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培优进阶10　三角形中的高线、中线、角平分线(高考超重点)
　　涉及三角形的高线、中线、角平分线的计算问题是每年高考的重点.通常可以采用“等面积策略”“邻补角策略”“算两次策略”等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.
题型一　三角形中的高线问题
(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
解：(1)因为A＋B＝3C，
所以π－C＝3C，即C＝.
又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
所以sin A＝3cos A，即tan A＝3，所以0＜A＜，
所以sin A＝＝.
(2)由(1)知，cos A＝＝，
由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝＝，
由正弦定理，＝，
可得AC＝＝2，
所以AB边上的高h＝AC· sin A＝2×＝6.
高线问题的解题策略 1.等面积法：(1)AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC. (2)设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝∶∶＝∶∶. 2.射影法：(1)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD. (2)a＝b·cos C＋c·cos B.
对点练1.(2025·江苏宿迁二模)记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，面积为S，且S＝a2sin 2B.
(1)证明：tan B＝3tan A；
(2)(一题多解)若A＝45°，BC边上的高为6，求b.
解：(1)证明：因为S＝a2sin 2B，所以acsin B＝2a2sin Bcos B.
在△ABC中，sin B＞0，所以c＝4acos B.
由正弦定理＝，得sin C＝4sin Acos B.
因为A＋B＋C＝180°，
所以sin C＝sin＝sin＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以4sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即cos Asin B＝3sin Acos B，
所以tan B＝3tan A.
(2)因为A＝45°，所以tan A＝1，由(1)知tan B＝3.
法一：因为tan C＝－tan＝－＝2，
所以△ABC为锐角三角形.
过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，D，E分别为垂足，
由tan A＝1，设AE＝CE＝3x.
因为tan B＝3，所以CE＝3EB＝3x，AD＝3BD＝6，
所以在Rt△ADB中，AD＝6，BD＝2，AB＝4x，所以36＋4＝16x2，解得x2＝，
所以在Rt△AEC中，AC＝＝3，即b＝3.
法二：因为tan B＝＝3，又因为sin2B＋cos2B＝1，解得sin2B＝，cos2B＝.
因为tan B＝3＞0，所以B∈，所以sin B＝，cos B＝.
由S＝a2sin 2B＝a×6，得a2×＝3a，解得a＝5.
由正弦定理＝，得＝，解得b＝3.
学生用书 第133页
题型二　三角形中的中线问题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线.
(1)(一题多解)证明：AD＝；
(2)若A＝，a＝2，求AD的最大值.
解：(1)证明：法一：因为AD为BC边上中线，
所以＝，
＝＋)2
＝(c2＋b2＋2bccos A).
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
所以＝，
所以AD＝.
法二：因为AD为BC边上中线，
在△ABC中，∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
在△ADB和△ADC中，BD＝CD，由余弦定理得
＋＝0，
即2AD2＋BD2＋CD2－AB2－AC2＝0，
所以AD2＝，
即AD＝.
(2)因为A＝，a＝2，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc，
故b2＋c2－4＝bc≤，即b2＋c2≤8，
当且仅当时，即b＝c＝2时等号成立，
所以AD＝＝≤＝，
所以AD的最大值为.
中线问题的解题策略 1.中线长定理法：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)，体现了“算两次”的思想. 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝，联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2.向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A，所以＝(b2＋c2＋2bccos A).
对点练2.(一题多解)(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
解：(1)法一：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，
则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4，
在△ABD中，∠ADB＝，由余弦定理得c2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，
即c2＝4＋1－2×2×1×＝7，解得c＝，则cos B＝＝，
sin B＝＝ ＝，
所以tan B＝＝.
法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，∠ADC＝，AD＝1，
则S△ADC＝AD·DCsin∠ADC＝×1×a×＝a＝S△ABC＝，解得a＝4.
在△ACD中，由余弦定理得b2＝CD2＋AD2－2CD·ADcos∠ADC，
即b2＝4＋1－2×2×1×＝3，解得b＝，又AC2＋AD2＝4＝CD2，则∠CAD＝，C＝，如图，过A作AE⊥BC于E，
于是CE＝ACcos C＝，AE＝ACsin C＝，BE＝，所以tan B＝＝.
