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章末检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若直线l1：mx＋2y＋1＝0的倾斜角是直线l2：x－y＋1＝0的倾斜角的两倍，则实数m＝(　　)
A.2 B.
C.－2 D.－
2.过直线x＋y＋1＝0与2x－y－4＝0的交点，且一个方向向量v＝(－1，3)的直线方程为(　　)
A.3x＋y－1＝0 B.x＋3y－5＝0
C.3x＋y－3＝0 D.x＋3y＋5＝0
3.已知点A(－5，4)，B(3，－2)，则以AB为直径的圆的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝25
B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝100
D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100
4.“m＝3”是“直线mx＋2y＋3m＝0和直线3x＋(m－1)y－m＋7＝0不重合但平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[－2，2]
6.若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，3)
C.(3，＋∞) D.(0，＋∞)
7.若圆O：x2＋y2＝5与圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝10交于M，N两点，则四边形OMCN的面积为(　　)
A.5 B.5
C.5 D.10
8.已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：x＋y＋1＝0，Q为l上的动点.过点Q作圆C的切线QA，QB，切点为A，B，当|AB|·|CQ|最小时，直线AB的方程为(　　)
A.x＋y－2＝0 B.5x＋5y－12＝0
C.x＋2y－3＝0 D.3x＋6y－8＝0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线l1：xsin α＋y＝0与直线l2：x＋3y＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A.直线l1与直线l2可能相交
B.直线l1与直线l2可能重合
C.直线l1与直线l2可能平行
D.直线l1与直线l2可能垂直
10.已知直线l：4x＋3y＋6＝0与圆C：x2＋y2－2x－8＝0相交于E，F两点，则(　　)
A.圆心C的坐标为(1，0)
B.圆C的半径为2
C.圆心C到直线l的距离为2
D.|EF|＝2
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知O(0，0)，A(2，0)，点P(x，y)满足|PA|＝|PO|，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是(　　)
A.圆C的方程是(x＋2)2＋y2＝8
B.x＋y的取值范围为[－6，2]
C.圆C与圆(x－1)2＋(y－4)2＝8有两条公切线
D.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为±
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出过点(－1，2)且与圆O：x2＋y2＝4相切的一条直线方程　　　　　　　　.
13.已知M，N分别为圆A：x2＋y2＝1与圆B：(x－4)2＋y2＝1上一点，则|MN|的最小值为　　　　.
14.如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD(包含边界和内部，A为坐标原点)，AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是　　　　；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知直线x＋2y－3＝0与直线3x－y－2＝0的交点为P.
(1)直线l1经过P，且与直线l：3x＋4y＋1＝0垂直，求直线l1的方程；
(2)直线l2经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程.
16.(15分)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0).
(1)求△ABC的面积S；
(2)求BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标.
17.(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).
(1)求过点(4，6)的圆的切线方程；
(2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交；
(3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程.
18.(17分)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，过直线l：y＝x上的动点M作圆C的切线，切点分别为P，Q.
(1)当∠PMQ＝时，求出点M的坐标；
(2)经过M，P，C三点的圆是否过定点 若是，求出所有定点的坐标；
(3)求线段PQ的中点N的轨迹方程.
19.(17分)已知圆M：(x－3)2＋y2＝9以及圆C：x2＋y2＝4.
(1)求过点(1，2)，并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；
(2)设D(2，0)，过点D作斜率非0的直线l1，交圆M于P，Q两点.
①过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
②设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
章末检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若直线l1：mx＋2y＋1＝0的倾斜角是直线l2：x－y＋1＝0的倾斜角的两倍，则实数m＝(　　)
A.2 B.
C.－2 D.－
答案　C
解析　因为直线l2的斜率k2＝，对应的倾斜角为，由题意可得，直线l1的倾斜角为，故其斜率k1＝－，解得m＝－2，故选C.
2.过直线x＋y＋1＝0与2x－y－4＝0的交点，且一个方向向量v＝(－1，3)的直线方程为(　　)
A.3x＋y－1＝0 B.x＋3y－5＝0
C.3x＋y－3＝0 D.x＋3y＋5＝0
答案　A
解析　联立得交点坐标为(1，－2)，因为直线的一个方向向量v＝(－1，3)，所以直线的斜率为k＝－3，所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为y＋2＝－3(x－1)，即3x＋y－1＝0，故选A.
