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培优进阶9　解三角形中的证明及最值(范围)问题
　　解三角形中的证明及最值或范围问题，通常涉及与边长、角度有关的范围问题，或与周长、面积有关的范围问题，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系.
题型一　三角形中的有关证明问题
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)(一题多解)证明：2a2＝b2＋c2.
解：(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝.
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A).
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以sin C＝sin(C－A).
又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，
即A＝2C－π，与A＝联立，解得C＝.
(2)证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B
＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A.
结合正弦定理可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*).
由余弦定理的推论得accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，
将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.
法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路
1.利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)式或以边为研究对象的代数等(不等)式.
2.充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B sin A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
对点练1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2－cos B)＝b(1＋cos A).
(1)(一题多解)证明：△ABC的三边b，a，c成等差数列；
(2)若△ABC的面积为bc，证明△ABC为等边三角形.
证明：(1)法一：因为a(2－cos B)＝b(1＋cos A)，
所以由正弦定理得sin A (2－cos B)＝sin B(1＋cos A)，
即2sin A－sin Acos B＝sin B＋sin Bcos A，
所以2sin A＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin A＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin C.
由正弦定理得2a＝b＋c.
所以△ABC的三边b，a，c成等差数列.
法二：(运用射影定理)因为a(2－cos B)＝b(1＋cos A)，
所以2a＝b＋acos B＋bcos A，所以2a＝b＋c.
所以△ABC的三边b，a，c成等差数列.
(2)因为bcsin A＝bc，所以sin A＝.
因为2a＝b＋c，所以A为锐角，所以A＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc，
又因为a＝，代入化简得b＝c，
所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形.
【教师备选】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cos A＝.
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形.
解：(1)由已知得sin2A＋cos A＝，
即cos2A－cos A＋＝0.
所以(cos A－)2＝0，cos A＝.
由于0＜A＜π，故A＝.
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，
所以sin B－sin(－B)＝sin ，
即sin B－cos B＝，sin(B－)＝.
由于0＜B＜，故B＝.
从而△ABC是直角三角形.
学生用书 第130页
题型二　三角形中的最值(范围)问题(高考超重点)
角度1　利用基本不等式求最值(范围)
(1)(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，且2c－b＝2acos B，则下列结论正确的是(　　)
A.A＝
B.△ABC外接圆的面积为π
C.△ABC面积的最大值为
D.△ABC周长的最大值为3
答案：BCD
解析：对于A，因为2c－b＝2acos B，由余弦定理可得2c－b＝2a×＝，整理可得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，且A∈，所以A＝，故A错误；对于B，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R＝＝＝1，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝π，故B正确；对于C，由b2＋c2－a2＝bc可得b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc，且b2＋c2≥2bc，即3＋bc≥2bc，解得bc≤3，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC面积的最大值为×3×＝，故C正确；对于D，由b2＋c2＝3＋bc可得＝3＋3bc，即bc＝，且bc≤，即≤，解得≤12，即b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为2＋＝3，故D正确.故选BCD.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷节选)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.求的最小值.
解：因为＝＝＝，即sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C，
所以sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜.
而sin B＝－cos C＝sin，[题眼：诱导公式转化]
所以C＝＋B，即有A＝－2B，
所以B∈，C∈，
所以＝＝[题眼：都转化为同一变量表示]
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5.
当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5.
角度2　利用三角函数的性质求最值(范围)
(2025·河北沧州模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围.
解：(1)在锐角三角形ABC中，因为＝，
所以由正弦定理得＝，
故a2＝a，即a＝b2－c2，即ab－a2＝b2－c2，即ab＝a2＋b2－c2，
所以＝1，即＝，
由余弦定理得cos C＝.
因为C∈，所以C＝.
(2)因为c＝2，由正弦定理＝＝＝＝，所以a＝sin A，b＝sin B.
设△ABC的周长为l，
则l＝2＋a＋b＝2＋sin A＋sin B＝2＋sin A＋sin
＝2＋sin A＋＝2＋sin A＋2cos A＋sin A
＝2＋2sin A＋2cos A＝2＋4sin.
因为在锐角三角形ABC中，A∈，B∈，
所以－A∈，解得A∈，
所以A∈，所以A＋∈，
故sin∈，则4sin＋2∈，即l∈，
故△ABC周长的取值范围是.
角度3　构造转化为其他函数求最值(范围)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，asin B＝bcos B.
(1)若C＝，求A；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围.
解：(1)由asin B＝bcos B，根据正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos B，
由于sin B≠0，可知sin A＝cos B，即sin A＝sin，
因为A为钝角，则B为锐角，即B∈，则＋B∈，则A＝＋B，C＝－2B.
由A＝＋B，C＝，A＋B＋C＝π，得A＝.