(2)法一：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得
整理得a2＋2＝b2＋c2，而b2＋c2＝8，则a＝2.
又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，
所以b＝c＝＝2.
法二：在△ABC中，因为D为BC的中点，则2＝＋，又＝－，
于是4＋＝(＋)2＋(－)2＝2(b2＋c2)＝16，即4＋a2＝16，解得a＝2.
又S△ADC＝××1×sin∠ADC＝，解得sin∠ADC＝1，而0＜∠ADC＜π，于是∠ADC＝，所以b＝c＝＝2.
学生用书 第134页
题型三　三角形中的角平分线问题
(1)(一题多解)(2023·全国甲卷理)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　　　　.
答案：2
解析：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a，
法一：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，故AD＝＝＝2.
法二：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋.由正弦定理可得＝＝，解得sin B＝，sin C＝.因为1＋＞＞，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°.又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B＝bsin.
①求角A的大小；
②(一题多解)若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长.
解：①因为asin B＝bsin，
由正弦定理得sin Asin B＝sin Bsin.
因为sin B≠0，所以sin A＝sin，
所以sin A＝sin A＋cos A，
即sin A＝cos A，所以tan A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
②法一：因为＝＋，
所以AB·AC·sin ∠BAC＝AB·AD·sin∠BAD＋AD·AC·sin ∠DAC，
所以×3×1×sin ＝×3×AD×sin ＋×AD×1×sin，所以AD＝.
法二：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos ＝7，所以BC＝.
在△ABD中，由正弦定理得＝，
在△ADC中，由正弦定理得＝.
因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC，
所以＝＝，所以DC＝.
在△ADC中，由余弦定理得DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，设AD＝x，则＝x2＋1－2x·，即x2－x＋＝0，解得x＝.
在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝－＜0，所以C是钝角，则在△ADC中，AD＞AC，所以AD＝.
法三：在△ABD中，由正弦定理得＝，在△ADC中，由正弦定理得＝.
因为sin ∠BAD＝sin ∠DAC，sin ∠ADB＝sin ∠ADC，
所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋，
所以｜｜2＝＝｜｜2＋｜｜2＋·＝×9＋×1＋×3×1×＝，所以AD＝.
【教师备选】　(2025·四川重点高中五诊)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足－1＝，且A≠C.
(1)求证：B＝2C；
(2)已知BD是∠ABC的平分线，若a＝4，求线段BD长度的取值范围.
解：(1)证明：由题意得＝.
由正弦定理得＝＝.
因为A≠C，则a≠c，
可得＝，整理得b2＝c2＋ac.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，整理得c＝a－2ccos B.
由正弦定理得sin C＝sin A－2sin Ccos B，
故sin C＝sin－2sin Ccos B，整理得sin C＝sin.
又因为△ABC为锐角三角形，则C∈，B∈，可得B－C∈，
所以C＝B－C，即B＝2C.
(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，
所以BD＝＝＝.
因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C，
所以＜C＜，
故＜cos C＜，所以＜BD＜2.
因此线段BD长度的取值范围是.
角平分线问题的解题策略 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1.利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2.(1)内角平分线定理：＝. (2)边与面积的比值：＝. 3.等面积法：因为＋＝，所以c·ADsin＋b·ADsin ＝bcsin A，所以AD＝2bccos ，整理得AD＝(角平分线长公式).
对点练3.(2025·湖南长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，4cos C＝b－csin A.
(1)求A；
(2)已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长.
解：(1)根据题意可得acos C＋csin A＝b.
由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B.
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
故sin Asin C＝cos Asin C.
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则tan A＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为＝＋，
所以bcsin ∠BAC＝AM·c·sin ∠BAM＋AM·b·sin ∠CAM.
又AM平分∠BAC，
所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝，
所以bc×＝×c×＋×b×，
则bc＝(b＋c)，即bc＝(b＋c).
