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第51讲　圆锥曲线的综合问题
第1课时　求值、证明问题(高考超重点)
　　圆锥曲线中的证明问题主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在直线上，某直线经过某个点，某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系，解决时，主要根据直线、圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用代数式恒等变形及必要的数值计算进行证明.
题型一　圆锥曲线中的求值问题
(2025·浙江绍兴二模)已知椭圆Γ：＝1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(，).
(1)求Γ的方程；
(2)设A，B为Γ的左、右顶点，在过点A且垂直于x轴的直线上任取一点P，过P作Γ的切线，切点为C(异于A)，作CD⊥AB，垂足为D.记△PBC和△PBD的面积分别为S1，S2，求的值.
解：(1)根据题意，知c＝1，且椭圆过点(，)，即a2－b2＝1，＝1，解得a2＝4，b2＝3，
所以Γ的方程为＝1.
(2)由题意知直线PC的斜率存在.
如图，设P(－2，t)，直线PC的方程为y＝k(x＋2)＋t，代入Γ的方程得(3＋4k2)x2＋8k(2k＋t)x＋4(2k＋t)2－12＝0.
因为直线PC与Γ相切，
所以Δ＝64k2(2k＋t)2－4(3＋4k2)[4(2k＋t)2－12]＝0，
化简得4kt＋t2－3＝0，所以k＝，
所以xC＝－，代入直线PC的方程得yC＝.
设PB与CD交于点E，又B(2，0)，则直线PB的方程为y＝－(x－2).
因为xE＝xC＝，
代入直线PB的方程得yE＝，
所以yE＝yC，所以E为CD中点.
因此点C，D到直线PB的距离相等，所以＝1.
　　求值问题往往考查以面积、斜率、坐标、代数式等为背景的问题，对计算能力的要求较高；另外，求值时，也要考虑某些特殊情形，如直线斜率不存在时的特殊值.
对点练1.已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t＞)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值.
解：(1)根据题意，知b＝，c＝，所以a＝＝2，
故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0).
联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.
所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)＞0，即4k2－t2＋2＞0.
由根与系数的关系得
由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，
因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，
所以，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0.
由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，
整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0，
所以2k·＋(t－1)·＝0，解得t＝2.
经检验，t＝2符合题意.
学生用书 第251页
题型二　圆锥曲线中的证明问题
(2025·天津卷)已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P为x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)(一题多解)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB.
解：(1)根据题意，设椭圆＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，
则左焦点F(－c，0)，右顶点A(a，0)，离心率e＝，即a＝2c.
因为P为x＝a上一点，设P(a，m)，
又直线PF的斜率为，则，即，
所以，解得m＝c，则P(a，c)，即P(2c，c).
因为△PFA的面积为，｜AF｜＝a－(－c)＝a＋c＝3c，高为｜m｜＝c，
所以S△PFA＝｜AF｜｜m｜＝3c×c＝，解得c＝1，
则a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＝1.
(2)证明：由(1)可知P(2，1)，F(－1，0)，A(2，0)，
易知直线PB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋t，则1＝2k＋t，即t＝1－2k.
联立消去y得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0.
因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ＝(8kt)2－4(3＋4k2)·(4t2－12)＝0，
即4k2－t2＋3＝0，则4k2－(1－2k)2＋3＝0，解得k＝－，则t＝2，
所以直线PB的方程为y＝－x＋2.
联立则B(1，)，
以下分别用三种方法证明结论：
法一：则＝(2，)，＝(3，1)，＝(3，0)，
所以cos∠BFP＝
＝，
cos∠PFA＝，
则cos∠BFP＝cos∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈(0，)，
所以∠BFP＝∠PFA，即PF平分∠AFB.
法二：则tan∠PFA＝kPF＝，tan∠BFA＝kFB＝，
故tan 2∠PFA＝＝tan∠BFA.
又∠BFA，∠PFA∈，
所以∠BFA＝2∠PFA，即PF平分∠AFB.
法三：则kFB＝，
所以直线FB的方程为y＝(x＋1)，即3x－4y＋3＝0，
则点P到直线FB的距离为d＝＝1，
又点P到直线FA的距离也为1，所以PF平分∠AFB.
树立“转化”意识，证明位置关系
对点练2.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴.
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.
解：(1)由题意，知
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)证明：分析知直线AB的斜率存在.
易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴.
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(1，n)，
联立方程
消去x得y2＋24ty＋36＝0.
所以Δ＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.
因为 N 为线段 FP的中点，F(1，0)，所以N.
由N，Q，B 三点共线，得kBN＝kNQ，即，得－y2＝n，得n＝，
所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝0，
所以n＝y1，所以AQ⊥y轴.