(2)cos A＋cos B＋cos C＝cos＋cos B＋cos＝－sin B＋cos B＋sin 2B＝cos B－sin B＋2sin Bcos B.
因为C＝－2B为锐角，所以0＜－2B＜，
即0＜B＜，则B＋∈，
设t＝cos B－sin B＝cos∈，
则2sin Bcos B＝1－t2，
所以cos A＋cos B＋cos C＝t＋1－t2＝－＋.
因为t∈(0，1)，则∈，
从而－＋∈.
由此可知，cos A＋cos B＋cos C的取值范围是.
学生用书 第131页
解三角形中最值(范围)问题的解题策略 定基 本量根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围构建函数根据正、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式求最值(范围)(1)若函数关系表示为边的形式，特别出现“b2＋c2”与“bc”，“b＋c”与“bc”之间的等量关系与不等关系，一般利用基本不等式求最值(范围). (2)若函数关系表示为三角形一个角的三角函数形式，一般利用函数思想求解. 此时既要关注函数的有界性、单调性、最值等性质的应用，又要注意题目隐含条件的应用(若出现“三角形为锐角三角形或其他的限制”，一般采用边化角，利用三角函数的范围求出最值(范围)).
对点练2.已知△ABC为锐角三角形，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝cos 2A.
(1)求的取值范围；
(2)若a＝1，求△ABC周长的取值范围.
解：(1)因为△ABC为锐角三角形，所以0＜A＜，0＜B＜，0＜2A＜π.
又因为cos B＝cos 2A，所以B＝2A.
由正弦定理得＝＝＝＝2cos A.
因为△ABC为锐角三角形，
所以
解得＜A＜，
所以＜cos A＜，即＜2cos A＜，
所以的取值范围是(，).
(2)因为a＝1，由(1)知，b＝2cos A，
由正弦定理＝，
得c＝＝＝＝
＝＝4cos2A－1，
故△ABC的周长即a＋b＋c＝4cos2A＋2cos A.
令t＝cos A，由(1)知＜cos A＜，则t∈(，).
因为函数y＝4t2＋2t＝4(t＋)2－在(，)上单调递增，
所以△ABC周长的取值范围是(2＋，3＋).
对点练3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，且＝.
(1)求C；
(2)若G是△ABC内一点且＋＋2＝0，求GC长度的最大值；
(3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
解：(1)因为＝，
整理可得ab＝a2＋b2－c2，
所以cos C＝＝＝.
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)取AB的中点D，
连接CD(图略)，
则＋＝2，
因为＋＋2＝0，所以＝－，
所以G为CD的中点.
又＝＋)，所以＝＋＋2·)＝(b2＋a2＋2abcos ∠ACB)＝(b2＋a2＋ab)，
由余弦定理可得4＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以＝(b2＋a2＋ab)＝(4＋2ab)≤(4＋2×4)＝3，
所以｜｜≤，所以｜｜＝｜｜≤，
所以GC长度的最大值为.
(3)因为c＝2，由正弦定理＝＝＝＝，
所以a＝sin A，b＝sin B.
设△ABC的面积为S△ABC，
所以S△ABC＝absin C＝·sin A·sin B·sin ＝sin A·sin B＝sin Asin
＝sin A＝2sin Acos A＋sin2A
＝sin 2A＋·＝sin 2A－cos 2A＋
＝sin＋.
因为△ABC为锐角三角形，所以＜A＜.
则＜2A－＜，
则＜sin ≤1，
所以＜≤，
所以△ABC面积的取值范围是(，］.
课时分层测评41　解三角形中的证明及最值(范围)问题
(时间：60分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(13分)(多题同解)(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝.若a＝2，求△ABC面积的最大值.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c＝b(sin A＋cos A).若a＋c＝2，求实数b的取值范围.
(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c2＝2a2－2b2，求A－B的最大值.
解：(1)由＝，结合正弦定理得＝＝，
所以tan A＝.
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，
所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，
即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为.
(2)由c＝b，
得sin C＝sin Bsin A＋sin Bcos A，
所以sin＝sin Bsin A＋sin Bcos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B＝sin Bsin A＋sin Bcos A，
所以sin Acos B＝sin Asin B.
又sin A≠0，所以tan B＝.
因为B∈，所以B＝.
因为a＋c＝2，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝－3ac＝4－3ac
≥4－3＝1(当且仅当a＝c时取等号)，
所以b≥1，
又b＜a＋c＝2，
所以实数b的取值范围是.
(3)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
两式相减得2＝2c(acos B－bcos A).
因为c2＝2a2－2b2，所以c＝2(acos B－bcos A).
由正弦定理得sin C＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，
即sin(A＋B)＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，
所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2(sin Acos B－sin Bcos A)，则sin Acos B＝3cos Asin B.
