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第50讲　直线与圆锥曲线的位置关系
【课程标准】　1.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系，能根据位置关系求参数的值(或范围).　2.会利用方程及数形结合思想、根与系数的关系解决弦长、中点弦问题.　3.理解“设而不求”的思想，能解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的综合应用问题.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.直线与圆锥曲线的相交弦
(1)弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则｜AB｜＝｜x1－x2｜＝或｜AB｜＝｜y1－y2｜＝.
学生用书 第244页
(2)中点弦问题
①利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.
②点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以＝1，－＝1，y2＝2px为例)，椭圆中k＝－·；双曲线中k＝·；抛物线中k＝.
[常用结论]
1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中的通径长为，抛物线中的通径长为2p.
2.抛物线中与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)焦点弦长：｜AB｜＝x1＋x2＋p＝.通径(过焦点垂直于对称轴的弦)长为2p.
(3)焦半径：｜AF｜＝，｜BF｜＝，.
3.若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0).
4.圆锥曲线中的切线问题
(1)椭圆的切线方程：椭圆＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为＝1.
(2)双曲线的切线方程：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1.
(3)抛物线的切线方程：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
【自测诊断】
1.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.过点(1，)的直线一定与椭圆＋y2＝1相交
B.直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切
C.与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点
D.圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦
答案：ACD
2.(链接人教A选择性必修一P114例7)直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值为(　　)
A. B.－
C.± D.±
答案：C
解析：由得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.根据题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，解得k＝±.故选C.
3.(链接人教A选择性必修一P136练习T3)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长为(　　)
A.2 B.4
C.8 D.16
答案：C
解析：联立消去y整理得x2－6x＋1＝0，Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6.又因为直线y＝x－1恰过y2＝4x的焦点，所以｜AB｜＝x1＋x2＋2＝8.故选C.
4.(一题多解)(链接人教A选择性必修一P128T13)已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点A，B是双曲线C上的两点，所以－＝1，－＝1，两式相减得.因为M(3，2)是线段AB的中点，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，所以，所以kAB＝.故选D.
法二：由kAB·kOM＝，得kAB＝·.故选D.
学生用书 第245页
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系 自主练透
1.已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
答案：B
解析：直线l：mx＋y＋2m＝1，即m(x＋2)＋y－1＝0.令则直线l过定点(－2，1).因为1，则该定点在椭圆内，则直线l与椭圆C的位置关系为相交.故选B.
2.已知双曲线C：－＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案：D
解析：根据题意知，双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y＝±x.由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图①)，有两条双曲线右支的切线(图②)，共4条.故选D.
3.已知抛物线方程为y2＝4x，过点P(0，2)的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
答案：D
解析：因为点P(0，2)不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意；当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件；当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，由整理得到k2x2＋(4k－4)x＋4＝0，由解得k＝.综上所述：满足条件的直线有3条.故选D.
4.直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是　　　　　　.
答案：[1，4)∪(4，＋∞)
解析：由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，即解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围是[1，4)∪(4，＋∞).
1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆(圆)必相切；若直线与双曲线(抛物线)有两种可能情况(相切或相交).
考点二　相交弦的有关问题(高考超重点) 多维探究
角度1　中点弦问题
(1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　)
A.(1，1) B.(－1，2)
C.(1，3) D.(－1，－4)
(2)(一题多解)已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为　　　　　　　　.
答案：(1)D　(2)x＋2y－3＝0
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，可得kAB＝，kOM＝.因为A，B在双曲线上，则－＝0，所以kAB·kOM＝＝9.又选项中各点均在双曲线外，所以｜kAB｜＜3，｜kOM｜＞3，结合选项可知，D项符合.故选D.
(2)法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，所以x1＋x2＝.又因为x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意.故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1　①，＝1　②，①－②得＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＋y1－y2＝0.又x1－x2≠0，所以k＝＝－.经检验，k＝－满足题意.所以此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
角度2　弦长问题
已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点P(0，－)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，且｜MN｜＝，求k的值.
