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培优进阶19　圆锥曲线中的交汇创新问题
　　解析几何中的交汇融合创新问题主要有以下几个方面：(1)与圆锥曲线有关的新定义问题；(2)圆锥曲线与数列的交汇问题；(3)圆锥曲线与导数的交汇问题.
题型一　交汇创新问题
(2024·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m，点P1在C上，k为常数，0＜k＜1.按照如下方式依次构造点Pn：过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为.
(1)若k＝，求x2，y2；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对于任意正整数n，Sn＝Sn＋1.
解：将点P1(5，4)的坐标代入C的方程得52－42＝m，解得m＝9，所以C：x2－y2＝9.
(1)过点P1(5，4)且斜率k＝的直线方程为y＝(x－5)＋4，
与C的方程联立，消去y化简可得x2－2x－15＝0，即(x－5)(x＋3)＝0，
所以点Q1的横坐标为－3，将x＝－3代入直线方程，得y＝0，
因此Q1(－3，0)，从而P2(3，0)，
即x2＝3，y2＝0.
(2)证明：由题意，若Pn(xn，yn)，Pn＋1(xn＋1，yn＋1)，则Qn(－xn＋1，yn＋1).
设过点Pn(xn，yn)且斜率为k的直线为ln：
y＝k＋yn，
将ln的方程与C的方程联立，消去y化简可得x2＋(2k2xn－2kyn)x－－9＝0，
由根与系数的关系得－xn＋1＋xn＝－，
所以xn＋1＝＋xn＝.
又Qn在直线ln上，
所以yn＋1＝k＋yn＝－kxn＋1－kxn＋yn.
从而xn＋1－yn＋1＝xn＋1＋kxn＋1＋kxn－yn＝xn＋1＋kxn－yn＝·＋kxn－yn＝·，
易知xn－yn≠0，所以数列{xn－yn}是公比为的等比数列.
(3)证明：由(2)知，数列{xn－yn}是首项为x1－y1＝5－4＝1，公比为的等比数列.
令t＝，由0＜k＜1可知t＞1，则xn－yn＝tn－1，
又－＝9，所以xn＋yn＝，
可得xn＝，yn＝.
所以Pn，Pn＋1(，)，Pn＋2.
所以直线PnPn＋1的方程为x－xn＝，即x－y－
9tn－1＝0.
易知点Pn＋2到直线PnPn＋1的距离
d＝
＝.
又｜PnPn＋1｜＝ ，
则Sn＝·｜PnPn＋1｜·d＝，即Sn为定值，所以Sn＝Sn＋1.
　　本题分层设问，环环相扣，三问都可以通过基本方法简化计算过程；第(2)问利用固定斜率的直线与双曲线交点的性质可以迅速得出结论；第(3)问证明面积相等时，可以将问题转化为证明面积为定值，与变量无关.试题充分体现了“多想少算”的设计理念.
对点练1.(2025·山东威海一模节选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，点P1(，1)在C上，k为常数，k＞0，按如下方式依次构造点Pn(n＝2，3，4，…)，过点Pn－1作x轴的垂线交C于点Qn－1，过Qn－1且斜率为k的直线与C的另一个交点为Pn.记Pn的坐标为(xn，yn).
(1)当k＝2时，求x2，y2；
(2)(一题多解)设an＝xn＋1－xn，证明：数列是等差数列.
解：(1)因为点P1(，1)在C上，所以1＝2p，解得p＝1.
根据题意知Q1的坐标为，直线P2Q1的方程为y＋1＝2.
由解得x2＝2，y2＝2.
(2)证明：法一：根据题意知Qn－1的坐标为(xn－1，－yn－1)，
所以＝2xn－1.
又＝2xn，
两式相减得－＝2(xn－xn－1)，即.
根据题意知＝k，可得yn－yn－1＝，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以yn＝1＋(n－1)，可得xn＝，
所以an＝xn＋1－xn＝，
可得an＋1－an＝，所以数列是等差数列.
法二：根据题意知Qn－1的坐标为(xn－1，－yn－1)，
所以直线Qn－1Pn的方程为y＋yn－1＝k(x－xn－1)，
由可得ky2－2y－2yn－1－2kxn－1＝0.
根据题意知Qn－1，Pn是直线Qn－1Pn与C的公共点，所以yn－yn－1＝，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以yn＝1＋(n－1)，可得xn＝，
所以an＝xn＋1－xn＝，
所以an＋1－an＝，所以数列是等差数列.
