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培优进阶20　比赛中的概率问题(高考超重点)
　　以游戏或体育比赛为背景的概率问题既能激发学生的学习兴趣，又有益于培养学生分析问题和解决问题的能力，此类概率问题以贴近生活、灵活多变的特点深受命题者的喜爱，在近几年的高考数学试题中屡见不鲜.
题型一　连胜制比赛
1.甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止.已知每局甲获胜的概率为(各局比赛结果相互独立，且无平局)，则在第5局终止比赛且甲获胜的概率为　　　　.
答案：
解析：根据题意，知甲在第3，4，5局获胜，且第2局失败，第1局无论胜负不影响获胜结果，所以P＝×＝.
2.(双空题)甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.若每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则甲在4局内(含4局)赢得比赛的概率为　　　　；用X表示比赛决出胜负时的总局数，则P(X＝5)＝　　　　.
答案：　
解析：第一空：甲在4局内胜可分为三种情况：第一、二局甲胜；第一局乙胜，第二、三局甲胜；第一、三、四局甲胜，第二局乙胜，所以所求概率为P＝＋×＋××＝.
第二空：X＝5说明前面4局没有人连胜，P(X＝5)＝×××＋×××＝.
　　连胜问题，是一种典型的“停止型”问题，即连胜若干局则为胜者，比赛结束.乒乓球、羽毛球比赛等常用此规则.这类问题，侧重于考查推理能力及概率的加法、乘法公式.
题型二　2n－1局n胜制
(2025·辽宁鞍山三模)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为p(0＜p＜1).从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为p2，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为1－p.
(1)当p＝时，求甲第二局获胜的概率；
(2)设甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为.
(ⅰ)求p；
(ⅱ)记这场比赛需要进行的局数为X，求X的分布列与期望.
解：(1)设Ai＝“甲第i局获胜”，其中i＝1，2，3，依题意得P(A1)＝p，
当p＝时，由全概率公式得P(A2)＝P(A1A2)＋P(A2)＝P(A1)P(A2｜A1)＋P()P(A2｜)＝p·p2＋(1－p)2＝＋＝，
所以甲第二局获胜的概率为.
(2)(ⅰ)甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为(1－p)2，
根据题意得(1－p)2＝，解得p＝.
(ⅱ)X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P()＝p·p2＋(1－p)p＝＋×＝，
P(X＝3)＝P(A1A3)＋P(A2A3)＋P(A1)＋P(A2)
＝p(1－p2)(1－p)＋(1－p)(1－p)p2＋p(1－p2)p＋(1－p)(1－p)(1－p2)＝1－p3＋p2－p＝1－＋－＝.
所以X的分布列为
X 2 3
P
所以X的期望E(X)＝2×＋3×＝.
1.(2n－1)局n胜制是典型的n局m胜制比赛，生活中常见的三局两胜、五局三胜、七局四胜等都是这种赛制.参赛双方共进行奇数局比赛，一旦某方获得过半局数的胜利，即终止比赛.因此，若比赛提前结束，则在最后一局中，某方取胜，且其获胜局数恰超过总局数的一半.如：乒乓球、篮球、斯诺克比赛.
2.解法：(1)通法：分类加法、分步乘法计数原理.
(2)看成n重伯努利试验，利用二项分布的公式求解：P(甲胜)＝pn(1－p)n－1＋pn(1－p)n－2＋…＋pn.
学生用书 第310页
对点练1.在2024年巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单1/4决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和.比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分.
(1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到8∶8平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次.根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗憾的是该局比赛结果，樊振东最终以9∶11落败，求其以该比分落败的概率；
(2)在本场比赛中，张本智和先以2∶0领先.根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立.假设两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望.
解：(1)在比分为8∶8后张本智和先发球的情况下，樊振东以9∶11落败的情况分三种：
第一种：后四球樊振东依次为胜败败败，概率为P1＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04，
第二种：后四球樊振东依次为败胜败败，概率为P2＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04，
第三种：后四球樊振东依次为败败胜败，概率为P3＝0.5×0.5×0.6×0.4＝0.06，
所以所求事件的概率为P1＋P2＋P3＝0.14.
(2)随机变量X的可能取值为2，3，4，5.
所以P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×××＝，P(X＝4)＝×××＋＝，
P(X＝5)＝×××＋×××＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
所以数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
题型三　淘汰赛制
(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立.
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
(2)假设0＜p＜q，
(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
解：(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
所以比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686.
(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]·p3.
