资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
圆锥曲线中的轨迹问题
【教材母题】
1.(人教A选择性必修一P128T14)已知双曲线－＝1与直线l：y＝kx＋m(k≠±2)有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x，0)，B(0，y)两点.当点M运动时，求点P(x，y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
2.(人教A选择性必修一P146T11)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，求顶点C的轨迹.
【知能拓展】
1.曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程.
2.求曲线方程的基本方法
(1)定义法：若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，于是就确定了曲线的类型与方程的具体结构式，再用待定系数法求解的方法称为定义法.
(2)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，直接将条件翻译成等式，整理化简后即得到动点的轨迹方程.
(3)相关点法(代入法)：如果动点满足的限制条件不容易直接列出等式，但是动点随着另一相关点的运动而运动，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程的方法称为相关点法.
(4)参数法：如果动点本身所满足的条件式中含有一个参数，或在运动过程中受到某个变量的制约，那么以此变量为参数，建立轨迹的参数方程，再设法消去参数，即可得到轨迹的方程，这种方法称为参数法.
(5)交轨法：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹，这种方法称为交轨法.
【典例应用】
技法一　定义法
若动圆与两定圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝49都外切，则动圆圆心的轨迹方程为　　　　　　.
答案：－＝1(x≤－3)
解析：设圆C1为(x＋5)2＋y2＝1，可得圆心C1(－5，0)，半径r1＝1.设圆C2为(x－5)2＋y2＝49，可得圆心C2(5，0)，半径r2＝7，且｜C1C2｜＝10.设动圆圆心为C，半径为r.因为动圆C同时与圆C1和圆C2外切，所以｜CC1｜＝r＋1，｜CC2｜＝7＋r，所以｜CC2｜－｜CC1｜＝6＜｜C1C2｜＝10，所以点C的轨迹是以C1(－5，0)，C2(5，0)为焦点的双曲线的左支，所以a＝3，c＝5，b＝＝4，所以动圆的圆心C的轨迹方程为－＝1(x≤－3).
　　利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
技法二　直接法
已知点A(－2，0)，B(2，0)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，若k2－k1＝1，则点P的轨迹为不包含A，B两点的(　　)
A.直线 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案：D
解析：设P(x，y)，其中x≠±2，y≠0，则－＝1，即＝1，所以y＝x2－1(x≠±2，y≠0)，所以点P的轨迹为不包含A，B两点的抛物线.故选D.
　　直接法求轨迹方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译成代数方程，再建系、设点、列式、代换、化简、证明.最后的证明这一步骤可以省略，求出轨迹的方程后还需注意检验方程的“纯粹性”和“完备性”.
学生用书 第242页
技法三　相关点法(代入法)
(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A.＝1(y＞0) B.＝1(y＞0)
C.＝1(y＞0) D.＝1(y＞0)
(2)已知面积为16的正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
答案：(1)A　(2)B
解析：(1)设点M(x，y)，则P(x，y0)，P'(x，0).因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y).又P在曲线x2＋y2＝16(y＞0)上，所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＝1(y＞0)，即点M的轨迹方程为＝1(y＞0).故选A.
(2)设P(x，y)，不妨令A(x1，0)，B(0，y2)，正方形ABCD的面积为16，则｜AB｜＝4，则＝16.由，可得则()2＋(2y)2＝16，整理得＝1.故选B.
利用相关点法求轨迹方程的基本步骤 第一步(设点)：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)； 第二步(求关系式)：求出两个动点坐标之间的关系式 第三步(代换)：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
技法四　参数法
变量x，y满足(t为参数)，则代数式的取值范围是　　　　.
答案：　［，2］
解析：由消去参数t可得x2＋＝1(x≥0，y≥0)，则M(x，y)的轨迹为椭圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，可看成点A(－2，－2)与点M(x，y)连线斜率，如图，B(1，0)，C(0，2)，
所以kAB＝，kAC＝＝2，则∈［，2］.
1.参数法求动点轨迹方程的一般步骤 第一步：选择坐标系，设动点坐标P(x，y)； 第二步：分析轨迹的已知条件，选定参数(选择参数时要考虑既要有利于建立方程又要便于消去参数)； 第三步：建立参数方程； 第四步：消去参数得到普通方程； 第五步：讨论并判断轨迹. 2.常用的消参方法有：代入消参，加减消参，整体代换法，三角消参法(sin2θ＋cos2θ＝1)等，要特别注意：消参前后变量x，y的取值范围不能改变.
技法五　交轨法
(一题多解)如图，已知椭圆C：＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与点B1，点B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，求动点N的轨迹方程.
解：法一：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，
则直线NB1：y＝－x－3　①.
直线MB1与椭圆C：＝1的交点M的坐标为(，).
则直线MB2的斜率为＝－.
所以直线NB2：y＝2kx＋3　②.
由①②得点N的轨迹方程为＝1(x≠0).
法二：设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0).
根据题意知B1(0，－3)，B2(0，3)，所以，.
因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，
所以直线NB1：y＋3＝－x　①，
直线NB2：y－3＝－x　②，
联立①②，解得
又＝1，所以x＝－，
故＝1，得＝1.
所以动点N的轨迹方程为＝1(x≠0).
1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法. 2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程；如果动点(x0，y0)影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动点(x0，y0)为参数.如果动直线的斜率k影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线的斜率k为参数.如果动直线在y轴上的截矩b影响动点P(x，y)的轨迹，那么就选取动直线在y轴上的截距b为参数.如果动直线的倾斜角α影响动点P(x，y)轨迹，那么就选取动直线的倾斜角α为参数.
学生用书 第243页
对点练1.若点P(x，y)满足方程，则点P的轨迹为(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案：D
解析：等式左侧表示点P(x，y)与点(1，2)间的距离，等式右侧表示P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离，整个等式表示点P(x，y)到点(1，2)的距离和到直线3x＋4y＋12＝0的距离相等，且点(1，2)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以点P轨迹为抛物线.故选D.
对点练2.已知M(－2，0)，N(2，0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.x2＋y2＝16
C.y2－x2＝8 D.x2＋y2＝8
答案：B
解析：设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y).因为·＝12，所以x2－4＋y2＝12，即x2＋y2＝16.故选B.
对点练3.设P为双曲线－y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为(　　)
A.x2－4y2＝1 B.4y2－x2＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1
答案：A
解析：设M(x，y)，由M为线段OP的中点，得P(2x，2y)，代入双曲线方程，得－(2y)2＝1，即x2－4y2＝1.故选A.
对点练4.已知曲线C满足(θ为参数)，P为C上一点，A(0，)，则P与A的最小距离为　　　　.
答案：3－
解析：消参，利用cos2θ＋sin2θ＝＝1，得＝1，曲线C为以(0，±)为焦点的椭圆，所以A(0，)为椭圆的焦点，故｜PA｜min＝a－c＝3－.
对点练5.如图，椭圆C0：＝1(a＞b＞0)，动圆C1：x2＋y2＝，b＜t1＜a.点A1，点A2分别为椭圆C0的左、右顶点.动圆C1与椭圆C0相交于A，B，C，D四点.求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程.
解析：设A(x1，y1)，B(x1，－y1).
因为A1(－a，0)，A2(a，0)，
所以直线A1A的方程为y＝(x＋a)　①，
直线A2B的方程为y＝(x－a)　②.
①×②得y2＝(x2－a2)　③.
又点A(x1，y1)在椭圆C0上，
所以＝1，从而＝b2(1－)，
代入③得－＝1(x＜－a，y＜0)
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970也可联系微信fjshuxue加入网盘群4T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