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第14讲　函数的图象
【课程标准】　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数，理解函数图象的作用.　2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
1.描点法作图的流程
2.函数图象的四种变换
[微提醒]　函数图象平移变换的一般规律：①“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系；②“上加下减”只针对函数值f(x).
【常用结论】
1.将y＝f(x)图象的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到函数y＝f(a＞0)的图象.
2.记牢函数图象自身对称和两个函数图象之间对称的有关结论.(见本章第9讲　函数的对称性及其应用)
【自测诊断】
1.(多选)下列结论错误的是(　　)
A.函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到
B.当x∈(0，＋∞)时，函数y＝｜f(x)｜与y＝f(｜x｜)的图象相同
C.函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称
D.若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
答案：ABC
2.(链接人教A必修一P68例5)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)
答案：C
3.(链接人教A必修一P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)
答案：B
4.(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点的(　　)
A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
答案：A
解析：因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象.故选A.
学生用书 第56页
考点一　作函数的图象 自主练透
1.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)
答案：C
解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确.故选C.
2.作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝｜log2(x＋1)｜；
(3)y＝x2－2｜x｜－1；
(4)y＝.
解：(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，
再作出y＝的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，
即得y＝的图象，如图①所示实线部分.
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝｜log2(x＋1)｜的图象，如图②所示.
(3)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，
再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③所示.
(4)y＝＝2＋，
故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位得到，图象如图④所示.
函数图象的画法 注意：画函数的图象一定要注意定义域.
考点二　函数图象的识别(高考超重点) 师生共研
(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　)
(2)(2025·天津卷)已知函数y＝f的图象如图所示，则f的解析式可能为(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
答案：(1)B　(2)D
解析：(1)f＝－x2＋sin＝－x2＋sin x＝f.又函数定义域是，故该函数为偶函数，可排除A、C，又f(1)＝－1＋sin 1＞－1＋sin＝－1－＞－＞0，故可排除D.故选B.
(2)由图可知函数为偶函数，而函数f＝和函数f＝为奇函数，故排除A、B；又当x∈时，1－x2＞0，x2－1＜0，此时f＝＞0，f＝＜0，由图可知当x∈时，f＜0，故C不符合，D符合.故选D.
1.由函数解析式确定函数图象的两个关键点 (1)利用函数的解析式，判断函数的奇偶性，再根据奇偶函数图象的对称性，排除不合适的选项. (2)利用特值法，根据函数在某区间上的函数值的符号或极限思想，对不合适的选项进行排除. 2.由函数图象判断其解析式的关键 会观图，从图象的左右位置，判断函数的定义域；从图象的上下位置，判断函数的值域；从图象的变化趋势，判断函数的单调性；从图象的对称性，判断函数的奇偶性.从而把不合适的解析式排除.
学生用书 第57页
对点练1.(2025·河南九师联盟二模)已知y＝1－alog2x是减函数，则函数f＝的大致图象为(　　)
答案：B
解析：因为y＝1－alog2x是减函数，且y＝log2x是增函数，所以a＞0.因为f＝又当x＞0时，f＝－，所以函数f的图象是对称轴为直线x＝＞0，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.故选B.
对点练2.如图，已知函数f的图象关于坐标原点O对称，则函数f的解析式可能为(　　)
A.f＝x2
B.f＝xln
C.f＝
D.f＝
答案：D
解析：由题意得f为奇函数，即f＝－f，定义域是∪.对于A，由f＝x2定义域是R，不符合，故A错误；对于B，由f＝xln∪，且f＝ln＝－xln＝－f，但x趋向于＋∞时，f趋向于＋∞，不符合图象，故B错误；对于C，由f＝∪，且f＝＝－＝－f，但f＝＞0在x∈上恒成立，不符合图象，故C错误；对于D，由f＝∪，且f＝＝－＝－f，符合图象，故D正确.故选D.
考点三　函数图象的应用 多维探究
角度1　研究函数的性质
(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，F(x)＝min{f(x)，g(x)}，则(　　)
A.F(x)是偶函数
B.方程F(x)＝0有三个解
C.F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D.F(x)有4个单调区间
答案：ABD
解析：根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图，由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，故A正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个解，故B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在(－1，0)上单调递减，在[0，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确.故选ABD.
角度2　解不等式
已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)＞2f(x)的解集为(　　)
A.∪
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.∪∪
D.∪∪
答案：C
解析：根据奇函数的图象特征，作出f(x)在(－∞，0)上的图象，如图所示.由x2f(x)＞2f(x)，得(x2－2)f(x)＞0，则或
解得x＜－2或＜x＜2或－＜x＜0，故不等式的解集为∪∪.故选C.