因为0＜p＜q，
所以P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)·[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]＞0，
所以P甲＞P乙，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15.
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]q·(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]·q2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3，
所以E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q.
若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15.
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，
所以E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)，
因为0＜p＜q≤1，
则p－q＜0，p＋q－3＜1＋1－3＜0，
则(p－q)pq(p＋q－3)＞0，
所以应该由甲参加第一阶段比赛.
学生用书 第311页
　　淘汰类比赛问题，常见的有积分淘汰赛(如奥运会某些项目的小组赛)，单败淘汰赛(如足球世界杯淘汰赛)，双败淘汰赛(如某些电子竞技类比赛)等.淘汰赛制是指在比赛过程中，如果某一场失败，则被淘汰，此类比赛要注意：若某方达到第m阶段，则意味着前m－1个阶段均能通关.
对点练2.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率.
解：(1)甲连胜四场的概率为＝.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为＝；
乙连胜四场的概率为＝；
丙上场后连胜三场的概率为××＝.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为；
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜、胜负空胜、负空胜胜，概率分别为，，.
所以丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
题型四　比分差距制
(2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率.
解：(1)根据题意知，P(X＝2)所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，
所以P(X＝2)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(2)根据题意可知，P(X＝4且甲获胜)包含的事件为“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，
所以P(X＝4且甲获胜)＝0.5×0.6×0.5×0.4＋0.5×0.4×0.5×0.4＝0.1.
　　比分差距制即规定某方比对方多m分即终止比赛.比赛未结束时，两方的分差应该小于m.
学生用书 第312页
对点练3.(2025·山东德州一模)同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束)；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：
1 2 3 4 5 6
甲 25 21 27 27 23 25
乙 18 25 25 25 25 17
假设用频率估计概率，且甲、乙每局的比赛相互独立.
(1)估计甲队每局获胜的概率；
(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小
解：(1)由表可知：6场比赛甲赢了4场，则甲每局获胜的频率为＝，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
可得P(X＝0)＝＋×××＝，P(X＝1)＝×××＝，
P(X＝2)＝×××＝，
P(X＝3)＝×××＋＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，
设第i场甲、乙两队积分分别为Xi，Yi，则Xi＝3－Yi，i＝1，2，
因两队积分相等，所以X1＋X2＝Y1＋Y2，即X1＋X2＝(3－X1)＋(3－X2)，则X1＋X2＝3，
而P(X＝0)＝＋×××＝，
P(X＝1)＝×××＝，
P(X＝2)＝×××＝，
P(X＝3)＝×××＋＝，
所以P(A)＝P(X1＝0)P(X2＝3)＋P(X1＝1)P(X2＝2)＋P(X1＝2)P(X2＝1)＋P(X1＝3)P(X2＝0)
＝×＋×＋×＋×＝.
因为＜，所以两队积分相等的概率小于.
题型五　联赛制
(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(A C)＋P(AB )
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.
(2)根据题意知，X的可能取值为0，10，20，30.
所以P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
所以X的期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
　　联赛制是指参赛队伍在较长周期内通过多轮比赛积累成绩，最终以积分或排名决定胜负，常用于计分类比赛，也是常见的比赛形式，如足球联赛等.
学生用书 第313页
对点练4.某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三(6)班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，，通过第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若高三(6)班获得决赛资格的小组个数为X，求X的分布列；
(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.
解：(1)设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件A1，A2，
则P(A1)＝×＝，P(A2)＝×＝.
根据题意，得X的取值有0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)根据题意，知甲、乙抢到并答对一题的概率分别为P(B1)＝×＝，P(B2)＝×＝，
乙已得100分，甲若想获胜情况有：
①甲得200分：其概率为×＝；
②甲得100分，乙再得－100分，其概率为××＝；
③甲得0分，乙再得－200分，其概率为＝.
故乙先得100分后甲获胜的概率为＋＋＝.
课时分层测评88　比赛中的概率问题
(时间：60分钟　满分：55分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(10分)(2026·安徽蚌埠模拟)某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制.根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立.
(1)求甲代表队夺冠的概率；
(2)比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用.每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球.每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合.记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
解：(1)记甲代表队夺冠为事件A，甲代表队以比分2∶0夺冠为事件A1，比分2∶1夺冠为事件A2，
P(A1)＝0.6×0.6＝0.36，
P(A2)＝0.6×0.4×0.6＝0.288，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.36＋0.288＝0.648，
所以甲代表队夺冠的概率为0.648.