学生用书 第259页
题型二　新定义问题
角度1　选填题新定义曲线
(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F(2，0)的距离与到定直线x＝a(a＜0)的距离之积为4，则(　　)
A.a＝－2
B.点(2，0)在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时，y0≤
答案：ABD
解析：对于A，设曲线上的动点P，则x＞－2且＝4.因为曲线过坐标原点，故＝4，解得a＝－2，故A正确；对于B，又曲线方程为＝4，而x＞－2，故＝4.当x＝2，y＝0时，＝8－4＝4，故点在曲线上，故B正确；对于C，由曲线的方程可得y2＝－，取x＝，则y2＝－，而－－1＝－＞0，故此时y2＞1，故曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1，故C错误；对于D，当点在C上时，由C的分析可得－≤，故－≤y0≤，故D正确.故选ABD.
角度2　解答题新定义
(2025·河南焦作二模)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求C的方程；
(2)若C上的两点(x1，y1)，(x2，y2)满足＝－，则称点(x1，y1)，(x2，y2)为C上的一对伴点.设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1.
(ⅰ)证明：点A在C上共有两个伴点；
(ⅱ)设(ⅰ)中的两个伴点分别为G，H，若斜率为的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形MGNH，求四边形MGNH的面积的最大值.
解：(1)设C的半焦距为c(c＞0).
根据题意，得
所以C的方程为＝1.
(2)(ⅰ)证明：根据题意可知点A的坐标为.
设点A在C上的伴点的坐标为(x，y)，
则＝－，即x＋2y＝0，
所以点A在C上的伴点在直线x＋2y＝0上.
联立
解得
所以点A在C上伴点的坐标为，，即点A在C上共有两个伴点.
(ⅱ)设M(xM，yM)，N(xN，yN)，如图，则
两式相减得＋＝0.
由题意，知，则(xM＋xN)＋2(yM＋yN)＝0，
所以线段MN的中点在直线x＋2y＝0上，则线段MN被直线x＋2y＝0平分.
由(ⅰ)可知直线GH的方程为x＋2y＝0.
设点M到直线GH的距离为d，
则四边形MGNH的面积S＝2S△MGH＝2｜GH｜×d＝｜GH｜×d.
又｜GH｜＝，所以S＝d.
设过点M且与直线GH平行的直线l1的方程为x＋2y＝t，
则当l1与C相切时，d取得最大值.
由可得4x2－2tx＋t2－12＝0(*).
令Δ＝4t2－16(t2－12)＝0，解得t＝±4.
故d的最大值为直线x＋2y＝0和直线x＋2y＝4(或x＋2y＝－4)的距离，即为，
所以Smax＝＝4，
即四边形MGNH的面积的最大值为4.
圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新知识的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合.方法总结如下： 1.明确新曲线的特征：理解新运算的算理、符号及其含义(新曲线主要有：卡西尼卵形线、四叶草、双纽线、心形线等). 2.联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系. 3.建立数学模型：根据新的题意，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解. 4.验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求.
学生用书 第260页
对点练2.(多选)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为(x2＋y2)3＝x2y2，则(　　)
A.曲线C有两条对称轴
B.曲线C上的点到原点的最大距离为
C.曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D.四叶草面积小于
答案：BCD
解析：对于A，当x变为－x时，(x2＋y2)3＝x2y2不变，所以四叶草图象关于y轴对称；当y变为－y时，(x2＋y2)3＝x2y2不变，所以四叶草图象关于x轴对称；当y变为x，x变为y时，(x2＋y2)3＝x2y2不变，所以四叶草图象关于y＝x轴对称；当y变为－x，x变为－y时，(x2＋y2)3＝x2y2不变，所以四叶草图象关于y＝－x轴对称；综上可知：有四条对称轴，故A错误；对于B，因为(x2＋y2)3＝x2y2，所以(x2＋y2)3＝x2y2≤()2，所以x2＋y2≤，所以≤，当且仅当x2＝y2＝时取等号，所以最大距离为，故B正确；对于C，设任意一点P(x，y)(x＞0，y＞0)，所以围成的矩形面积为xy.因为(x2＋y2)3＝x2y2，所以x2y2＝(x2＋y2)3≥(2xy)3，所以xy≤，当且仅当x＝y＝时取等号，所以围成的矩形面积的最大值为，故C正确；对于D，由B可知x2＋y2≤，所以四叶草包含在圆x2＋y2＝的内部，因为圆的面积为S＝π·，所以四叶草的面积小于，故D正确.故选BCD.
对点练3.(2025·江苏南京、盐城一模)设M是由直线构成的集合，对于曲线C，若C上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条直线都是C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线.
