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第二课时　空间向量基本定理的应用
一、基础巩固
1.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM(　　)
A.相交 B.平行
C.垂直 D.无法判断位置关系
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则直线AB和CE所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM=(　　)
A. B. C. D.
5.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　)
A.=a-b+c
B.=a+b+c
C.||=
D.cos<,>=
7.棱长均为1的三棱锥S-ABC,若空间一点P满足=x+y+z(x+y+z=1),则||的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.
8.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于　　　　.
9.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,SA=2,则SC与AB所成角的大小为　　　.
10.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,若A1C⊥平面C1BD,则=　　　　.
11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
二、综合运用
12.(多选)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则(　　)
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM所成的角为　　　　.
14.如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长.
三、拓展提高
15.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD=1,∠BAD=∠DAA1=60°,
∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1,若BD⊥AN,则λ的值为　　　　;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为　　　　.
16.在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点.
(1)求证:DE∥平面ACF;
(2)求证:BD⊥AE;
(3)若AB=CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
第二课时　空间向量基本定理的应用
一、基础巩固
1.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
答案　D
解析　∵=λ+μ,∴,,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或直线在平面内.
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM(　　)
A.相交 B.平行
C.垂直 D.无法判断位置关系
答案　C
解析　以{,,}为空间一组基底,
则·=(+)·(-)=
·
=·
=-=0,
所以⊥,即AM⊥ON.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1D1的中点,则直线AB和CE所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设AB=1,
则由=+=-,
得·=·=-,
又||=,故cos<,>=-,
则直线AB和CE所成角的余弦值为.
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM=(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图所示,=++=++(-)=++,
故||2==,
则AM=.
5.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　D
解析　不妨设棱长为2,
则=-,=+,
cos<,>=
==0,
故AB1与BM所成的角为90°.
6.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　)
A.=a-b+c
B.=a+b+c
C.||=
D.cos<,>=
答案　BD
解析　=+=+(+)=b-a+c,A错误;
=++=a+b+c,B正确;
=a+b+c,
则||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=6,
则||=,C错误;
·=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2,
则cos<,>==,D正确.
7.棱长均为1的三棱锥S-ABC,若空间一点P满足=x+y+z(x+y+z=1),则||的最小值为(　　)
A.1 B. C. D.
答案　D
解析　依题意得,点P在平面ABC内,
因此||的最小值等于顶点S到平面ABC的距离,
又点S在平面ABC内的射影是正三角形ABC的中心,
于是有||的最小值等于=,故选D.
8.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于　　　　.
答案　12
解析　∵=++,
∴||2=(++)2
=+++2·+2·+2·=36+36+36+0+0+2||||·cos60°
=108+2×6×6×=144,
∴PC=12.
9.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,SA=2,则SC与AB所成角的大小为　　　.
答案　60°
解析　设=a,=b,=c,
则{a,b,c}构成空间的一个基底.
因为SA⊥底面ABC,
所以SA⊥AC,SA⊥AB,
所以a·c=0,
又AB⊥BC,AB=BC=2,
所以∠BAC=45°,AC=2.
因此a·b=|a|·|b|cos 45°=2×2×=4,
所以·a=(-)·a=b·a-c·a=4,
又SA=2,
所以SC==4,
因此cos<,>===,
所以SC与AB所成角的大小为60°.
10.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,若A1C⊥平面C1BD,则=　　　　.
答案　1
解析　不妨设=x,CC1=1,
由A1C⊥平面C1BD,得A1C⊥C1B,A1C⊥C1D,=+,
=++=++,
由·=0,得(++)·(+)=-+·+·=0,
注意到·+·=-,
可得方程1-x2+=0,解得x=1或x=-(舍去),
因此,当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.
11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
解　(1)=++
=++
=-+++
=++.
又=a,=b,=c,
∴=a+b+c.
(2)∵AB=AC=AA1=1,
∴|a|=|b|=|c|=1.
∵∠BAC=90°,∴a·b=0.
∵∠BAA1=∠CAA1=60°,
∴a·c=b·c=,
∴||2=
=
=,∴||=,即MN的长为.
二、综合运用
12.(多选)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则(　　)
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
答案　ACD
解析　=+=+,
=+=+,
∴∥,
又A1M与D1P无公共点,
∴A1M∥D1P,
由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.故选ACD.
13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM所成的角为　　　　.
