t在上单调递增，所以ω＋≤，解得ω≤1，又ω＞0，所以0＜ω≤1，即实数ω的取值范围是.故选B.
(2)由题意可知f(x)的最小正周期为T＝，因为f(x)在区间上单调，所以T≥－＝π，则≥π，解得0＜ω≤1，当x∈时，ωx＋∈，且＋∈，＋∈，所以＋≤π，解得ω≤，结合0＜ω≤1，得实数ω的取值范围是.故选D.
学生用书 第120页
已知函数在某区间上的单调性求ω的方法
第一步：根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T；
第二步：以正弦型单调递增为例，利用 (k∈Z)，解得ω的取值范围；
第三步：结合第一步求出的ω的取值范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围.
对点练2.已知函数f＝在上单调递减，则正数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：原函数为f＝，相当于把y＝2sin位于x轴下方的图象翻折到上方，则有π－≤· 0＜ω≤1，，当k＝0时，≤ω≤.故选D.
题型三　三角函数的对称性与ω的关系
(1)(2022·全国甲卷文)将函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函数f＝cos(ω＞0)在区间内恰有3条对称轴，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：(1)C　 (2)D
解析：(1)由题意知，曲线C为y＝sin［ω(x＋)＋］＝sin(ωx＋＋).又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z.又ω＞0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C.
(2)因为0≤x≤2π，所以－≤ωx－≤2ωπ－.又函数f＝cos(ω＞0)在区间内恰有3条对称轴，所以2π≤2ωπ－＜3π，解得≤ω＜.故选D.
已知函数的对称性求ω的方法
　　一是掌握对称性与周期的关系：三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为.
　　二是建立并解不等式(组)：解决问题的关键在于运用整体代换的思想建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
对点练3.函数f(x)＝cos(ωx＋)(ω＞0)的图象在区间(0，1)上恰有一个对称中心，则实数ω的取值范围是(　　)
A.(，］ B.(，］
C.(，］ D.(，］
答案：C
解析：由x∈(0，1)，得＜ωx＋＜ω＋，由f(x)的图象在区间(0，1)上恰有一个对称中心，得＜ω＋≤，所以＜ω≤.故选C.
题型四　三角函数的最值与ω的关系
(1)(2025·山东济南二模)已知函数f＝sin(0＜ω＜3)在x＝处取得最大值，则ω＝(　　)
A. B.1
C. D.2
(2)(2025·重庆模拟)记函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T.若f(T)＝，且f≤对 x∈R恒成立，则ω最小值为(　　)
A.2 B.3
C.6 D.9
答案：(1)D　(2)B
解析：(1)由题意得ω－＝＋2kπ，则ω＝2＋6k，k∈Z.又0＜ω＜3，则ω＝2.故选D.
(2)f(T)＝ sin＝sin φ＝φ＝.因为f(x)≤对 x∈R恒成立，所以ω·＋φ＝＋kπ，k∈Z，①φ＝ ω＝3＋9k，k∈Zωmin＝3，②φ＝ ω＝－3＋9k，k∈Zωmin＝6.故选B.
已知函数的最值求ω的方法
1.正、余弦函数的最值一定在对称轴处取到，且正、余弦函数在一个周期内必有一个最大值和最小值. 若在某个区间上只有一个最值，则这个区间比一个周期小，若在某个区间上无最值，则这个区间比半个周期小.
2.利用三角函数的最值与周期或其图象的对称轴的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
注意：函数的最值点、极值点和其图象的对称轴说法是等价的.
对点练4.已知函数f(x)＝cos ωx－2sin 2ωxsin ωx(ω＞0)在上有最小值没有最大值，则实数ω的取值范围是(　　)
A.(，］ B.［，)
C.［，) D.(，］
答案：D
解析：根据题意，f(x)＝cos(2ωx－ωx)－2sin 2ωxsin ωx＝cos(2ωx＋ωx)＝cos 3ωx，当x∈(0，2π)时，3ωx∈(0，6ωπ).若f(x)在上有最小值没有最大值，则π＜6ωπ≤2π，所以＜ω≤.故选D.