(1)已知圆C1：x2＋y2＝1为M1的包络曲线，判断直线l：xsin θ－ycos θ＝1(θ为常数，θ∈R)与集合M1的关系；
(2)(一题多解)已知M2的包络曲线为C2：x2＝4y，直线l1，l2∈M2.设l1，l2与C2的公共点分别为P，Q，记l1∩l2＝A，C2的焦点为F.
(ⅰ)证明：｜FA｜是｜FP｜，｜FQ｜的等比中项；
(ⅱ)若点A在圆x2＋(y＋1)2＝1上，求的最大值.
解：(1)圆心C1(0，0)到l的距离d＝＝1，
即直线l与圆C1相切，所以l∈M1.
(2)法一：(ⅰ)证明：由y＝x2，知F(0，1)，C2的准线方程为y＝－1，y'＝x.
设A(s，t)，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
因为l1∈M2，且l1与C2的公共点为P，
所以l1是曲线C2在点P处的切线.
其方程为PA：y＝x1(x－x1)＋y1，即y＝x1x－y1，则t＝x1s－y1(*)，
同理，QA：y＝x2x－y2，则t＝x2s－y2(**)，
由(*)(**)得直线PQ的方程为t＝xs－y，即y＝sx－t.
由消去x整理得y2＋(2t－s2)y＋t2＝0，则y1＋y2＝s2－2t，y1y2＝t2.
又因为｜FP｜＝y1＋1，｜FQ｜＝y2＋1，
则｜FP｜·｜FQ｜＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1＋y2＋y1y2＋1＝s2－2t＋t2＋1＝s2＋(t－1)2.
又因为｜FA｜2＝s2＋(t－1)2，所以｜FA｜2＝｜FP｜·｜FQ｜，
故｜FA｜是｜FP｜，｜FQ｜的等比中项.
(ⅱ)由(ⅰ)知，，
则＝2＋＝2＋.
因为s2＋(t＋1)2＝1，所以s2＋(t－1)2＝1－4t，
则＝2＋.
又因为－2≤t＜0，s2≤1，则≤＝s2≤1.
从而可得≤3，解得≤≤，
当A(1，－1)，P(1－，)或A(－1，－1)，
P(－1，)时右边等号成立，
故.
法二：(ⅰ)证明：根据题意知F(0，1)，y＝，则y'＝.
设P(2m，m2)，Q(2n，n2)，m≠n.
因为l1∈M2，且l1与C2的公共点为P，所以l1是曲线C2在点P处的切线，
所以PA：y－m2＝m(x－2m)，即y＝mx－m2(*)，
同理QA：y＝nx－n2(**)，
联立(*)(**)得x＝m＋n，y＝mn，即A(m＋n，mn)，
所以｜FA｜2＝(m＋n)2＋(mn－1)2＝m2＋n2＋m2n2＋1＝(m2＋1)(n2＋1).
注意到｜FP｜＝m2＋1，｜FQ｜＝n2＋1，因此｜FA｜2＝｜FP｜·｜FQ｜，
所以｜FA｜是｜FP｜，｜FQ｜的等比中项.
(ⅱ)由(ⅰ)知，，设t＝，
则t＋＝2＋
＝2＋≤2＋(m＋n)2.
因为点A(m＋n，mn)在圆x2＋(y＋1)2＝1上，
所以(m＋n)2＋(mn＋1)2＝1，于是(m＋n)2≤1，
从而t＋≤3，
解得≤t≤，即≤≤，
当A(1，－1)，P(1－，)或A(－1，－1)，
P(－1，)时，，
故.
课时分层测评77　圆锥曲线中的交汇创新问题
(时间：60分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(1—3题，每小题5分，共15分)
1.(2025·山东淄博一模)数学中有许多形状优美的曲线.例如曲线：｜x｜n＋｜y｜n＝1(n＞0)，当n＝2时，是我们熟知的圆；当n＝时，曲线E：｜x＋｜y＝1是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计.则下列关于曲线E说法错误的是(　　)
A.曲线E关于x轴对称
B.曲线E上的点到x轴，y轴的距离之积不超过
C.曲线E与｜x｜＋｜y｜＝1有8个交点
D.曲线E所围成图形的面积小于2
答案：C
解析：对于A，在方程＝1中，以x，－y替代x，y，方程不变，所以曲线E关于x轴对称，同理，以－x，y；－x，－y替代x，y，方程均不变，所以曲线E关于y轴，坐标原点对称，如图①，故A正确；对于B，曲线E上点(x，y)到x轴的距离为｜y｜，到y轴的距离为｜x｜，由＝1≥2＝2，当且仅当｜x｜＝｜y｜时取等号，所以｜x｜｜y｜≤，故B正确；对于C，在第一象限内，＝1＜x＋y，所以曲线E在直线x＋y＝1的下方，所以两者有4个交点，分别为(－1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，－1)，故C错误；对于D，如图②，｜x｜＋｜y｜＝1围成的正方形面积为＝2，所以曲线E围成图形的面积小于2，故D正确.故选C.