答案　90°
解析　=+,=-=+---
=+---
=--,
故·=·
=-·-·+·--·
=×4-×8=0,
即⊥,则AM与PM所成的角为90°.
14.如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长.
(1)证明　设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,
且p,q,r三向量两两夹角均为60°.
=-=(+)-=(q+r-p),
∴·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)
=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0,
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
(2)解　由(1)可知=(q+r-p).
∴||2=(q+r-p)2
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]
=
=×2a2=.
∴||=a,∴MN的长为a.
三、拓展提高
15.如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD=1,∠BAD=∠DAA1=60°,
∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1,若BD⊥AN,则λ的值为　　　　;若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为　　　　.
答案　-1　
解析　取空间中的一个基底:=a,=b,=c.
若BD⊥AN,则·=0.
∵=-=b-a,
=+=c+λb,
∴(b-a)·(c+λb)=0,
∴+λ--=0,
∴λ=-1.
当M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N时,=-a+b+c,
=λb+c,=a+c.
∵BM∥平面AB1N,
∴向量,,共面,
∴ x,y∈R,使得=x+y,
即-a+b+c=ya+xλb+(x+y)c,
∴解得λ=.
16.在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点.
(1)求证:DE∥平面ACF;
(2)求证:BD⊥AE;
(3)若AB=CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
解　设=a,=b,=c,
则|a|=|b|,a·b=b·c=c·a=0.
(1)证明　依题意得=c-b,
=a+b,=a+c,
设=x+y(x,y∈R),
则c-b=x(a+b)+y=a+xb+yc,
因此解得
从而,,共面,又直线DE不在平面ACF内,因此DE∥平面ACF.
(2)证明　依题意得=b-a,
=c-a-b,
则·=(b-a)·(c-a-b)=-b2+a2=0,
因此⊥,从而BD⊥AE.
(3)由AB=CE,设|a|=|b|=2,
则|c|=,假设在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE,由O,G,E三点共线,
设=(1-λ)+λ
=λa+λb+(1-λ)c(0≤λ≤1),
由CG⊥平面BDE知CG⊥DE,
而=c-b,
因此·=·(c-b)=(1-λ)c2-λb2=2-4λ=0,
解得λ=,即点G是线段EO的中点时,满足题意,此时=.1.2　空间向量基本定理
第一课时　空间向量基本定理
学习目标　1.掌握空间向量基本定理及其意义. 2.掌握空间向量的正交分解.
【引入】 回顾平面向量基本定理,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其实质就是平面内的任一向量都可以用两个不共线的向量来表示.那么对于空间向量,有没有类似的结论呢
一、空间向量基本定理
探究 (1)如图,设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点O,对于任意一个空间向量p=,p能否用i,j,k表示呢
提示　如图,设为在i,j所确定的平面上的投影向量,则=+.
又向量,k共线,因此存在唯一的实数z,使得=zk,从而=+zk.
在i,j确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得=xi+yj,
从而=+zk=xi+yj+zk.
(2)你能证明(1)中有序实数组(x,y,z)的唯一性吗
提示　假设除(x,y,z)外,还存在有序实数组(x',y',z'),使得p=x'i+y'j+z'k,
则x'i+y'j+z'k=xi+yj+zk.
不妨设x'≠x,
则(x'-x)i=(y-y')j+(z-z')k,
两边同除以(x'-x),得i=j+k.
由平面向量基本定理可知,i,j,k共面,这与已知矛盾.
所以x=x',同理y=y',z=z',
所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.
1.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
2.基底的概念
(1)定义:如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R},这个集合可看作由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.
(2)性质:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.空间向量的正交分解
(1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
(2)正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解.
温馨提示　(1)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量.
(3)若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
例1 [链接教材P12T3(1)]已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一个基底.
解　假设,,共面,则存在实数λ,μ使得=λ+μ,
∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3.
∵e1,e2,e3不共面,∴
此方程组无解,
∴,,不共面,
∴{,,}可以作为空间的一个基底.
思维升华　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面:
(1)首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面;
(2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面.