题型五　三角函数的零点与ω的关系
(1)(2022·全国甲卷理)设函数f(x)＝sin(ωx＋)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(一题多解)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω＞0)在区间[0，2π]有且仅有 3 个零点，则实数ω的取值范围是　　　　.
答案：(1)C　(2)[2，3)
解析：(1)由题意可得ω＞0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点，知＜ωπ＋≤，得＜ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有两个零点，知2π＜ωπ＋≤3π，得＜ω≤.综上，实数ω的取值范围是.故选C.
(2)法一：函数f(x)的零点满足cos ωx＝1，即ωx＝2kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z).由于ω＞0，所以函数f(x)的非负零点依次为0，，，，….根据题意得≤2π，＞2π，解得2≤ω＜3.
法二：因为 0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得 4π≤2ωπ＜6π，故2≤ω＜3.
已知函数的零点求ω的方法
1.直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解.
2.根据已知区间把ωx＋φ看成整体求出新区间，结合三角函数图象由零点个数与新区间的端点关系求解.
对点练5.(一题多解)函数f＝sin(2ωx－在上单调递增，且在上恰有三个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由2kπ－≤2ωx－≤2kπ＋，k∈Z，ω＞0，可得－≤x≤＋，所以函数f＝sin(2ωx－的单调递增区间是［－，＋］，k∈Z.因为函数f＝sin上单调递增，所以 ，所以≤，所以ω≤.法一：由x∈[0，π]，得2ωx－∈［－，2ωπ－］.根据函数f(x)在区间[0，π]恰有三个零点，知2π≤2πω－＜3π，得≤ω＜.综上，实数ω的取值范围是.故选D.
法二：由2ωx－＝kπ，k∈Z，ω＞0，可得x＝＋，k∈Z，所以函数f＝sin，因为函数f＝sin上恰有三个零点，所以＋≤π，＋＞π，所以≤ω＜，所以≤ω≤，所以实数ω的取值范围是.故选D.
【教师备选】　已知函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω＞0，｜φ｜＜)的图象经过点(0，)，若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由条件可知f(0)＝tan φ＝，｜φ｜＜，所以φ＝，f(x)＝tan.当x∈[0，π]时，ωx＋∈.若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则2π≤ωπ＋＜3π，解得≤ω＜.故选D.
对点练6.(2022·全国乙卷理)记函数f＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为　　　　.
答案：3
解析： 因为f＝cos(ω＞0，0＜φ＜π)，所以最小正周期T＝.因为f＝cos(ω·＋φ)＝cos＝cos φ＝.又0＜φ＜π，所以φ＝，即f＝cos.又x＝为f的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝3＋9k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ωmin＝3.
课时分层测评38　三角函数中有关ω的求解(值或范围)
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：由题设f(x)＝2sin，因为f＝2sin＝0，所以ω＋＝kπ，则ω＝2k－，k∈Z.因为ω＞0，所以ω≥.故选A.
2.已知函数f＝sin在区间上单调，则实数φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为x∈，所以φ＜2x＋φ＜φ＋. 因为y＝sin x在，k∈Z上单调递增，在，k∈Z上单调递减，且＜，所以当－＜φ，φ＋≤时，即－＜φ≤时，函数f上单调递增，则实数φ的取值范围是.故选B.
3.若函数f(x)＝sin(ω＞0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为0≤x≤π，且ω＞0，所以－≤ωx－≤ωπ－，而f(x)在[0，π]上的值域为，f(0)＝sin＝－，所以≤ωπ－≤，整理可得≤ω≤，所以ω的最小值为.故选A.
4.(2025·江西赣州一模)已知函数f＝2cos(ωx＋)，x∈(－π，0)，若f恰有3个极值点，则正数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为ω＞0，所以当x∈(－π，0)时，ωx＋∈(－ωπ＋，).因为f恰有3个极值点，所以－3π≤－ωπ＋＜－2π，解得＜ω≤，即实数ω的取值范围是.故选D.