3.已知点A(－5，4)，B(3，－2)，则以AB为直径的圆的方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝25
B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝100
D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案　B
解析　设AB中点为O，则O，即O(－1，1)，设圆半径为r，则r＝＝5，则以AB为直径的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25，故选B.
4.“m＝3”是“直线mx＋2y＋3m＝0和直线3x＋(m－1)y－m＋7＝0不重合但平行”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当m＝3时，直线3x＋2y＋9＝0和直线3x＋2y＋4＝0是不重合但平行关系，即满足充分性，当直线mx＋2y＋3m＝0和直线3x＋(m－1)y－m＋7＝0不重合但平行时，有解得m＝3，故满足必要性，故选C.
5.“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点P(x，y)是阴影部分(包括边界)的动点，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[－2，2]
答案　A
解析　记A(2，－1)，则k＝为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切时，k最小，此时设AP：y＋1＝k(x－2)，故＝1，解得k＝或k＝，由图可知k＝需舍去，故kmin＝.当过(0，－2)时，kmax＝.
6.若圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(1，3)
C.(3，＋∞) D.(0，＋∞)
答案　B
解析　由题意，在圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)中，圆心E(0，－2)，半径为r，到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有2个，∵圆心E(0，－2)到直线y＝x＋2的距离为：
d＝＝2，
故由图可知，当r＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有一个点(A点)到直线y＝x＋2的距离等于1；当r＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y＝x＋2的距离等于1；当r的取值范围为(1，3)时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y＝x＋2的距离等于1，故选B.
7.若圆O：x2＋y2＝5与圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝10交于M，N两点，则四边形OMCN的面积为(　　)
A.5 B.5
C.5 D.10
答案　A
解析　O(0，0)，C(－3，4)，|OC|＝＝5，由解得或则|MN|＝＝2，因为OC⊥MN，所以四边形OMCN的面积为|OC|×|MN|＝×5×2＝5，故选A.
8.已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，直线l：x＋y＋1＝0，Q为l上的动点.过点Q作圆C的切线QA，QB，切点为A，B，当|AB|·|CQ|最小时，直线AB的方程为(　　)
A.x＋y－2＝0 B.5x＋5y－12＝0
C.x＋2y－3＝0 D.3x＋6y－8＝0
答案　B
解析　因为圆C：x2＋y2－4x－4y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝4，所以圆心C(2，2)，半径为r＝2，因为QA，QB是圆C的两条切线，则QA⊥AC，QB⊥BC，由圆的知识可知，A，Q，B，C四点共圆，且AB⊥CQ，|QA|＝|QB|，所以|QC|·|AB|＝4S△QAC＝4××|QA|×|AC|＝4|QA|，又|QA|＝，所以当|QC|最小，即QC⊥l时，|QC|·|AB|取得最小值，此时QC的方程为：y－2＝x－2，即y＝x，联立解得x＝y＝－，即Q，所以|QC|＝，中点为，故以|QC|为直径的圆的方程为，即x2＋y2－x－y－2＝0，又圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两圆的方程相减即为直线AB的方程5x＋5y－12＝0，故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线l1：xsin α＋y＝0与直线l2：x＋3y＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A.直线l1与直线l2可能相交
B.直线l1与直线l2可能重合
C.直线l1与直线l2可能平行
D.直线l1与直线l2可能垂直
答案　ABC
解析　直线l1：xsin α＋y＝0的斜率为k1＝－sin α，过定点(0，0)，直线l2：x＋3y＋c＝0斜率为k2＝－，过点(－c，0)，若直线l1与直线l2相交，则sin α≠，而－1≤sin α≤1，即sin α≠可以成立，A正确；若直线l1与直线l2重合，则c＝0，且sin α＝，而－1≤sin α≤1，可以有sin α＝，B正确；若直线l1与直线l2平行，则sin α＝且c≠0，而－1≤sin α≤1，可以有sin α＝，C正确；若直线l1与直线l2垂直，则k1k2＝sin α＝－1，则sin α＝－3，与－1≤sin α≤1矛盾，直线l1与直线l2不可能垂直，D错误，故选ABC.