训练1 (1)已知A,B,C,D,E是空间五点且A,B,C不共线,若,,与,,均不能构成空间的一个基底,则在下列各结论中,不正确的为(　　)
A.,,不构成空间的一个基底
B.,,不构成空间的一个基底
C.,,不构成空间的一个基底
D.,,构成空间的一个基底
(2)(多选)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量组能作为空间的基底的向量组有(　　)
A.{a,b,x} B.{x,y,z}
C.{b,c,z} D.{x,y,a+b+c}
答案　(1)D　(2)BCD
解析　(1)由,,与,,均不能构成空间的一个基底及A,B,C不共线,
可知,,,为共面向量,
即A,B,C,D,E五点共面,故D不正确.
(2)如图,设a=,b=,c=,则x=,y=,z=,
a+b+c=.
由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.
同理可知b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,可以作为空间的基底.
因为x=a+b,所以a,b,x共面,故不能作为基底.
二、用基底表示空间向量
例2 (链接教材P12例1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
解　(1)如图,连接AC,
=+=-+-=a-b-c,
=+=+
=-(+)+(+)
=-=a-c.
(2)=(+)=(-+)
=(-c+a-b-c)=a-b-c,
又=xa+yb+zc,
所以x=,y=-,z=-1.
思维升华　用基底表示向量时:
(1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及数乘向量的运算律进行.
(2)若没给定基底,首先选择基底,选择时尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
训练2 如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示,,,.
解　连接BO,则==(+)=(-b-a+c)=-a-b+c,
=+=-a+
=-a+(+)=-a-b+c,
=+=++(+)
=-a+c+(-c+b)=-a+b+c,
===a.
【课堂达标】
1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是(　　)
A. B.
C. D.或
答案　C
解析　∵=a-b且a,b不共线,
∴a,b,共面,
∴与a,b不能构成一个空间基底.
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b-c D.-a-b+c
答案　C
解析　=-=(+)-(++)=-a-b-c.
3.在正四面体P-ABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为　　　　.
答案　
解析　如图所示,
=+=-+=-++.
由空间向量基本定理得:x=-,y=,z=.
故x+y+z=.
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,=,点N为B1B的中点,则等于　　　　　(用向量,,表示).
答案　+-
解析　∵=-
=-
=+-(++)
=+-
=+-.
课时精练
一、基础巩固
1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当非零向量a,b,c不共面时,{a,b,c}可以当基底,否则不能当基底,当{a,b,c}为基底时,一定有a,b,c为非零向量.
因此p q,q p,故p是q的必要不充分条件.
2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(　　)
A.a B.b
C.a+2b D.a+2c
答案　D
解析　能与p,q构成基底,则与p,q不共面.
∵a=,b=,a+2b=p-q,
∴A,B,C都不合题意.
因为{a,b,c}为基底,
∴a+2c与p,q不共面,可构成基底.
3.{a,b,c}为空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0, 则x,y,z的值分别为(　　)
A.0,0,1 B.0,0,0 C.1,0,1 D.0,1,0
答案　B
解析　若x,y,z中存在一个不为0的数,不妨设x≠0,则a=-b-c,∴a,b,c共面,这与{a,b,c}是基底矛盾,故x=y=z=0.
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若= a,=c,=b,则下列向量与相等的是(　　)
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
答案　A
解析　=+=+(+)=+(+)
=c+(-a+b)=-a+b+c.
5.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为(　　)
A.,-1,- B.,1,
C.-,1,- D.,1,-
答案　A
解析　由题意得d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3,
∵d=e1+2e2+3e3,
∴解得故选A.
6.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是(　　)
A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为空间的一个基底
B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.已知A,B,M,N是空间中的四点,若,,不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面
D.若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底
答案　ABC
解析　A中,假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb,
∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使得d=kc,
∵d≠0,∴k≠0,从而c=a+b,
∴c与a,b共面,与已知条件矛盾,
∴d与a,b不共面,即A是真命题;
B中,根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,显然B是真命题;
C中,由,,有公共点B,所以A,B,M,N四点共面,即C是真命题;
D中,∵a,b,c共面,∴{a,b,c}不能构成基底,故D错误.
7.如图,O-ABC是四面体,G是△ABC的重心,G1是OG上一点,且=4,则(　　)
A.=++
B.=++
C.=++
D.=++
答案　B
解析　如图,
连接AG并延长交BC于N,连接ON.
由G是△ABC的重心,可得=,=(+),
则==(-)
=
=+-,
则==(+)
=
=++.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则=　　　　.
答案　(++)
解析　∵2=2+2+2
=(+)+(+)+(+)
=++,
∴=(++).