【教师备选】　函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω＞0)在区间[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A.(，］ B.［，)
C.(，］ D.［，)
答案：B
解析：因为0≤x≤π，所以－≤ωx－≤ωπ－.因为f在区间[0，π]上恰有2个零点，所以π≤ωπ－＜2π ≤ω＜，所以实数ω的取值范围是.故选B.
5.已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－(ω＞0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A.(0，］ B.(0，］∪［，1)
C.(0，］ D.(0，］∪［，］
答案：D
解析：f(x)＝(1－cos ωx)＋sin ωx－＝sin(ωx－)，因为x∈(π，2π)，所以ωx－∈(ωπ－，2ωπ－).因为f(x)在(π，2π)内无零点，故≥π，即0＜ω≤1，且(k∈Z).当k＝－1时，解得ω∈(0，］；当k＝0时，解得ω∈［，］，当k＜－1或k≥1时，不满足题意，故ω∈(0，］∪［，］.故选D.
6.将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，若对满足＝2的x1，x2，总有的最小值等于，则φ＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：函数f(x)＝cos 2x的周期为π，将函数的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象，可得g(x)＝cos(2x－2φ).由｜f－g｜＝2可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且＝.不妨设x1＝0，则x2＝±，即g(x)在x2＝±时取得最小值.由于cos(2×－2φ)＝－1，此时φ＝－－kπ，k∈Z，不合题意；cos＝－1，此时φ＝－π－kπ，k∈Z，当k＝－1时，φ＝满足题意.故选C.
7.(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x＝，则ω的值可能是(　　)
A. B.
C.1 D.
答案：ACD
解析：由题意得所以ω＝，1，.故选ACD.
8.(多选)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，下列说法中正确的是(　　)
A.若ω＝1，则f(x)在(0，)上是增函数
B.若f＝f，则正整数ω的最小值为2
C.若ω＝2，则把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度所得到的图象关于原点对称
D.若f(x)在(0，π)上有且仅有3个零点，则＜ω≤
答案：BD
解析：对于A，若ω＝1，则f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin＝2sin，因为x∈，所以x＋∈，不是单调区间，故A错误；对于B，若f＝f，则f(x)的图象关于x＝对称，所以ω·＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，当k＝0时，正整数ω取得最小值为2，故B正确；对于C，若ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋)，其图象向右平移个单位长度后可得y＝2sin［2(x－)＋］＝2sin的图象，该函数不是奇函数，则图象不关于原点对称，故C错误；对于D，当x∈(0，π)时，ωx＋∈，所以3π＜ωπ＋≤4π，解得＜ω≤，故D正确.故选BD.
9.已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω＞0)，f＝0，f＝，且的最小值为π，则ω＝　　　　.
答案：
解析：f＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)，是函数的最大值.由题意可知，个周期，所以×＝π，得ω＝.
10.若函数f＝sin ωx，x∈，且≤，则实数ω的取值范围是　　　　　　　.
答案：
解析：若＝1，则＝＋kπ，所以ω＝＋3k；若＜1，则＜ ＜ －＜ω＜，所以实数ω的取值范围是.
(11、12题，每小题5分，共10分)
11.(多选)(2025·江苏名校联盟开学考试)设函数f＝sin(ω＞0)，已知f在有且仅有3个零点，则(　　)
A.f在有且仅有2个极大值点
B.f在有且仅有1个极小值点
C.f在单调递增
D.若f在单调递减，则ω的最小值为2
答案：AC
解析：对于A，已知f有且仅有3个零点，则f上有3个或4个极值点，且f上有且仅有2个极大值点，故A正确；对于B，当x∈时，ωx＋∈.因为f有且仅有3个零点，所以3π≤2πω＋＜4π，所以≤ω＜，所以≤ωx＋＜4π.当ωx＋＝时，函数f取得极小值，故f有2个或1个极小值点，故B错误；对于C，当x∈时，ωx＋∈.因为≤ω＜，所以＜＝＜，故f单调递增，故C正确；对于D，因为≤ω＜，故D错误.故选AC.