2.(多选)中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：(x2＋y2)2＝9(x2－y2)是双纽线，则下列结论正确的是(　　)
A.曲线C的图象关于原点对称
B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D.若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案：ACD
解析：对于A，把(－x，－y)代入(x2＋y2)2＝9(x2－y2)得(x2＋y2)2＝9(x2－y2)，所以曲线C的图象关于原点对称，故A正确；对于B，令y＝0解得x＝0或x＝±3，即曲线经过(0，0)，(3，0)，(－3，0)，结合图象，－3≤x≤3，令x＝±1，得y2＝1，令x＝±2，得1＜y2＝2，因此曲线C只能经过3个整点，(0，0)，(3，0)，(－3，0)，故B错误；对于C，由(x2＋y2)2＝9(x2－y2)可得x2＋y2＝≤9，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d＝≤3，即都不超过3，故C正确；对于D，直线y＝kx与曲线(x2＋y2)2＝9(x2－y2)一定有公共点(0，0)，若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则由整理得x4(1＋k2)2＝9x2(1－k2)无非零解，即1－k2≤0，解得k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确.故选ACD.
【教师备选】　在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(－a，0)，F2(a，0)距离之积等于a2(a＞0)的点的轨迹称为“双纽线”.若a＝2，P(x，y)为“双纽线”C上任意一点，则直线y＝x与C的交点有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案：B
解析：根据题意，得·＝4，整理得(x2＋y2)2＝8(x2－y2).
联立得x＝0，所以y＝0.所以直线y＝x与曲线C有一个交点.故选B.
3.(多选)“心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：C1：y＝4＋，C2：y＝4＋和抛物线C3：x2＝2py的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A，B两点，P是C1或C2上的动点，下列说法正确的是(　　)
A.抛物线C3的方程为C3：x2＝4y
B.｜PB｜＋｜FB｜的最小值为5
C.S△PAB的最大值为7
D.若P在C1上，则·的最小值为－4
答案：ABD
解析：C1：y＝4＋可变形为(x－2)2＋(y－4)2＝4(y≥4)，表示以C1(2，4)为圆心，2为半径的圆的上半部分；C2：y＝4＋可变形为(x＋2)2＋(y－4)2＝4(y≥4)，表示以C2(－2，4)为圆心，2为半径的圆的上半部分.对于A，抛物线C3：x2＝2py过点(4，4)，解得p＝2，C3：x2＝4y，故A正确；对于B，抛物线C3：x2＝4y的准线为l'：y＝－1.
如图①，过点B作BB1⊥l'，垂足为B1，则｜BF｜＝｜BB1｜，则｜PB｜＋｜FB｜＝｜PB｜＋｜BB1｜≥dP－l'≥4＋1＝5，故B正确；对于C，不妨设l：y＝kx＋1(k≥0)，显然离l最远的点在C2上，且dP－l≤＋r＝＋2，联立消去y整理得x2－4kx－4＝0，－≤k≤，则xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，则｜AB｜＝＝4(k2＋1).由对称性可只考虑k≥0时情况，B在E点时，kmax＝，所以k∈，所以S△PAB＝｜AB｜×dP－l≤4(k2＋1)(＋2)＝2(2k＋3)＋4(k2＋1).设h(k)＝2(2k＋3)＋4(k2＋1)，易得h(k)在上单调递增，所以S△PAB的最大值为h，故C错误；
对于D，如图②，设AB的中点为M，联立消去y整理得x2－4kx－4＝0，则xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，xM＝＝2k，
yM＝2k2＋1，－≤k≤，所以xM≤，·＝()·()＝｜｜2－｜｜2，｜PM｜＝，｜PM｜最小，即cos∠PC1M最大，也即∠PC1M最小.又AB的中点M位于圆心C1的左侧，故当P在(0，4)位置时，∠PC1M最小，｜PM｜最小，所以｜｜2－｜｜2≥(2k－0)2＋(2k2＋1－4)2－(4k2＋4)2＝4k2＋4k4－12k2＋9－4(1＋k2)2＝－16k2＋5≥－16＋5＝－4，故D正确.故选ABD.