9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间任一点,设=a,=b,=c,则向量用a,b,c表示为　　　　.
答案　a-b+c
解析　∵=-2,
∴-=-2(-),
∴b-a=-2(-c),
∴=a-b+c.
10.点P是矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,且=,=,则满足=x+y+z的实数x,y,z的值分别是　　　　.
答案　-,-,
解析　如图,
取PC的中点E,连接NE,
则=-
=-(-)=-=-
=--(-++)
=--+,
比较知x=-,y=-,z=.
11.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E是上底面A'B'C'D'的中心,求下列各式中x,y,z的值.
(1)=x+y+z;
(2)=x+y+z.
解　(1)∵=+=++
=-++,
又=x+y+z,
∴x=1,y=-1,z=1.
(2)∵=+=+
=+(+)
=++
=++,
又=x+y+z,
根据空间向量基本定理
∴x=,y=,z=1.
二、综合运用
12.(多选)设e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,则下列选项中能作为空间的一个基底的是(　　)
A.
B.{e1-e3,e2+e3,e1+e2}
C.{e1-e2,e2-2e3,e3-3e1}
D.{e1+e3,e2+e3,e1+e2}
答案　ACD
解析　对于A,设e1+e2,e1+e3,e2+2e3三个向量共面,则存在唯一一对实数λ,μ,
使得e1+e2=λ+μ(e2+2e3),
即e1+e2=λe1+μe2+(λ+2μ)e3,
又e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,
所以方程组无解,
所以e1+e2,e1+e3,e2+2e3三个向量不共面,能作为一个基底;
对于B,因为(e1-e3)+(e2+e3)=e1+e2,
所以e1-e3,e2+e3,e1+e2三个向量共面,故不能作为一个基底;
对于C,设e1-e2,e2-2e3,e3-3e1三个向量共面,则存在唯一一对实数λ,μ,
使得e1-e2=λ(e2-2e3)+μ(e3-3e1),
即e1-e2=-3μe1+λe2+(μ-2λ)e3,
又e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,
所以方程组无解,
所以e1-e2,e2-2e3,e3-3e1三个向量不共面,能作为一个基底;
对于D,设e1+e3,e2+e3,e1+e2三个向量共面,
则存在唯一一对实数λ,μ,
使得e1+e3=λ(e2+e3)+μ(e1+e2),
即e1+e3=μe1+(λ+μ)e2+λe3,
又e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,
所以
所以e1+e3,e2+e3,e1+e2三个向量不共面,能作为一个基底.
13.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1,记=x+y+z,若x+y+z=,则等于　　　　.
答案　
解析　设=λ,因为=+++=-λ-++
=-λ-++
=-++,
所以x=-1,y=1,z=-λ.
因为x+y+z=-λ=,
所以λ=.
14.如图,在三棱锥O-ABC中,G是△ABC的重心(三条中线的交点),P是空间任意一点.
(1)用向量,,表示向量,并证明你的结论;
(2)设=x+y+z,x,y,z∈R,请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).
解　(1)=(++).
证明如下:
=+=+
=+×(+)
=+[(-)+(-)]
=(++).
(2)若=x+y+z,x,y,z∈R,
则点P在△ABC的内部(不包括边界)的充分必要条件是:x+y+z=1 ,
且0三、拓展提高
15.如图,在△OAB中,C是AB的中点,P在线段OC上,且=2.过点P的直线交线段OA,OB分别于点N,M,且=m,=n,其中m,n∈[0,1],则m+n的最小值为(　　)
A. B. C.1 D.
答案　C
解析　=(+),
即2=,
= +,
又点P,M,N共线,∴+=1.
又m,n∈[0,1],
∴m+n=(m+n)
=
≥×=1,
当且仅当m=n=时取等号,故选C.
16.如图,在三棱锥P-ABC中,点G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F,若=m,=n,=t,求证:++为定值,并求出该定值.
解　连接AG并延长交BC于点H,连接DM(图略).
由题意,可令{,,}为空间的一个基底,
==(+)
=+×
=+×
=+(-)+(-)
=++.
∵点D,E,F,M共面,
∴存在实数λ,μ使得=λ+μ,
即-=λ(-)+μ(-),
∴=(1-λ-μ)+λ+μ
=(1-λ-μ)m+λn+μt,
由空间向量基本定理,
知=(1-λ-μ)m,=λn,=μt,
∴++=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值.

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