12.若函数f(x)＝cos ωx(0＜ω＜100)在上至少有两个极大值点和两个零点，则实数ω的取值范围是　　　　　.
答案：∪
解析：令ωx＝2kπ，k∈Z，得f(x)的极大值点为x＝，k∈Z，则存在整数k，使得ω＞0，且＞π，且＜，解得＜ω＜2k(k∈N*).因为函数y＝cos x在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以＜ω＜2k(k∈N*).当k＝1时，＜ω＜2.当k＝2时，＜ω＜4.当k≥2时，＜＜2k.又0＜ω＜100，所以实数ω的取值范围是∪∪∪…∪＝∪.
13.(15分)(交汇融合)(2025·山东泰安三模)已知函数f＝sin，圆C：(x－)2＋y2＝.
(1)若f两条相邻的对称轴与C相切，求ω，φ；
(2)若φ＝，xi是f的极值点，且点有且仅有两个在C的内部，求实数ω的取值范围.
解：(1)函数f，
由题知C的直径为3，所以＝3，解得ω＝.
C的圆心，所以其中一条对称轴为x＝2，
代入f的对称轴方程ωx＋φ＝＋kπ，
解得φ＝－＋kπ.
因为≤，所以φ＝－.
(2)若φ＝，则f的极值点满足ωx＋＝＋kπ，所以x＝.
C左顶点的横坐标为－1，右顶点的横坐标为2，
故原题设等价于有且仅有2个k的值满足－1＜＜2，
整理得－＜k＜，故k能且仅能取0，1两个值，
所以1＜≤2，解得＜ω≤π.
所以实数ω的取值范围是.
(每小题5分，共10分)
14.(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)在上单调，且f＝0，f(x)＝f，则ω的最大值与最小值之和为(　　)
A. B.
C.2 D.
答案：B
解析：由f(x)＝f得f＝f(－x)，即f(x)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，故则ω＝，即ω＝(k＋)(k∈Z)，由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)在上单调，得≥－＝，即≥π，所以0＜ω≤2，0＜≤2，解得－＜k≤，而k∈Z，故k＝0，1，2.当k＝0时，ω＝，则－＋φ＝k1π，k1∈Z，结合0＜φ＜π，得φ＝，此时f(x)＝sin，当x∈时，x＋∈，由于y＝sin x在上单调递增，故f(x)＝sin上单调递增，满足题意；当k＝1时，ω＝1，则－＋φ＝k1π，k1∈Z，结合0＜φ＜π，得φ＝，此时f(x)＝sin(x＋)，当x∈时，x＋∈，由于y＝sin x在上单调递减，故f(x)＝sin(x＋)在上单调递减，满足题意；当k＝2时，ω＝，－＋φ＝k1π，k1∈Z，结合0＜φ＜π，得φ＝，此时f(x)＝sin，当x∈时，x＋∈，由于y＝sin x在上不单调，故f(x)＝sin上不单调，不满足题意.综上，ω＝或1，则ω的最大值与最小值之和为.故选B.
15.设ω∈R，函数f＝
g＝ωx.若f(x)在上单调递增，且函数f与g(x)的图象有三个交点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
答案：B
解析：因为f(x)在(－，)上单调递增，所以－≤－，2sin ≥，即ω≥.当x∈时，ωx＋∈，因为f(x)在上单调递增，所以＋≤，解得ω≤，故≤ω≤，若在x∈上函数f与g(x)的图象有两个交点，即方程x2＋4ωx＋＝ωx在x∈上有两个不同的实数根，即方程3x2＋6ωx＋1＝0在x∈上有两个不同的实数根，所以解得ω＞.当ω∈时，当x≥0时，令f(x)－g＝2sin(ωx＋)－ωx，由f－g＝1＞0，当ωx＋＝时，ωx＝，此时，f－g＝2－＜0，结合图象，所以x≥0时，函数f与g(x)的图象只有一个交点.综上所述，ω∈.故选B.
学生用书 第121页
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