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，
即16＝b2＋c2－bc，
所以16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)，
解得b＋c＝2(负值舍去)，
故△ABC的周长为2＋4.
课时分层测评42　三角形中的高线、中线、角平分线
(时间：60分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1.(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋b＝c.
(1)求A；
(2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长.
解：(1)因为acos B＋b＝c，
由正弦定理可得sin Acos B＋sin B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A，
所以sin B＝sin Bcos A.
又因为0＜B＜π，所以sin B＞0，
所以cos A＝.因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝9＋3－2×3××＝3，
所以a＝.
设△ABC中BC边上的高线长为h，
所以＝bcsin∠BAC＝ah，
解得h＝.故△ABC中BC边上的高线的长为.
2.(15分)(2025·浙江绍兴一模)记△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝a(cos B＋1).
(1)求B；
(2)设CD是△ABC的中线，若CD＝2，a＝2，求b.
解：(1)因为bsin A＝a(cos B＋1)，
所以由正弦定理得sin Bsin A＝sin A(cos B＋1).
又因为sin A＞0，即sin B－cos B＝1，
整理得sin(B－)＝.
又因为0＜B＜π，所以－＜B－＜，所以B－＝，即B＝.
(2)在△BCD中，由余弦定理得cos B＝＝，
可得BD2－2BD－8＝0，解得BD＝4或BD＝－2(舍)，即c＝8.
在△ABC中，由余弦定理可知b2＝22＋82－2×2×8×＝52，解得b＝2.
3.(15分)(2025·吉林长春质量监测(二))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c＝b－acos C，∠BAC的平分线交BC于D，且BD＝2DC.
(1)求∠BAC；
(2)若AC＝3，求AD的长.
[注：本题规范解答见答案]
解：(1)第一步：利用正弦定理将已知条件转化为角的形式
由c＝b－acos C及正弦定理，
得sin C＝sin B－sin∠BAC·cos C，
第二步：将sin B转化成sin(∠BAC＋C)，并且将其展开、化简
即sin C＝sin(∠BAC＋C)－sin ∠BAC·cos C，
sin C＝sin ∠BAC·cos C＋sin C·cos ∠BAC－sin ∠BAC·cos C，
sin C＝sin C·cos ∠BAC.
第三步：求出cos ∠BAC，从而得∠BAC
因为sin C≠0，所以cos ∠BAC＝，
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.
(2)第一步：根据角平分线分线段成比例定理求出AB的长
由角平分线分线段成比例定理得＝，又BD＝2DC，AC＝3，所以AB＝6.
第二步：根据S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，求出AD的长
因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
所以×AB×AC×sin ＝×AB×AD×sin ＋×AC×AD×sin ，
所以6×3×＝6×AD×＋3×AD×，
得3＝AD＋AD，得AD＝2.
4.(17分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求sin A；
(2)若△ABC的面积为，求内角A的角平分线AD长的最大值.
解：(1)由正弦定理得＝，即c2＋b2－a2＝bc，
故cos A＝＝＝.
因为cos A＞0，所以A∈，
所以sin A＝＝＝.
(2)由(1)知sin A＝.
因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝，解得bc＝4.
在△ABD中，由正弦定理得＝.
在△ACD中，由正弦定理得＝.
因为AD为角A的角平分线，所以sin ∠BAD＝sin ∠CAD.
又∠ADB＋∠ADC＝π，所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC，所以＝.
不妨设＝＝k，AC＝m，则AB＝km，故km2＝4.
延长AD至点E，使得＝k，连接CE，如图，
则＝＝k.
又∠ADB＝∠EDC，
所以△ABD∽△ECD，故∠BAD＝∠E，＝k，
则AB∥CE，CE＝m，
则∠ACE＋∠BAC＝π，cos ∠ACE＝－cos ∠BAC＝－.
在△ACE中，由余弦定理得cos ∠ACE＝＝＝－，
即AD2＝.
因为km2＝4，所以AD2＝＝，
其中＋≥2＝，当且仅当＝，即m＝2时，等号成立，
故AD2＝≤，故AD≤.
所以AD长的最大值为.
学生用书 第135页
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