解：(1)由离心率e＝，得a＝c，
直线AF的斜率为＝2，解得c＝1，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l：y＝kx－，M(x1，y1)，N(x2，y2).
由x2－4kx＋4＝0.
因为M，N是不同的两点，
所以Δ＝－4×4＞0，得k2＞1，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以｜MN｜＝｜x1－x2｜＝·，整理得17k4－32k2－57＝0，
解得k2＝3或k2＝－(舍去)，所以k＝±.
1.弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系法：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点. (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率. 2.弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当弦所在直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则利用弦长公式求解. (3)当弦过焦点时，求弦长可结合焦点弦公式求解.
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对点练1.已知双曲线方程为x2－＝1，则以A(2，1)为中点的弦所在直线l的方程为(　　)
A.6x＋y－11＝0 B.6x－y－11＝0
C.x－6y－11＝0 D.x＋6y＋11＝0
答案：B
解析：设直线l交双曲线x2－＝1于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－，所以＝6，即直线l的斜率为6，故直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.经检验满足题意.故选B.
【教师备选】　直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m＝(　　)
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案：A
解析：因为x＋4y＋m＝0，所以y＝－x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝－.因为AB中点的横坐标为1，则纵坐标为，将代入直线y＝－x－，解得m＝－2.故选A.
对点练2.(多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则(　　)
A.｜AD｜＝｜AF｜ B.｜AE｜＝｜AB｜
C.｜AB｜≥6 D.｜AE｜·｜BE｜≥18
答案：ACD
解析：对于A，直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，故A正确；对于B，当AB⊥x轴时，A(，3)，B(，－3)，E(－，0)，｜AB｜＝6，｜AE｜＝3，此时｜AE｜≠｜AB｜，故B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；对于D，当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E(－，3m)，｜EF｜＝，S△AEB＝｜AE｜·｜BE｜sin ∠AEB＝｜AB｜·｜EF｜＝(6m2＋6)·＝9(1＋m2＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，故D正确.故选ACD.
对点练3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，｜AB｜＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若｜AB｜＋｜CD｜＝，求直线AB的方程.
解：(1)由题意知e＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知｜AB｜＋｜CD｜＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－(x－1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝·.
同理，｜CD｜＝.
所以｜AB｜＋｜CD｜＝
＝，
解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
考点三　直线与圆锥曲线的综合问题(高考超重点) 师生共研
(2025·全国二卷)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为，求｜AB｜.
[注：本题规范解答见答案]
解：(1)第1步：根据长轴长求a的值
由2a＝4，得a＝2.
第2步：根据离心率及a，b，c之间的关系求b的值
由题意得e＝，则c＝a＝，
又b2＝a2－c2，所以b＝.
第3步：得C的方程
所以C的方程为＝1.
(2)第1步：联立直线与椭圆的方程，得到根与系数的关系
由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＝1消去y并化简得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0.
由Δ＝16(2k2－1)＞0，得k2＞.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
第2步：利用三角形的面积公式求k的值
所以S△OAB＝2×｜x2－x1｜＝，解得k2＝.
第3步：利用弦长公式求｜AB｜
所以｜AB｜＝｜x2－x1｜＝.
解决直线与圆锥曲线的综合问题的策略与方法 1.策略是“直曲联立、韦达定理”. 2.常用方法是“设而不求法”，即联立直线和圆锥曲线的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解. 3.涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情形. 注意：(1)直曲联立后得到一元二次方程，一定要考虑判别式Δ.(2)在直曲联立时，设直线方程有两种常用方法：①若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式能帮大忙”.②若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”.
对点练4.(2025·山东淄博一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，点P(，)在双曲线上.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)点F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，求直线l的方程.
解：(1)根据题意，得，则，即a2＝4b2.
又因为点P(，)在双曲线上，所以－＝1，
解得b2＝1，a2＝4，
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)如图.因为△ABF1的周长为12，所以｜AB｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝12　①.
