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圆锥曲线的第二、第三定义
一、圆锥曲线的第二定义
【教材母题】
1.(人教A选择性必修一P113例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
2.(人教A选择性必修一P125例5)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹.
【知能拓展】
圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点的距离与到定直线(定点不在直线上)的距离之比是常数e的点的轨迹为圆锥曲线.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＞1时，轨迹为双曲线；当e＝1时，轨迹为抛物线.其中定点是曲线的焦点，定直线是焦点对应的准线，e是离心率.
【典例应用】
希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线.现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(2x－y＋3)2表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A.(0，8) B.(8，＋∞)
C.(0，5) D.(5，＋∞)
答案：C
解析：已知方程可整理为：m[x2＋(y＋1)2]＝(2x－y＋3)2，则m＞0，所以·＝｜2x－y＋3｜，所以·.设P(x，y)，则其到定点(0，－1)的距离为，到定直线2x－y＋3＝0的距离为，所以点P到定点(0，－1)与到定直线2x－y＋3＝0的距离之比为.因为方程表示的曲线为双曲线，所以＞1，解得0＜m＜5.故选C.
对点练1.已知定点A(1，1)和直线l：x＋y－2＝0，那么到定点A和到定直线l的距离相等的点的轨迹为(　　)
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.直线
答案：D
解析：显然距离比值为1，但由于A(1，1)在直线l上，动点的轨迹为过A且与x＋y－2＝0垂直的直线.故选D.
二、圆锥曲线的第三定义
【教材母题】
1.(人教A选择性必修一P108例3)如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程.
2.(人教A选择性必修一P121【探究】)如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.
【知能拓展】
1.平面内动点到两定点A1(－a，0)，A2(a，0)(或A1(0，－a)，A2(0，a))的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹为椭圆或双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0＜e2＜1时为椭圆，当e2＞1时为双曲线.
学生用书 第240页
2.与第三定义有关的几个结论
(1)AB是椭圆＝1(a＞b＞0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(2)椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，A1，A2为椭圆的长轴(或B1，B2为椭圆的短轴)端点，P点是椭圆上异于长轴(短轴)端点的任一点，则有＝－(或＝－).
(3)椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，P点是椭圆上异于A，B两点的任一点，则有kPAkPB＝－.
(4)AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则kOM·kAB＝.
(5)双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A1，A2为双曲线的实轴(或B1，B2为双曲线的虚轴)端点，P点是双曲线上异于实轴(虚轴)端点的任一点，则有(或).
(6)双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，P点是双曲线上异于A，B两点的任一点，则有kPAkPB＝.
【典例应用】
(1)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为(　　)
A.－ B.－
C. D.
(2)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B.2
C. D.3
答案：(1)B　(2)A
解析：(1)由椭圆的性质可得··＝－＝－.由椭圆的对称性可得，，所以··＝－.同理可得···＝－.所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为＝－.故选B.
(2)如图，·＝0，所以BA⊥BP.令kAB＝k，因为∠ADO＝∠AOD，所以kAP＝－kAB＝－k.又BA⊥BP，所以kPB＝－.根据题意，kPB·kPA＝，所以－·(－k)＝，所以＝1，即e＝.故选A.
对点练2.(2025·山东济宁三模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过坐标原点的直线交C于M，N两点，点M在第一象限，ME⊥x轴，垂足为E，连接NE交C于点G.记直线MN的斜率为k1，直线MG的斜率为k2，则k1·k2＝　　　　.
答案：8
解析：根据题意，设M(x1，y1)，G(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，E(x1，0)，所以－＝1，－＝1，可得b2(－)＝a2(－).因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，所以e2＝1＋＝5，解得＝4，所以kMG·kNG＝·＝4.又kMN＝，kNG＝kNE＝，则kMN＝2kNG，所以k1·k2＝2kNG·kMG＝8.
对点练3.(2019·全国Ⅱ卷节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线.
解：根据题意得·＝－，化简得＝1(｜x｜≠2)，所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左、右顶点.
学生用书 第241页
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