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1.3.1　空间直角坐标系
一、基础巩固
1.点P(3,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.y轴上 B.Oxy面上
C.Ozx面上 D.Oyz面上
2.点A(-2,3,-4)关于坐标平面Oxz对称点A'的坐标为(　　)
A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4)
C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4)
3.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　)
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.不确定
4.已知点B的坐标是(-1,2,1),则||=(　　)
A. B.6 C. D.5
5.已知=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,则点A的坐标为(　　)
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,10,12) D.(4,2,3)
6.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　)
A.(3,5,4) B.
C. D.
7.(多选)下列各命题正确的是(　　)
A.点(1,-2,3)关于平面Oxz的对称点为(1,2,3)
B.点关于y轴的对称点为
C.点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1
D.设{i,j,k}是空间向量单位正交基底,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)
8.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为　　　　.
9.已知三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的坐标系Bxyz,则向量的坐标为　　　　.
10.已知点A的坐标为(-1,3,0),点B的坐标为(0,1,1),则cos<,>=　　　　.
11.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标.
二、综合运用
12.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　)
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
13.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立空间直角坐标系,如图所示,则向量在向量上的投影向量的坐标为　　　　.
14.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,试建立适当的空间直角坐标系并写出向量,的坐标.
三、拓展提高
15.若p=xa+yb+zc,则称(x,y,z)为p在基底{a,b,c}下的坐标.若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　.
16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,建立如图所示的空间直角坐标系,求点E的坐标.
1.3.1　空间直角坐标系
一、基础巩固
1.点P(3,0,2)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)
A.y轴上 B.Oxy面上
C.Ozx面上 D.Oyz面上
答案　C
解析　因为P点的y轴坐标为0,其他坐标不为0,故点P(3,0,2)在Ozx面上.
2.点A(-2,3,-4)关于坐标平面Oxz对称点A'的坐标为(　　)
A.(-2,-3,-4) B.(2,-3,4)
C.(-2,-3,4) D.(2,3,-4)
答案　A
解析　点A的坐标中横、竖坐标不变,纵坐标变为原来的相反数即得A'的坐标为(-2,-3,-4).
3.已知i,j,k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量,且=-i+j-k,则点B的坐标是(　　)
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.不确定
答案　A
解析　由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(-1,1,-1).
4.已知点B的坐标是(-1,2,1),则||=(　　)
A. B.6 C. D.5
答案　A
解析　由B点坐标是(-1,2,1),得=-i+2j+k,故||2=1+4+1=6,故||=.
5.已知=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,则点A的坐标为(　　)
A.(12,14,10) B.(10,12,14)
C.(14,10,12) D.(4,2,3)
答案　A
解析　=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10).
6.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　)
A.(3,5,4) B.
C. D.
答案　C
解析　由题图知,设点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1,P2,P3,它们在坐标轴上的坐标分别是,5,4,故点P的坐标是.
7.(多选)下列各命题正确的是(　　)
A.点(1,-2,3)关于平面Oxz的对称点为(1,2,3)
B.点关于y轴的对称点为
C.点(2,-1,3)到平面Oyz的距离为1
D.设{i,j,k}是空间向量单位正交基底,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)
答案　ABD
解析　A项,关于平面Oxz的对称点,x,z不变,y变为相反数,则(1,-2,3)的对称点为(1,2,3),正确;
B项,关于y轴的对称点,y不变,x,z变为相反数,则的对称点为,正确;
C项,空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值,则(2,-1,3)到平面Oyz的距离为2,错误;
D项,根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m=3i-2j+4k表示m=(3,-2,4),正确;故选ABD.
8.在空间直角坐标系中,已知点P(1,,),过点P作平面Oyz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为　　　　.
答案　(0,,)
解析　由于垂足在平面Oyz上,所以纵坐标、竖坐标不变,横坐标为0.
9.已知三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的坐标系Bxyz,则向量的坐标为　　　　.
答案　
解析　=+=-(+)+(+)=-=i-k=.
10.已知点A的坐标为(-1,3,0),点B的坐标为(0,1,1),则cos<,>=　　　　.
答案　
解析　由题设知=(-1,3,0)=-i+3j,
=(0,1,1)=j+k,
故||==,
||==,
·=(-i+3j)·(j+k)=3.
所以cos<,>==.
11.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别为BB1和DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出,,的坐标.
解　=++
=2i+2j+2k=(2,2,2),
=++
=2i+2j+×2k
=2i+2j+k=(2,2,1),
==×2j=j=(0,1,0).
二、综合运用
12.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是(　　)
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点C1关于点B对称的点为(5,8,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
答案　ACD
解析　根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),选项A正确;
B的坐标为(4,5,0),C1的坐标为(0,5,3),
故点C1关于点B对称的点为(8,5,-3),选项B错误;
在长方体中AD1=BC1==5=AB,
所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,
即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),选项C正确;
点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0),选项D正确.
13.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,建立空间直角坐标系,如图所示,则向量在向量上的投影向量的坐标为　　　　.
答案　(-2,2,0)
解析　易知向量在向量上的投影向量为,在单位正交基底{i,j,k}下,=+=
-+=-2i+2j,
故=(-2,2,0).
14.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,试建立适当的空间直角坐标系并写出向量,的坐标.
解　如图所示,因为PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,
所以可设=e1,=e2,=e3,以{e1,e2,e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
因为=++=++=++(++)
=-e2+e3+(-e3-e1+e2)
=-e1+e3,
==e2,
所以=,=(0,1,0).
三、拓展提高
15.若p=xa+yb+zc,则称(x,y,z)为p在基底{a,b,c}下的坐标.若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为　　　　.
答案　
解析　设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以解得
故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.
16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=4,DE⊥AC,垂足为E,建立如图所示的空间直角坐标系,求点E的坐标.
解　由题意得D(0,0,0),B1(2,4,2),A(2,0,0),C(0,4,0).
设点E的坐标为(x,y,0),
过E分别作AD,DC的垂线,垂足为M,N,如图.
∵AD·CD=AC·DE,
∴DE==,
∵cos∠EDA=,
∴sin∠EDA=,
EM=DE·sin∠EDA=,
EN=DE·cos∠EDA=,∴E.

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