由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝4，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝4，
所以｜AF1｜＋｜BF1｜－(｜AF2｜＋｜BF2｜)＝｜AF1｜＋｜BF1｜－｜AB｜＝8　②，
所以由①②可得｜AB｜＝2.
由(1)知c2＝a2＋b2＝5，所以F2(，0).
因为直线l的斜率不为0，设l：x＝my＋，
则联立直线与双曲线可得(m2－4)y2＋2my＋1＝0.
当m2－4＝0，即m＝±2，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以m2－4≠0，
y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以｜AB｜＝＝2，
所以＝2，解得m2＝－6(舍去)或，所以m＝±，
故直线l的方程为x＝±y＋，
即3x±y－3＝0.
课时分层测评72　直线与圆锥曲线的位置关系
(时间：60分钟　满分：85分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—8题，每小题5分，共40分)
1.直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则p＝(　　)
A. B.
C.1 D.2
答案：C
解析：由抛物线的对称性知，要使｜AB｜＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为，代入抛物线方程解得p＝1.故选C.
2.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案：C
解析：由题意，知F1(－，0)，F2(，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2，解得m＝－或m＝－3(此时直线与椭圆C不相交，舍去).故选C.
3.已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若＝2，则直线l的方程为(　　)
A.y＝x－1
B.y＝x－1或y＝－x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1
D.y＝x－1
答案：C
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1.联立 (5－k2)x2＋2kx－2＝0，则5－k2≠0，且Δ＝4(10－k2)＞0，x1＋x2＝　①，x1x2＝　②.因为＝2，则－x1＝2x2　③.①③联立解得x1＝，x2＝，代入②得k2＝1 k＝±1，则直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.故选C.
4.(2025·湖北武汉二调)已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若｜AB｜＝12，△OAB面积为4，则p＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.3
答案：A
解析：抛物线y2＝2px的焦点F(，0).设直线AB：x＝ty＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝t(y1＋y2)＋2p＝2p(t2＋1)＝12，即p(t2＋1)＝6，｜y1－y2｜＝＝2p，S△OAB＝｜OF｜｜y1－y2｜＝p2＝4，则p2＝8，因此p3＝64，所以p＝4.故选A.
5.(多选)关于双曲线C：－＝1，下列说法正确的是(　　)
A.该双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线
B.过点F(3，0)作直线l与双曲线C交于A，B，若｜AB｜＝5，则满足条件的直线只有一条
C.若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈
D.过点P(1，2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
答案：ACD
解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，双曲线－＝1的渐近线方程可表示为－＝0，整理后都是y＝±x，故A正确；由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上，所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈，故C正确；由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行(l3，l4)，另外两条与双曲线相切(l1，l2)，故D正确.故选ACD.
6.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)
A.p＝2
B.｜MN｜＝
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案：AC
解析：对于A，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，抛物线C的方程为y2＝4x，故A正确；对于B，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(｜MF｜＋｜NF｜)＝｜MN｜，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C正确；对于D，直线y＝－(x－1)，所以y1＝－(3－1)＝－2，y2＝－(－1)＝，所以｜OM｜＝，｜ON｜＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，故D错误.故选AC.
7.(一题多解)已知倾斜角为的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为　　　　.
答案：－
解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则kAB＝＝1，x0＝，y0＝，所以kOP＝，所以kABkOP＝.将A，B两点坐标代入椭圆方程可得－＝0，所以kABkOP＝＝－，则kOP＝－.
法二：根据题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1.由kAB·kOP＝－，即1×kOP＝－，所以kOP＝－.
8.已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于P，Q两点，当｜PQ｜最小时，四边形F1PF2Q的面积为　　　　.
答案：12
解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x2－8mx－4m2－20＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝8m，x1·x2＝－4m2－20，所以｜PQ｜＝··＝4.当m＝0时，｜PQ｜有最小值4.设F1(－3，0)，F2(3，0)到直线y＝x的距离分别为d1，d2，则d1＝，d2＝，所以四边形F1PF2Q的面积为S＝｜PQ｜·(d1＋d2)＝4()＝12.
