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三角形中的射影定理与正(余)弦平方差公式 一、三角形中的射影定理
【教材母题】
(人教B必修四P10例5)
在△ABC中，求证：a＝bcos C＋ccos B.
【知能拓展】
三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
【典例应用】
(1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·陕西渭南模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcos C＋ccos B＝b，且a＝ccos B，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
(3)(一题多解)(2025·山东菏泽一模)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝(　　)
A. B.3
C. D.2
答案：(1)C　(2)D　(3)D
解析：(1)由射影定理acos B－bcos A＝c＝acos B＋bcos A，则cos A＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
(2)由射影定理bcos C＋ccos B＝a＝b.又a＝ccos B＝ccos B＋bcos C，故cos C＝0.因为C∈，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形.故选D.
(3)法一：因为＝，所以acos C＋ccos A＝3bcos C.由射影定理acos C＋ccos A＝b，得cos C＝.又因为0＜C＜π，所以sin C＞0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2.故选D.
法二：由正弦定理可得＝，所以3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C).又因为sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，0＜B＜π，所以sin B＞0，故3cos C＝1，解得cos C＝.又因为0＜C＜π，所以sin C＞0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2.故选D.
将关系式转化为射影定理的形式，整体代换直接利用公式解决问题；反用公式时注意能否正确应用.
学生用书 第125页
对点练1.△ABC的面积为S.若bcos C＋ccos B＝asin A，S＝，则角B等于　　　　.
答案：
解析：根据题意知bcos C＋ccos B＝a＝asin A， 则sin A＝1，所以A＝，由S＝＝×2bacos C＝×basin C，可得tan C＝1，又0＜C＜，所以C＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝.
对点练2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2，若－＝1，则△ABC面积为　　　　.
答案：
解析：因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以＝＝2bc＝2，解得bc＝1.由射影定理acos B＋bcos A＝c，－＝－＝1，所以acos B－bcos A－b＝c，再用射影定理消去c得，acos B－bcos A－b＝acos B＋bcos A，所以2bcos A＝－b，即cos A＝－.又0＜A＜π，所以sin A＝，故△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝×1×＝.[也可由正弦定理得－＝－＝－＝＝1，变形可得sin(A－B)－sin＝sin B，即－2cos Asin B＝sin B，而0＜sin B≤1，所以cos A＝－.又0＜A＜π，所以sin A＝.]
对点练3.(2025·广东茂名一模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且2bcos C＝acos C＋ccos A.
(1)求C；
(2)若c＝，且△ABC的面积为3，求a，b.
解：(1)因为2bcos C＝acos C＋ccos A，
由射影定理acos C＋ccos A＝b，得cos C＝.
因为C∈，所以C＝.
[也可由正弦定理得2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin＝sin B.
又B∈，所以sin B＞0，所以cos C＝.]
(2)因为c＝，C＝且△ABC的面积为3，
所以a2＋b2－2abcos C＝c2且S△ABC＝absin C＝3，
即
二、正(余)弦平方差公式
【教材母题】
(人教A必修二P53 T16)在△ABC中，求证：c(acos B－bcos A)＝a2－b2.
提示：利用正弦定理，边化角得sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A－sin2B.
【知能拓展】
正、余弦平方差公式
sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，
cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.
【典例应用】
求函数y＝2cos(x＋)cos(x－)＋sin 2x的值域和最小正周期.
解：y＝2cos(x＋)cos(x－)＋sin 2x
＝2(cos2x－sin2)＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2(cos 2x＋sin 2x)
＝2(sin cos 2x＋cos sin 2x)＝2sin(2x＋).
所以y∈[－2，2]，T＝＝π.
故函数y＝2cos(x＋)cos(x－)＋sin 2x的值域为[－2，2]，最小正周期为π.
对点练4.若sin(α＋β)sin(α－β)＝，则cos 2α－cos 2β＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案：D
解析：因为sin(α＋β)sin(α－β)＝，所以sin2α－sin2β＝，即－＝，所以cos 2α－cos 2β＝－ .故选D.
对点练5.求函数y＝sin2(x＋)＋cos2(x－)－1的最大值.
解：原式变形得y＝sin2(x＋)－sin2(x－)
＝sin［(x＋)＋(x－)］sin［(x＋)－(x－)］＝sin 2xsin ＝sin 2x，
所以ymax＝.
学生用书 第126页
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