10.已知直线l：4x＋3y＋6＝0与圆C：x2＋y2－2x－8＝0相交于E，F两点，则(　　)
A.圆心C的坐标为(1，0)
B.圆C的半径为2
C.圆心C到直线l的距离为2
D.|EF|＝2
答案　ACD
解析　对于AB，圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心C(1，0)，半径r＝3，A正确，B错误；对于C，点C(1，0)到直线l：4x＋3y＋6＝0的距离d＝＝2，C正确；对于D，|EF|＝2＝2，D正确，故选ACD.
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，已知O(0，0)，A(2，0)，点P(x，y)满足|PA|＝|PO|，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是(　　)
A.圆C的方程是(x＋2)2＋y2＝8
B.x＋y的取值范围为[－6，2]
C.圆C与圆(x－1)2＋(y－4)2＝8有两条公切线
D.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为±
答案　ABC
解析　对A，设P(x，y)，由|PA|＝|PO|，可得，即(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2，化简可得(x＋2)2＋y2＝8，故A正确；对B，由选项A可知圆C的圆心为(－2，0)，半径r＝2，设x＋y＝z，可知直线x＋y－z＝0与圆C有公共点，则≤2，解得－6≤z≤2，所以x＋y的取值范围为[－6，2]，故B正确；对C，圆C圆心到圆(x－1)2＋(y－4)2＝8圆心(1，4)的距离为＝5，又因为2＋2＝4>5且2－2＝0<5，故两圆相交，有两条公切线，故C正确；对D，当直线l斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意，设直线l：x＝ty＋2，则由题意C到l的距离等于2，即，解得t＝±，故直线斜率为＝±，故D错误，故选ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出过点(－1，2)且与圆O：x2＋y2＝4相切的一条直线方程　　　　　　　　.
答案　y＝2或4x－3y＋10＝0(写出一条即可)
解析　依题意切线的斜率存在，设斜率为k，则切线为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，
则圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝0或k＝，
所以切线方程为y＝2或4x－3y＋10＝0.
13.已知M，N分别为圆A：x2＋y2＝1与圆B：(x－4)2＋y2＝1上一点，则|MN|的最小值为　　　　.
答案　2
解析　因为圆A：x2＋y2＝1，圆B：(x－4)2＋y2＝1，所以圆心A(0，0)，圆A的半径为1；圆心B(4，0)，圆B的半径为1.
两圆心之间的距离为|AB|＝4>1＋1，所以两圆相离.所以|MN|的最小值为4－2＝2.
14.如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD(包含边界和内部，A为坐标原点)，AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点.在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是　　　　；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是　　　　.
答案　x2＋
解析　分别以AD，AB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则E(0，2)，F(0，4)，
设成功点M(x，y)，则，
即，
化简得x2＋，因为点M在矩形场地内，所以0≤x≤，
所以点M的轨迹方程是
x2＋.
当FP与圆x2＋相切时，则有sin ∠AFP＝，
所以∠AFP＝，所以|AP|＝4tan ，又|AD|＝10，
若电子狗在线段FP上总能逃脱，则P点的横坐标取值范围为，
所以|AP|的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知直线x＋2y－3＝0与直线3x－y－2＝0的交点为P.
(1)直线l1经过P，且与直线l：3x＋4y＋1＝0垂直，求直线l1的方程；
(2)直线l2经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程.
解　(1)联立
解得即P(1，1)，
由l1与直线l：3x＋4y＋1＝0垂直可得其斜率为k＝，
所以直线l1的方程为y－1＝(x－1)，
即4x－3y－1＝0.
(2)当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为y＝x；
当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线l2的方程为＝1，
因为a＝b，且＝1，所以a＝b＝2，
故此时直线l2的方程为x＋y－2＝0.
综上可知，直线l2的方程为y＝x或x＋y－2＝0.
16.(15分)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0).
(1)求△ABC的面积S；
(2)求BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标.
解　(1)因为kAC＝，所以直线AC的方程为y＝(x＋1)，即3x－2y＋3＝0.
所以点B到直线AC的距离
d＝.
因为|AC|＝，
所以S△ABC＝|AC|×d＝××＝5.
(2)因为kAC＝，
所以AC边上的高的斜率为k＝－，
所以AC边上的高线的方程为y－1＝－(x－3)，即2x＋3y－9＝0.