(2)比赛2局结束的概率为0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52，比赛3局结束的概率为1－0.52＝0.48.
随机变量X的可能取值为2，3，4.
所以P(X＝4)＝0.52×＋0.48××＝0.123 2，
P(X＝2)＝0.48××＝0.230 4，
P(X＝3)＝0.52×＋0.48××＋0.48××＝0.646 4.
所以随机变量X的分布列为
X 2 3 4
P 0.230 4 0.646 4 0.123 2
所以X的数学期望E(X)＝2×0.230 4＋3×0.646 4＋4×0.123 2＝2.892 8.
2.(13分)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛，“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为0.6，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.
(1)求甲获得第四名的概率；
(2)求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
解：(1)记“甲获得第四名”为事件A，则P(A)＝(1－0.6)2＝0.16.
(2)记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4.
X＝2为：甲连败两局.所以P(X＝2)＝(1－0.6)2＝0.16.
X＝3为：连胜两局，第三局不管胜负；负、胜、负；胜、负、负.所以P(X＝3)＝0.62＋(1－0.6)×0.6×(1－0.6)＋0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.552.
X＝4为：负、胜、胜，第四局不管胜负；胜、负、胜，第四局不管胜负.所以P(X＝4)＝(1－0.6)×0.6×0.6＋0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P 0.16 0.552 0.288
所以X的数学期望E(X)＝2×0.16＋3×0.552＋4×0.288＝3.128.
3.(15分)(2026·江西新余模拟)某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为，张明每局获胜的概率为，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10万元，若决赛结果为3∶0，则冠军奖金为8万元，亚军奖金为2万元；若决赛结果为3∶1，则冠军奖金为7万元，亚军奖金为3万元；若决赛结果为3∶2，则冠军奖金为6万元，亚军奖金为4万元.求李猛此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望.
解：(1)记事件A：“四局结束比赛”，
则P(A)＝P(李猛赢)＋P(张明赢)＝×××＋×××＝.
(2)根据题意知，X的所有可能的取值为2，3，4，6，7，8.
所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝×××＝，
P(X＝4)＝×××＝，P(X＝6)＝×××＝，
P(X＝7)＝×××＝，
P(X＝8)＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4 6 7 8
P
所以奖金数X的期望E(X)＝2×＋3×＋4×＋6×＋7×＋8×＝(万元).
4.(17分)(2025·山东济宁模拟)奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有16个国家队被分成4个小组，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同(例：若B，C，D三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同).已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立.
(1)假设A球队参与的前3场取得1胜2负的成绩，具体比赛结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，C胜；A与D比赛，A胜.此时，A，B，C各积3分，D积0分，求A球队最终晋级的概率.
(2)假设该小组的前三场比赛结果如下：A与B比赛，B胜；C与D比赛，D胜；A与C比赛，A胜.设小组赛阶段A，D球队的积分之和为X，求X的分布列及期望.
解：(1)在剩下的三场比赛中：
若B与C比赛平局，则B，C积分各加1分，都高于A的积分，A淘汰；
若B与D比赛平局，则C与D比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于A，A淘汰；
若C与D比赛平局，则同理可得A一定会淘汰.
综上，若要A出线，则剩下的三场比赛不可能出现平局，
若B与C比赛，B胜，B与D比赛，B胜，C与D比赛，D胜，则B出线，A，C，D争夺第二名，A出线的概率为×××＝.
若B与C比赛，C胜，B与D比赛，D胜，C与D比赛，C胜，则C出线，A，B，D争夺第二名，A出线的概率为×××＝.
其他情况，A均淘汰.
故A球队最终出线的概率为＋＝.
(2)前三场比赛中A，D球队的积分之和为6，
剩下的三场比赛为A与D比赛，B与D比赛，B与C比赛，其中B与C比赛的结果与A，D球队的积分之和无关.
若A与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为3，B与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为3，则X＝12，其概率为×＝，
若A与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为3，B与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为1，则X＝10，其概率为×＝，
若A与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为3，B与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为0，则X＝9，其概率为×＝，
若A与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为2，B与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为3，则X＝11，其概率为×＝，
若A与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为2，B与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为1，则X＝9，其概率为×＝，
若A与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为2，B与D比赛中，A，D球队得到的积分之和为0，则X＝8，其概率为×＝，
所以X的分布列为
X 8 9 10 11 12
P
所以X的数学期望E(X)＝8×＋9×＋10×＋11×＋12×＝10
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