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第二课时　共线向量与共面向量
一、基础巩固
1.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
2.下列命题中正确的是(　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面
C.若两个非零空间向量与满足+=0,则∥
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
3.已知O是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是(　　)
A.=sin α+cos α
B.=sin2α+cos2α
C.=sin α-cos α
D.=sin2α-cos2α
4.在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　)
A.=3-2-
B.+++=0
C.++=0
D.=-+
5.若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是(　　)
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
6.(多选)在以下命题中,不正确的命题是(　　)
A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0
B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
C.若与共线,则AB与CD所在直线平行
D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且=-x+,则实数x的值为(　　)
A. B.- C. D.-
8.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为　　　　.
9.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是　　　　(填“平行”“相等”或“相反”).
10.有下列命题:
①若∥,则A,B,C,D四点共线;
②若∥,则A,B,C三点共线;
③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;
④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.
其中是真命题的序号是　　　　(把所有真命题的序号都填上).
11.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断与是否共线.
二、综合运用
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有=+7+6-4,那么M必(　　)
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　.
14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面.
三、拓展提高
15.已知三棱锥P-ABC的体积为15,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是　　　　.
16.对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D(无三点共线)分别对应着向量a=,b=,
c=,d=.求证:A,B,C,D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α,β,γ,δ,使αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.
第二课时　共线向量与共面向量
一、基础巩固
1.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
答案　A
解析　∵=+=2a+4b=2,
∴A,B,D三点共线.
2.下列命题中正确的是(　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面
C.若两个非零空间向量与满足+=0,则∥
D.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb
答案　C
解析　A中,若b=0,则a与c不一定共线,故A错误;
B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面,故B错误;
C中,∵+=0,∴=-,
∴与共线,故∥,故C正确;
D中,若b=0,a≠0,则不存在λ,使a=λb,故D错误.
3.已知O是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是(　　)
A.=sin α+cos α
B.=sin2α+cos2α
C.=sin α-cos α
D.=sin2α-cos2α
答案　B
解析　在=x+y中,当x+y=1时,A,B,C三点共线.
因为sin2α+cos2α=1,
所以选项B可以判定A,B,C三点共线.
4.在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是(　　)
A.=3-2-
B.+++=0
C.++=0
D.=-+
答案　C
解析　∵++=0,
∴=--,
∴点M与点A,B,C必共面.
5.若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是(　　)
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
答案　C
解析　向量a,b,c不共面,A项,b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面;
B项,a+b+c=(a+b)+c,因此三个向量共面;
C项,若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面;
D项,a-b=2a-(a+b),因此三个向量共面,故选C.
6.(多选)在以下命题中,不正确的命题是(　　)
A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则+++=0
B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
C.若与共线,则AB与CD所在直线平行
D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面
答案　BCD
解析　+++=++=+=0,A正确;
若a,b同向共线,则|a|-|b|<|a+b|,故B不正确;
由向量平行知C不正确;
D中只有x+y+z=1时,才有P,A,B,C四点共面,故D不正确.故选BCD.
7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且=-x+,则实数x的值为(　　)
A. B.- C. D.-
答案　A
解析　=-x+=-x+=-x-.
又∵P是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,
∴-x-=1,解得x=.
8.设e1,e2是不共线的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为　　　　.
答案　-8
解析　因为=-=e1-4e2,
=2e1+ke2,
又A,B,D三点共线,
由向量共线的充要条件得=,
所以k=-8.
9.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则和+的关系是　　　　(填“平行”“相等”或“相反”).
答案　平行
解析　设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),则=+=+=,
所以2=+,
从而∥(+).
10.有下列命题:
①若∥,则A,B,C,D四点共线;
②若∥,则A,B,C三点共线;
③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;
④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.
其中是真命题的序号是　　　　(把所有真命题的序号都填上).
答案　②③④
解析　根据共线向量的定义,若∥,
则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;
因为∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b.
故③正确;易知④也正确.
11.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断与是否共线.