9.(10分)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程.
解：(1)根据题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0＜a2＜4)，
将点P(5，)代入上式，得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故双曲线C的方程为－＝1.
(2)根据题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以｜AB｜＝··.
又原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝d·｜AB｜＝·.
又S△OAB＝2，即＝1，
所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*).
故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2.
(10、11题，每小题5分，共10分)
10.已知椭圆C：＝1(a＞)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足｜PA｜＝｜PB｜，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则｜OM｜的最小值为(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
答案：B
解析：由题设，，即＝1－＝1－，可得a2＝6＞2.过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足｜PA｜＝｜PB｜，则P为线段AB的中点，所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1.又＝1，＝1，则＝0，即＝－，所以＝－＝－1，故直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0，所以｜OM｜的最小值为.故选B.
11.(2025·浙江衢州、丽水、湖州二模)已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ：＋y2＝1于A，B两点，交x，y轴分别于C，D两点，且C，D是线段AB的三等分点，则直线l的斜率为　　　　.
答案：
解析：设直线AB为y＝kx＋b，k＞0，若b＝0，此时C，D均与原点重合，｜CD｜＝0，但｜AB｜≠0，故不合要求，所以b≠0.y＝kx＋b与＋y2＝1，联立得(1＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(1＋4k2)(4b2－4)＞0，解得4k2－b2＋1＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，故＝－，y＝kx＋b中，令x＝0得y＝b，故D(0，b)，令y＝0得x＝－，故C(－，0)，CD的中点坐标为(－，)，C，D是线段AB的三等分点，故线段CD的中点为线段AB的中点，故－＝－，解得k＝，负值舍去.
12.(15分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.
解：(1)因为椭圆的离心率为e＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为
y＝k，A(x1，y1)，B，
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称.
当k≠0时，有kAB＝＝－.
设AB中点的坐标为(x0，y0)，
则
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0＝4y0.
又y0＝k，
解得x0＝1，y0＝，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以1，即1，
解得－2＜k＜0或0＜k＜2.
综上，直线l的斜率k的取值范围是(－2，2).
(每小题5分，共10分)
13.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A.1 B.
C. D.2
答案：C
解析：设B(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，由题意，得过点B的切线l的方程为＋y1y＝1.令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，所以△OCD面积S＝.又点B在椭圆上，所以＝1，所以S＝≥2，当且仅当，即x1＝1，y1＝时等号成立，所以△OCD面积的最小值为.故选C.
14.(多选)(2025·山东聊城一模)设动直线l：y＝kx－k＋2与抛物线C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则(　　)
A.直线l经过一定点
B.抛物线C的焦点为(，0)
C.点P到坐标原点的距离不小于
D.△PAB的面积的最小值为3
答案：ACD
解析：根据已知，如图.对于A，l：y＝kx－k＋2化简为k(x－1)＋2－y＝0，无论k为何值时，令2－y＝0，x－1＝0，可得定点为(1，2)，故A正确；对于B，C：x2＝2y的焦点在y轴且2p＝2，所以，所以抛物线C的焦点为(0，)，故B错误；对于C，设l：y＝kx－k＋2，与抛物线方程联立有x2－2kx＋2k－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－4.由y＝ y'＝x，所以PA，PB的斜率分别为x1，x2.又因为y1＝，y2＝，则PA：y＝x1x－，PB：y＝x2x－，联立两直线方程解得x＝＝k，y＝＝k－2，所以P(k，k－2)，点P到坐标原点的距离为≥，当k＝1时点P到坐标原点的最小距离为，故C正确；对于D，P到l的距离为d＝，｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝2·，所以S△PAB＝d｜AB｜＝｜k2－2k＋4｜，当k＝1时＝3，此时S△PAB取最小值3，故D正确.故选ACD.
学生用书 第247页
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