课时分层测评74　求值、证明问题
(时间：60分钟　满分：55分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(10分)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，点A，C分别是E的左、上顶点，，且E的焦距为2.
(1)求E的方程和离心率；
(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k的值.
解：(1)由题意，得A(－a，0)，C(0，b)，
可得，又2c＝2，所以c＝，
可得a2＋b2＝5，a2－b2＝c2＝3，
解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1，离心率为e＝.
(2)由(1)可得C(0，1)，由题意设直线RS的方程为x＝my＋1，则k＝.
设R，S(x2，y2)，
联立整理可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
显然Δ＞0，且y1＋y2＝－，y1y2＝－，
直线CR，CS的斜率k1＝，k2＝，
则k1＋k2＝
＝
＝
＝.
因为k1＋k2＝－3，即－3＝，解得m＝，
所以直线RS的斜率k＝＝3，即k的值为3.
2.(13分)已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，｜AC｜＝4.
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.
解：(1)根据题意，得e＝，则c＝a.
又A，C分别为椭圆的上、下顶点，｜AC｜＝4，
所以2b＝4，即b＝2，所以a2－c2＝b2＝4，
即a2－a2＝a2＝4，则a2＝9.
所以椭圆E的方程为＝1.
(2)证明：因为椭圆E的方程为＝1，所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D(3，0).
因为P为第一象限内E上的动点，
设P(m，n)(0＜m＜3，0＜n＜2)，则＝1，
易得直线BC的斜率kBC＝＝－，
则直线BC的方程为y＝－x－2，
直线PD的斜率kPD＝，
则直线PD的方程为y＝(x－3).
联立即M(，).
而直线PA的斜率kPA＝，则直线PA的方程为y＝x＋2.
令y＝－2，则－2＝x＋2，解得x＝，
即N(，－2).
又＝1，则m2＝9－，8m2＝72－18n2，
所以直线MN的斜率kMN＝
＝
＝
＝
＝
＝.
又直线CD的斜率kCD＝，即kMN＝kCD.
显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD.
3.(15分)已知双曲线E：x2－y2＝1，直线PQ与双曲线E交于P，Q两点，直线MN与双曲线E交于M，N两点.
(1)若直线MN经过坐标原点，且直线PM，PN的斜率kPM，kPN均存在，求kPMkPN；
(2)设直线PQ与直线MN的交点为T(1，2)，且··，证明：直线PQ与直线MN的斜率之和为0.
解：(1)当直线MN经过坐标原点时，M，N两点关于原点对称.
设M，N，P，
于是kPM＝，kPN＝.
因为M，N，P三点都在双曲线x2－y2＝1上，
所以－－，
所以kPMkPN＝·＝1.
(2)证明：已知T(1，2)，由题意可知MN，PQ斜率均存在，
可设直线MN：y－2＝k1(x－1)，直线PQ：y－2＝k2(x－1)，M，N，P，Q(x4，y4)，则，＝(x2－1，y2－2).
联立
整理得x2＋2k1x－－1＝0，
当1－≠0时，Δ＝4＞0.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
于是·
＝
＝·，
同理可得··.
因为··，所以，
整理得，，而k1≠k2，所以k1＋k2＝0.
4.(17分)(2025·山东烟台二模)已知双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，点(，1)在Γ上.
(1)求Γ的方程；
(2)设过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，过Γ的右焦点F2的直线交Γ的右支于点C，D，若以A，B，C，D为顶点的四边形是面积为4的平行四边形，求直线AB的方程.
解：(1)由双曲线Γ：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，点(，1)在Γ上，
可得2c＝4，所以c＝2，且－＝1.
又因为c2＝a2＋b2，即a2＋b2＝4.
联立方程组解得a2＝3，b2＝1，
所以Γ的方程为－y2＝1.
(2)根据题意知，四边形ABCD为平行四边形，可得直线AB与CD平行.
当直线AB斜率不存在时，令x＝2，代入双曲线方程－y2＝1，可得y＝±，
此时四边形ABCD为矩形，面积为4，不合题意；
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y＝k(x＋2)，则直线CD方程为y＝k(x－2)，
直线AB和CD的距离d＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
整理得(1－3k2)x2－12k2x－12k2－3＝0，
则Δ＝12(k2＋1)＞0且，x1＋x2＝，x1x2＝.
又双曲线的渐近线方程为y＝±x，
要使得过Γ的左焦点F1的直线交Γ的左支于点A，B，则必有k2＞，
则｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝
＝，
所以SABCD＝｜AB｜×d＝＝4.
化简可得7k4－8k2＋1＝0，解得k2＝，或k2＝1.
因为k2＞，所以k2＝1，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝±(x＋2)，即x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
学生用书 第252页
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