因为B(3，1)，C(－1，0)的中点为，又A(1，3)，所以BC边上的中线方程为x＝1，
由解得
所以BC边上的中线与AC边上的高的交点坐标为.
17.(15分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).
(1)求过点(4，6)的圆的切线方程；
(2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交；
(3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程.
解　(1)由题意可得圆心(1，2)，
由点(4，6)在圆上，所以设切线斜率为k，
则k×＝－1 k＝－，
所以直线方程为y－6＝－(x－4)，
即3x＋4y－36＝0.
(2)(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)变形为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得x＝3，y＝1，
所以直线l恒经过点(3，1)，
因为(3－1)2＋(1－2)2<25，所以点(3，1)在圆内部，
所以直线l与圆C恒相交.
(3)当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点(3，1)所在的直线垂直，
设弦的斜率为k1，则k1·＝－1 k1＝2，
弦所在直线方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，
所以圆心到直线的距离为d＝，
所以弦长为2＝4.
18.(17分)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，过直线l：y＝x上的动点M作圆C的切线，切点分别为P，Q.
(1)当∠PMQ＝时，求出点M的坐标；
(2)经过M，P，C三点的圆是否过定点 若是，求出所有定点的坐标；
(3)求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解　(1)圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，
直线l的方程为x－2y＝0，点M在直线l上，设M(2m，m)，
因为∠PMQ＝，由对称性可知∠CMP＝，
由题CP＝1，所以MC＝2，
所以(2m)2＋(m－2)2＝4，
解得m＝0或m＝.
故所求点M的坐标为(0，0)或.
(2)设M(2m，m)，则MC的中点E，因为MP是圆C的切线，
所以经过C，P，M三点的圆是以E为圆心，以ME为半径的圆，
故圆E方程为(x－m)2＋＝m2＋，
化简得x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，此式是关于m的恒等式，
故解得或
所以经过C，P，M三点的圆必过定点(0，2)或.
(3)由
可得PQ：2mx＋(m－2)y＋3－2m＝0，
即m(2x＋y－2)－2y＋3＝0，
由可得PQ过定点R.
因为N为圆E的弦PQ的中点，所以CN⊥PQ，即CN⊥RN，
故点N在以CR为直径的圆上，
点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y＋3＝0.
19.(17分)已知圆M：(x－3)2＋y2＝9以及圆C：x2＋y2＝4.
(1)求过点(1，2)，并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；
(2)设D(2，0)，过点D作斜率非0的直线l1，交圆M于P，Q两点.
①过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
②设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
解　(1)法一　联立两圆方程，
可得消去y整理可得x2－6x＋9＋4－x2＝9，
解得x＝，则y＝±，
则所求圆所过点分别为A(1，2)，A1，A2，
由A1A2的中垂线为x轴，则可设圆心H(a，0)，
由|AH|＝|A1H|，
则，
解得a＝，
故所求圆的半径r1＝，故圆H的标准方程为＋y2＝.
法二　设所求圆的方程为(x－3)2＋y2－9＋λ(x2＋y2－4)＝0，
又过点(1，2)，则4＋4－9＋λ(1＋4－4)＝0，
得λ＝1，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2－9＋x2＋y2－4＝0，
整理成标准方程为＋y2＝.
(2)①由M：(x－3)2＋y2＝9，则圆心M(3，0)，半径r＝3，
由直线l1过点D且斜率非0，
则可设l1：kx－y－2k＝0，
即点M到直线l1的距离d1＝，
故|QP|＝2＝2＝2，
由l1⊥l2，且直线l2过点D，
则可设l2：x＋ky－2＝0，
即点M到直线l2的距离
d2＝，
故|EF|＝2＝2＝2，
故S＝·|EF|·|QP|＝·2·2
＝2≤2＝17，
当且仅当9k2＋8＝8k2＋9，即k＝±1时，取等号，
故四边形EPFQ的面积S的最大值为17.
②设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
设直线PQ：x＝my＋2，
联立消x得(m2＋1)y2－2my－8＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，即＝－，
直线OP的方程为y＝x，
直线BQ的直线方程为y＝(x－6)，
联立
消y得x＝(x－6)，
解得x＝
＝，
由＝－，则my1y2＝－4(y1＋y2)，
即＝－6，
N在定直线x＝－6上.

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