因为在△ABC中，cos A，cos B不同时为0，sin A＞0，sin B＞0，故cos A≠0，cos B≠0，
所以tan A＝3tan B.
又c2＝2a2－2b2＞0，所以a＞b，则A＞B，故0＜B＜，则tan B＞0，
所以tan＝＝＝≤＝，
当且仅当＝3tan B，即tan B＝时，等号成立.
又0＜A－B＜π，所以A－B≤，即A－B的最大值为.
另法：因为c2＝2a2－2b2，所以sin2C＝2sin2A－2sin2B.
由正弦平方差公式得，sin2C＝2sin(A＋B)·sin(A－B).
又sin C＝sin(A＋B)≠0，所以sin C＝2sin(A－B)，即sin(A＋B)＝2sin(A－B)，
整理得sin Acos B＝3cos Asin B.以下同上.
2.(15分)(2025·合肥第一次质量检测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＋b＝2ccos B.
(1)证明：C＝2B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
[注：本题规范解答见答案]
解：(1)证明：第一步：利用正弦定理边化角
因为a＋b＝2ccos B，
所以由正弦定理得sin A＋sin B＝2sin Ccos B，
第二步：利用诱导公式消去A，利用两角和与差的正弦公式化简
所以sin(B＋C)＋sin B＝2sin Ccos B，
即sin B＝sin(C－B)，
第三步：证明C＝2B
所以C－B＝B，或C－B＋B＝π(舍去)，
所以C＝2B.
(2)第一步：用B表示出A和C
由(1)知C＝2B，A＝π－3B.
第二步：求B的范围
因为△ABC为锐角三角形，
所以0＜2B＜，0＜π－3B＜，故B∈(，)，(题眼)
第三步：将所求式子用B表示，求出取值范围
则＝＝＝＝∈(2，2).
3.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)求证：＝；
(2)若△ABC是锐角三角形，A－B＝，a－b＝2，求实数c的取值范围.
解：(1)证明：由两角差的正弦公式，
可得＝.
又由正弦定理和余弦定理，可得
＝＝
＝＝，
所以＝.
(2)由(1)知c＝＝(sin A＋sin B)
＝
＝sin B＋cos B)
＝4＝4sin .
因为△ABC是锐角三角形，所以A＝B＋＜，可得0＜B＜.
又由A＋B＞，可得B＋＋B＞，所以B＞，所以＜B＋＜，
所以＜sin ＜，可得2＜c＜2，
符合c＞a－b＝2.
所以实数c的取值范围是(2，2).
4.(17分)(2025·湖北宜昌二模)如图所示，在△ABC中，sin C＝3sin B，AD平分∠BAC，且AD＝kAC.
(1)若DC＝2，求BC的长度；
(2)求实数k的取值范围；
(3)(一题多解)若S△ABC＝，求k为何值时，BC最短.
解：(1)因为sin C＝3sin B，由正弦定理得c＝3b.
在△ABD中，由正弦定理得＝.
在△ACD中，由正弦定理得＝.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以＝.
因为c＝3b，DC＝2，所以＝3，得BD＝6，所以BC＝8.
(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，设∠BAD＝∠CAD＝θ，
所以AB·ACsin 2θ＝AB·ADsin θ＋AC·ADsin θ.
因为c＝3b，AD＝kAC，
所以3AC·AC·2sin θcos θ＝3AC·kACsin θ＋AC·kACsin θ.
因为sin θ≠0，所以6cos θ＝4k，所以k＝cos θ.
因为θ∈，所以cos θ∈，所以0＜k＜.
所以实数k的取值范围是.
(3)由余弦定理得BC2＝c2＋b2－2cbcos ∠BAC＝2b2(5－3cos ∠BAC).
因为S△ABC＝，所以bcsin∠BAC＝.
因为c＝3b，所以b2＝，
所以BC2＝(5－3cos ∠BAC)＝2·.
法一：令y＝，则ysin ∠BAC＋3cos ∠BAC＝5，
所以sin(∠BAC＋φ)＝5(其中tan φ＝)，
所以当sin(∠BAC＋φ)＝1时，y取得最小值4，
即当∠BAC＋φ＝时，y取得最小值4，此时tan φ＝，
所以cos ∠BAC＝cos＝sin φ＝.
因为cos ∠BAC＝2cos2θ－1，所以2cos2θ－1＝，所以cos θ＝.
由(2)知k＝cos θ，所以k＝×＝，即当k＝时，BC最短.
法二：BC2＝2·＝＝＝＝＝＝8tan θ＋≥8，
当且仅当8tan θ＝，即tan θ＝时，等号成立，故此时cos θ＝，即k＝.
学生用书 第132页
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