4.(13分)在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的等线.
(1)求E的方程；
(2)若y＝x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积.
解：(1)由题意知F1，F2，显然点P在直线y＝1的上方，故P.
因为直线y＝1为△PF1F2的等线，所以－1＝2，e＝＝2，c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝，
所以E的方程为x2－＝1.
(2)设P(x0，y0)，当m的斜率存在时，设切线m：y－y0＝k，代入x2－＝1，得x2＋2kx－(k2－2kx0y0＋3)＝0，
故[2k(kx0－y0)]2＋4(3－k2)(k2－2kx0y0＋3)＝0，
该式可以看作关于k的一元二次方程k2－2x0y0k＋＋3＝0，
所以k＝，即m的方程为x0x－＝1(*).
当m的斜率不存在时，也成立.
渐近线方程为y＝±x，不妨设A在B上方，
联立得xA＝，xB＝，
故xA＋xB＝＝2x0，
所以P是线段AB的中点.
因为F1，F2到过O的直线距离相等，
则过O点的等线必定满足：A，B到该等线距离相等，
且分居两侧，
所以该等线必过点P，即OP的方程为y＝x，
由故P.
所以yA＝xA＝＋3，
所以yB＝－xB＝－－3，
所以＝6，
所以·
＝2＝12.
5.(15分)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的蒙日圆方程为x2＋y2＝4，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M作椭圆C的两条切线，两切线斜率之积为，求M的轨迹方程Γ.
解：(1)根据题意，得
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)①当切线斜率不存在或为零时，不满足题意.
②当切线斜率存在且不为零时，设点M(x0，y0).
设过点M(x0，y0)的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx＋(y0－kx0).
联立得(3k2＋1)x2＋6k(y0－kx0)x＋3[－1]＝0.
由Δ＝36k2(y0－kx0)2－12(1＋3k2)[(y0－kx0)2－1]＝0，得3k2＋1－(y0－kx0)2＝0，
可得出关于k的二次方程(3－)k2＋2x0y0k＋(1－)＝0　①，
方程①有两个不等根，则≠3，且Δ'＝4－4(3－)(1－)＞0，可得＋3－3＞0.
设过点M的两条切线的斜率分别为k1，k2，可得k1k2＝，整理可得－2＝1.
又因为＋3－3＞0且3－≠0，可得≠3，
即｜x0｜＞且｜x0｜≠，
所以点M的轨迹方程为Γ：x2－2y2＝1(｜x｜＞且｜x｜≠).
6.(17分)(2025·山东临沂二模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，P为圆x2＋(y＋3)2＝1上的动点，｜PF｜的最大值为.
(1)求C的方程；
(2)已知点M1，按照如下方式构造点Mn(n＝1，2，3，4，…)，设直线ln为C在点Mn处的切线，过点Mn作ln的垂线交C于另一点Mn＋1，记Mn的坐标为(xn，yn).
(ⅰ)证明：当n≥1时，｜MnF｜≥2n－1；
(ⅱ)设△MnFMn＋1的面积为Sn，证明：.
解：(1)抛物线C的准线方程为y＝－，
如图，根据题意知＋3＋1＝，解得p＝1，
所以C的方程为x2＝2y.
(2)(ⅰ)证明：设Mn(xn，)，因为y'＝x，
所以点Mn处的切线斜率为xn，所以直线MnMn＋1斜率为－，
所以直线MnMn＋1为y－＝－(x－xn)，
与x2＝2y联立可得－＝－(x－xn)＝，
可得xn＋1＝－－xn，即Mn＋1的横坐标为－－xn，
所以yn＋1＝＋4)＝＋2＝yn＋＋2＞yn＋2，
当n≥2时，有
yn＝(yn－yn－1)＋(yn－1－yn－2)＋…＋(y2－y1)＋y1＞2(n－1)＋＝2n－，
又y1＝，故yn≥2n－(n∈N*)，所以｜MnF｜＝yn＋≥2n－1.
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知直线MnMn＋1的方程为y－＝－(x－xn)，
点F到直线MnMn＋1的距离为，
所以｜MnMn＋1｜＝｜xn＋1－xn｜＝，
所以Sn＝≥＋1.
由(ⅰ)知yn≥2n－(n∈N*)，即≥2n－(n∈N*)，
所以当n≥2时，＞4n－3，
所以当n≥2时，Sn＞＋1＞4n－2＝2(2n－1)，
所以－)，
当n＝1时，，
当n≥2时，－－＋…＋－)
＝，
所以.
学生用书 第261页
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