解　连接AC,如图.
∵N是BD的中点,四边形ABCD为平行四边形,
∴N为AC的中点.
又M是AD1的中点,
∴=-
=-
=(-)=,
∴与共线.
二、综合运用
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有=+7+6-4,那么M必(　　)
A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内
C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内
答案　C
解析　=+7+6-4
=++6-4
=++6-4
=+6-4
=11-6-4,
因为11+(-6)+(-4)=1,
于是M,B,A1,D1四点共面.
13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=　　　　.
答案　
解析　∵a,b,c三个向量共面,
∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,
即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k)
=(2m-n)i+(-m+4n)j+(3m-2n)k.
因为i,j,k是不共面向量,
∴∴λ=.
14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面.
证明　令=a,=b,=c.
因为M,N,P,Q均为所在棱的中点,
所以=-=b-a,
=+=a+c,
=++=-a+b+c.
设=λ+μ,
则-a+b+c=λ+μ
=(μ-λ)a+λb+μc,
所以解得
所以=2+,
所以向量,,共面.
又向量,,过同一点M,
所以M,N,P,Q四点共面.
三、拓展提高
15.已知三棱锥P-ABC的体积为15,M是空间中一点,=-++,则三棱锥A-MBC的体积是　　　　.
答案　9
解析　因为=-++,
则15=-+3+4,
即15=--+3+3+4+4,
即9=-+3+4,
所以=-++.
因为-++=1,
则在平面ABC内存在一点D,
使得=-++成立,
即=,所以=,
即=,则=.
又三棱锥P-ABC的体积为15,
则VA-MBC=VP-ABC=×15=9.
16.对于空间某一点O,空间四个点A,B,C,D(无三点共线)分别对应着向量a=,b=,
c=,d=.求证:A,B,C,D四点共面的充要条件是存在四个不全为零的实数α,β,γ,δ,使αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.
证明　(充分性)∵α+β+γ+δ=0,
∴δ=-(α+β+γ),
∴αa+βb+γc+δd
=αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0,
即α(a-d)+β(b-d)+γ(c-d)=0.
∵a-d=,b-d=,c-d=,
∴α+β+γ=0.
又α,β,γ是不全为零的实数,不妨设γ≠0,
则=--.
∴与,共面,即A,B,C,D四点共面.
(必要性)∵A,B,C,D四点共面,且A,B,C三点不共线,
∴与不共线,
因而存在实数x,y,使=x+y,
即d-a=x(b-a)+y(c-a),
∴(x+y-1)a-xb-yc+d=0.
令α=x+y-1,β=-x,γ=-y,δ=1,
则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.1.1.1　 第一课时　空间向量及其线性运算
一、基础巩固
1.下列命题中为真命题的是(　　)
A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
B.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
C.不相等的两个空间向量的模必不相等
D.向量与的长度相等
2.(多选)已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　)
A.(+)+
B.(+)+
C.(-)-
D.(+)+
4.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
5.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于(　)
A. B.3
C.3 D.2
6.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
7.某市119指挥中心接群众报警称:位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病,急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警,3名消防员立即乘车到达B处,马上下车跑步到达C处,再攀爬到塔吊上D处救下发病工人,则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　)
A. B. C. D.
8.设A,B,C,D为空间任意四点,则-+=　　　　.
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于　　　　(用a,b,c表示).
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x=　　　　,y=　　　　.
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个
(2)写出模为 的所有向量.
(3)试写出的所有相反向量.
二、综合运用
12.(多选)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.=b-c
B.=b+c-a
C.=b-c-a
D.=a+b+c
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　(用a,b,c表示).
14.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)+;
(2)++;
(3)--.
三、拓展提高
15.光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼,其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则++=　　　　.
16.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体.
