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1.1.2　空间向量的数量积运算
一、基础巩固
1.在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.(多选)下列式子中,正确的有(　　)
A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b
C.|a·b|≤|a||b| D.a2b=b2a
3.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　)
A.与　　　　 B.与
C.与 D.与
5.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　)
A. B.
C.1 D.
6.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是(　　)
　　　　　　　　　　 　　　　
A.30° B.45°
C.60° D.90°
7.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.
10.已知空间向量a,b,c中两两夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　.
11.如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
二、综合运用
12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题正确的是(　　)
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
13.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是　　　三角形.
14.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:CE⊥A'D;
(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
三、拓展提高
　　　　　　　　　　 　　　　
15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(　　)
A.8 B.4 C.2 D.1
16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,求·的最大值.
1.1.2　空间向量的数量积运算
一、基础巩固
1.在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　C
解析　由题意,可得=,
所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°.
2.(多选)下列式子中,正确的有(　　)
A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b
C.|a·b|≤|a||b| D.a2b=b2a
答案　ABC
解析　A,B,C正确;D不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同.
3.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　B
解析　根据a与2b-a互相垂直,
得a·(2b-a)=0,
即2a·b=|a|2=4,
解得a·b=2,
∴cos===,
又0°≤≤180°,
∴=45°,故选B.
4.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　)
A.与　　　　 B.与
C.与 D.与
答案　BCD
解析　因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0;
因为PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
可得PA⊥AD,
又AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,
所以AD⊥平面PAB,
又PB 平面PAB,所以AD⊥PB,
故·=0;
同理·=0.所以选BCD.
5.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　)
A. B.
C.1 D.
答案　D
解析　∵=++,
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-.
故||=.
6.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是(　　)
　　　　　　　　　　 　　　　
A.30° B.45°
C.60° D.90°
答案　C
解析　∵=++,
∴·=(++)·
=·++·=0+12+0=1.
又||=2,||=1.
∴cos<,>===.
∵异面直线所成的角是锐角或直角,
∴a与b所成的角是60°.
7.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　在空间四边形ABCD中,
因为∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,
所以·=·=0.
又=++,
则·=(++)·=||2,
所以在上的投影向量为
·=·=.
8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.
答案　-
解析　∵m·n=(a+b)·(a+λb)
=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2
=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16
=18-12λ-12+16λ=6+4λ,
又m⊥n,∴m·n=0=6+4λ,∴λ=-.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.
答案　a2
解析　如图,=-,=-=-,
∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2.
10.已知空间向量a,b,c中两两夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　.
答案　10
解析　∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,
且===,
∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)
=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos+2|a||c|·cos+2|b||c|·cos
=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,
∴|a+b+c|=10.
11.如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.
解　∵CA⊥AB,BD⊥AB,
∴<,>=120°.
∵=++,且·=0,
·=0,
∴||2=·=(++)·(++)
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=||2+||2+||2+2||||·
cos<,>=62+42+82+2×6×8×=68,∴||=2,故CD的长为2.
二、综合运用
12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题正确的是(　　)
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
答案　AB
解析　如图所示,
(++)2
=(++)2==3;
·(-)=(+)·=·+·=0;
与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,
故与的夹角为120°;
正方体的体积为||||||.
综上可知,AB正确.
13.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是　　　三角形.
答案　锐角
解析　·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,同理,·>0,·>0,
∴△BCD的三个内角均为锐角.
∴△BCD为锐角三角形.
14.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:CE⊥A'D;
(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
(1)证明　设=a,=b,=c,
根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.
∴=b+c,=-c+b-a.
∴·=·
=-c2+b2=0,
∴⊥,即CE⊥A'D.
(2)解　∵=-a+c,
∴||=|a|,||=|a|,
∵·=(-a+c)·
=c2=|a|2,
∴cos<,>==.
∴异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.
三、拓展提高
　　　　　　　　　　 　　　　
15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(　　)
A.8 B.4 C.2 D.1
答案　D
解析　·=·(+)=+·,
∵AB⊥平面BP2P8P6,
∴⊥,∴·=0,
∴·=||2=1,
则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1.
16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,求·的最大值.
解　如图所示,
设球心为O,连接PO,则当弦MN的长度最大时,MN为球的直径.
由向量线性运算可知
·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)+·,
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则球的半径为1,
+=0,·=-1,
所以+·(+)+·=-1.
而||∈[1,],所以-1∈[0,2],
即·∈[0,2],
所以·的最大值为2.

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