角度3　求参数的取值范围
(1)(多想少算)(2025·八省适应性测试)已知函数f(x)＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1] B.[－2，1]
C.[－1，2] D.[－1，＋∞)
(2)已知函数f＝若对任意的x都有≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：(1)B　(2)B
解析：(1)法一：当x＞2时，f(x)＞0，即当x＞2时，x｜x－a｜－2a2＞0，所以当x＞2时，｜x－a｜＞(*).①当a＝0时，(*)式显然成立.②当a≠0时，令F(x)＝｜x－a｜，g(x)＝(x＞0)，函数F(x)与g(x)的大致图象，如图所示，则F(2)≥g(2)，即｜2－a｜≥，则a2≤｜2－a｜，得－2≤a＜0或0＜a≤1；综上－2≤a≤1.故选B.
法二：当a＞2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2＝当2＜x＜a时，f＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意.当0＜a≤2，x＞2时，f(x)＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1.当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意.当a＜0，x＞2时，f(x)＝x－2a2＝x2－ax－2a2＝＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1.故选B.
【注】两种方法充分体现了多想少算的思想，回归数学本质函数图象解决问题事半功倍.
(2)因为f＝令g(x)＝，作出g(x)的图象，如图所示，令h(x)＝ax，由图知，要使对任意的x都有≥ax恒成立，则必有a≤0，当x≤0时，y1＝x2－4x，由消y得到x2－(4＋a)x＝0，由Δ＝0，得到(4＋a)2＝0，即a＝－4，由图可知－4≤a≤0.故选B.
1.根据函数的图象研究函数性质的方法 (1)观察函数图象是否连续，左右范围以及最高点和最低点，确定定义域、值域. (2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数的奇偶性. (3)根据函数图象上升和下降的情况，确定单调性. 2.利用函数图象研究不等式问题时，当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 3.利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围.
对点练3.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.－2
答案：C
解析：由图象知所以f(x)＝　故f(－3)＝5－6＝－1.故选C.
对点练4.已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　　)
A.(－1，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(0，1)
D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案：D
解析：不等式f(x)＞0等价于不等式2x＞x＋1，作出函数y＝2x和函数y＝x＋1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0，1)和(1，2)，观察函数图象可知，当x＜0或x＞1时，函数y＝2x的图象在函数y＝x＋1图象的上方，此时2x＞x＋1，故不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.
对点练5.设函数f(x)＝｜x2－2x｜－ax－a，其中a＞0，若只存在两个整数x，使得f(x)＜0，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：
解析：f(x)＝｜x2－2x｜－ax－a＜0，则｜x2－2x｜＜ax＋a，分别画出y＝｜x2－2x｜与y＝a(x＋1)的图象，如图所示.
因为只存在两个整数x，使得f(x)＜0，
所以当x＝1时，｜12－2｜＝1，令2a＝1，
解得a＝，经检验，此时有两个整数使f(x)＜0，
即x＝0或x＝2，结合图象可得实数a的取值范围是.
课时分层测评17　函数的图象
(时间：60分钟　满分：80分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(每小题5分，共50分)
1.(2025·山东泰安二模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)
答案：D
解析：当0＜a＜1时，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象如图①所示：
此时答案D满足要求；当a＞1时，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象如图②所示：无满足要求的答案，故选D.
2.将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为(　　)
答案：C
解析：将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln [1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2.根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1，2)，故C正确.故选C.
3.已知图①对应的函数为 y＝f，则图 ②对应的函数是(　　)
A.y＝f B.y＝f
C.y＝f D.y＝－f
答案：A
解析：函数y＝f的图象与函数y＝f的图象关于y轴对称，不满足要求，故B错误；设g＝f，由已知函数g的定义域为R，定义域关于原点对称，g＝f＝f＝g，当x≤0时，函数y＝f的图象与函数y＝f的图象相同，且图象关于y轴对称，故A正确；设h＝f，由已知函数h的定义域为R，定义域关于原点对称，h＝f＝f＝h，当x≥0时，函数y＝f的图象与函数y＝f的图象相同，且图象关于y轴对称，故C错误；函数y＝－f的图象与函数y＝f的图象关于原点对称，故D错误.故选A.
4.已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象为(　　)
答案：D
解析：作出函数f(x)的图象如图所示，则函数f(1－x)的图象可由f(x)的图象通过如下变换得到：首先作出函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，然后将函数图象向右平移1个单位长度，只有D选项符合题意.故选D.
5.若函数f＝的部分图象如图所示，则f＝(　　)
A.－ B.－
C.－ D.－
答案：D
解析：根据函数图象可知x＝2和x＝4不在函数f的定义域内，因此x＝2和x＝4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得f＝.又易知f＝1，可得a＝－1，即f＝－，所以f＝－.故选D.