(1)化简++,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上靠近C'的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
1.1.1　 第一课时　空间向量及其线性运算
一、基础巩固
1.下列命题中为真命题的是(　　)
A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆
B.空间非零向量就是空间中的一条有向线段
C.不相等的两个空间向量的模必不相等
D.向量与的长度相等
答案　D
解析　对于选项A,其终点构成一个球面;
对于选项B,空间非零向量能用空间中的一条有向线段表示,但不能说向量就是有向线段;
对于选项C,向量a与向量b不相等,有可能它们的模相等,但方向不同;D正确.
2.(多选)已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
答案　AB
解析　m(a-b)=ma-mb,A正确;
(m-n)a=ma-na,B正确;
若m=0,则a,b不一定相等,C错误;
若a=0,则m,n不一定相等,D错误.
3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量的是(　　)
A.(+)+
B.(+)+
C.(-)-
D.(+)+
答案　ABD
解析　根据空间向量的加法法则及正方体的性质,逐一判断可知A,B,D的运算结果都为,而C中,(-)-=-=,故选ABD.
4.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
答案　D
解析　∵=,∴||=||,AB∥DC,
即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,=.故应选D.
5.已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于(　)
A. B.3
C.3 D.2
答案　B
解析　-+=-(-)=-=+=+2=3.
6.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
答案　A
解析　∵+=+,
∴=,
∴∥且||=||,
∴四边形ABCD为平行四边形.
7.某市119指挥中心接群众报警称:位于C处的某建筑工地塔吊上D处有一建筑工人突发疾病,急需救援.指挥中心马上指示位于A处的市消防队就近出警,3名消防员立即乘车到达B处,马上下车跑步到达C处,再攀爬到塔吊上D处救下发病工人,则在这个救援过程中消防员运动的位移用向量表示为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由消防员的运动过程知++=.
8.设A,B,C,D为空间任意四点,则-+=　　　　.
答案　
解析　-+=++=.
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=a,=b,=c,则等于　　　　(用a,b,c表示).
答案　b-a-c
解析　∵=-=(-)-,==c,
∴=b-a-c.
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x=　　　　,y=　　　　.
答案　1　
解析　因为=+=+=+(+),
且=x+y(+),所以x=1,y=.
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=1.则在以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个
(2)写出模为 的所有向量.
(3)试写出的所有相反向量.
解　(1)由题意知,AA1=1,所以向量,,,,,,,,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.
(2)易知A1D==,
所以模为的向量有,,,,,,,.
(3)根据相反向量的定义,可得向量的所有相反向量为,,,.
二、综合运用
12.(多选)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.=b-c
B.=b+c-a
C.=b-c-a
D.=a+b+c
答案　BD
解析　由已知分析各选项:对于A,由向量的平行四边形法则,得=+=b+c,故A错误;
对于B,由向量的平行四边形法则和三角形法则,
得=-=-
=-=+-=b+c-a,故B正确;
对于C,因为点P在线段AN上,且AP=3PN,
所以==b+c-a,
所以==b+c-a,故C错误;
对于D,=+=a+b+c-a=a+b+c,故D正确.故选BD.
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　(用a,b,c表示).
答案　b+c-a
解析　如图,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,
O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,
∴=+=(+)+(+)=(b+c)+[(+)+(+)]=(b+c)+
=(b+c)+(-b+c)-a+(b+c)-a=b+c-a.
14.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量:
(1)+;
(2)++;
(3)--.
解　(1)+=.
(2)因为M是BB1的中点,
所以=.
又=,
所以++=+=.
(3)--=-=.
向量,,如图所示.
三、拓展提高
15.光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼,其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上缘边长与底边边长之比约为,则++=　　　　.
答案　
解析　如图,延长EA,FB,GC,HD相交于一点O,则=,=,
且=,
∴++=++=++=+=+=.
16.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体.
(1)化简++,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC'B'对角线BC'上靠近C'的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
解　(1)如图,取AA'的中点E,在D'C'上取一点F,使D'F=2FC',连接EF,
则=++=++.
(2)因为=+
=+
=(+)+(+)
=++,
且=α+β+γ,
所以α=,β=,γ=.

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