6.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式最有可能是(　　)
A.f(x)＝x2＋
B.f(x)＝xsin x
C.f(x)＝sin x－xcos x
D.f(x)＝ln ｜x｜
答案：C
解析：由题图可得0在定义域内，A、D选项的解析式的定义域是{x｜x≠0}，故A、D错误；对于B， f(x)＝xsin x的定义域是R，且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，故f(x)＝xsin x为偶函数，故B错误；对于C，f(x)＝sin x－xcos x的定义域是R，f(－x)＝sin(－x)－(－x)cos(－x)＝－sin x＋xcos x＝－f(x)，故f(x)＝sin x－xcos x为奇函数，满足要求.故选C.
7.(多选)对于函数f(x)＝lg(｜x－2｜＋1)，下列说法正确的是(　　)
A.f(x＋2)是偶函数
B.f(x＋2)是奇函数
C.f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D.f(x)没有最小值
答案：AC
解析：f(x＋2)＝lg(｜x｜＋1)为偶函数，故A正确，B错误；作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，故C正确，D错误.故选AC.
8.(多选)(2025·江苏海安、宿迁中学测试)下列可能是函数f＝(其中a，b，c∈)的图象的是(　　)
答案：BCD
解析：对于A，图象关于y轴对称，是常函数，但是f＝不能是常函数，故A错误；对于B，图象关于原点对称，可得函数的定义域是，可得c＝0，b＝0，a＝－1，函数f＝－满足题意，故B正确；对于C，由定义域得c＝1，由图象在y轴截距为正得b＝1，当a＝0时，f＝符合条件，故C正确；对于D，由定义域得c＝－1，由图象在y轴截距为零得b＝0，当a＝1时，f＝符合条件，故D正确.故选BCD.
9.若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点　　　　.
答案：(3，1)
解析：由题意得，函数y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到函数f(4－x).因为点(1，1)关于y轴的对称点为(－1，1)，再向右平移4个单位长度为点(3，1)，所以函数f(4－x)的图象一定经过点(3，1).
10.设函数f(x)＝｜x＋a｜，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
答案：[－1，＋∞)
解析：如图，作出函数f(x)＝｜x＋a｜与g(x)＝x－1的图象.观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此实数a的取值范围是[－1，＋∞).
(每小题5分，共20分)
11.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是(　　)
答案：D
解析：小明沿走时，与O点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点O的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点O的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.故选D.
12.(2025·四川南充三模)函数f的图象如图所示，则f的解析式可能为(　　)
A.f＝ B.f＝
C.f＝ D.f＝
答案：B
解析：由图可知f的图象关于原点对称，则f为奇函数，对于A，f＝定义域是R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝＝f，所以f＝为偶函数，不符合题意，故A错误；对于C，f＝定义域是R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝＝f，所以f＝为偶函数，不符合题意，故C错误；对于D，f＝定义域是R，定义域关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f，所以f＝为奇函数，当x＞0时，ex＞e－x＞0，x2＋2＞0，所以f＞0恒成立，不符合题意，故D错误；故利用排除法可知选项B符合题意.故选B.
13.(多选)已知函数f(x)＝1－的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域为[0，1]，则满足条件的整数对(a，b)可以是(　　)
A.(－2，0) B.(－1，1)
C.(0，2) D.(－1，2)
答案：ACD
解析：显然f(x)＝1－是偶函数，其图象如图所示，
要使值域为[0，1]，且a，b∈Z，则可取a＝－2，b≥0；a＝－1，b≥2；a＝0，b≥2.故选ACD.
14.若函数f(x)＝x(｜x｜－2)在[m，n]上的最小值为－1，最大值为3，则n－m的最大值为　　　　.
答案：4＋
解析：作出函数f(x)＝x(｜x｜－2)＝的图象，如图所示，
当x≥0时，令x(x－2)＝3，得x1＝－1(舍)，x2＝3，当x＜0时，令x(－x－2)＝－1，得x3＝－1－，x4＝－1＋(舍)，结合图象可得(n－m)max＝x2－x3＝3－(－1－)＝4＋.
(每小题5分，共10分)
15.已知函数f(x)＝若f(x)的图象上至少有两对点关于y轴对称，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[0，1]
答案：C
解析：当x＜0时，f(x)＝－，则其关于y轴对称的图象所对应的函数解析式为y＝，x＞0.由题意知，当x＞0时，y＝与y＝｜x－2｜＋a的图象至少有两个交点，即方程＝｜x－2｜＋a在(0，＋∞)内至少有两个不相等的实根，即y＝a与y＝－｜x－2｜＝的图象至少有两个交点.在同一平面直角坐标系中分别作出y＝a与y＝－｜x－2｜(x＞0)的图象，如图所示.由图可知，若直线y＝a与y＝－｜x－2｜(x＞0)的图象至少有两个交点，则0≤a≤.故实数a的取值范围是.故选C.
16.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则实数m的取值范围是　　　　　　.
答案：
解析：因为f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1).因为x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)∈，所以x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈；所以x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0].如图，当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，解得x1＝，x2＝.若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m≤.
学生用书 第58页
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