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1.3.2　空间向量运算的坐标表示
一、基础巩固
1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　)
A.3 B.2 C. D.5
2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　)
A.1 B. C. D.
3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离为(　　)
A. B. C. D.
4.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a与b的夹角为120°,则实数k的值为(　　)
A. B.- C.6 D.-6
5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n的值为(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
7.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,则|a+b|等于(　　)
A.2 B. C.3 D.4
8.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)=　　　　.
9.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　.
10.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=　　　　.
11.若a=(1,2,-1),b=(-2,3,4).
(1)若(ka+b)∥(a-2b),求实数k的值;
(2)若(ka+b)⊥(a-2b),求实数k的值.
二、综合运用
12.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的有(　　)
A.(2a+b)∥a
B.5|a|=|b|
C.a⊥(5a+6b)
D.a与b夹角的余弦值为
13.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是　　　　.
14.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF;
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值;
(3)求CE的长.
三、拓展提高
15.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,t-4,3),B(2,4,t),则(　　)
A.若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,+∞)
B.若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2)
C.存在t∈R,使得||=2||
D.存在t∈R,使得||=2
16.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),
C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
一、基础巩固
1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于(　　)
A.3 B.2 C. D.5
答案　A
解析　∵a-b+2c=(9,3,0),
∴|a-b+2c|==3.
2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是(　　)
A.1 B. C. D.
答案　D
解析　ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,
解得k=.
3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得AB中点M,
又C(0,1,0),所以=,故M到C的距离为CM=||==.
4.已知向量a=(2,-3,0),b=(k,0,3),若a与b的夹角为120°,则实数k的值为(　　)
A. B.- C.6 D.-6
答案　B
解析　由题意知,cos 120°===-,
即=,k2=39,
显然k<0,所以k=-.
5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),于是·=10-3-7=0,而||=,||=5,
所以△ABC是直角三角形.
6.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n的值为(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.-2
答案　A
解析　因为=(m-1,1,m-2n-3),
=(2,-2,6),由题意得∥,
所以==,
所以m=0,n=0,所以m+n=0.
7.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,则|a+b|等于(　　)
A.2 B. C.3 D.4
答案　C
解析　∵b∥c,∴2y=-4×1,∴y=-2,
∴b=(1,-2,1),
∵a⊥b,
∴a·b=x+1×(-2)+1=0,
∴x=1,∴a=(1,1,1),
∴a+b=(2,-1,2),
∴|a+b|==3.
8.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),则(2a+3b)·(a-b)=　　　　.
答案　-4
解析　易得2a+3b=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),
则(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
9.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量与的夹角为　　　　.
答案　
解析　∵=(0,3,3),=(-1,1,0),
∴||=3,||=,
·=0×(-1)+3×1+3×0=3,
∴cos<,>==,
又∵<,>∈[0,π],
∴<,>=.
10.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=　　　　.
答案　
解析　由BP⊥平面ABC,
可得BP⊥AB,BP⊥BC,又⊥,
∴即
解得x=,y=-,z=4,
∴x+y=-=.
11.若a=(1,2,-1),b=(-2,3,4).
(1)若(ka+b)∥(a-2b),求实数k的值;
(2)若(ka+b)⊥(a-2b),求实数k的值.
解　∵a=(1,2,-1),b=(-2,3,4),
∴ka+b=(k-2,2k+3,-k+4),
a-2b=(5,-4,-9).
(1)∵(ka+b)∥(a-2b),
∴==,解得k=-.
(2)∵(ka+b)⊥(a-2b),
∴(ka+b)·(a-2b)=0,
即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0,
解得k=.
二、综合运用
12.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的有(　　)
A.(2a+b)∥a
B.5|a|=|b|
C.a⊥(5a+6b)
D.a与b夹角的余弦值为
答案　BC
解析　因为2a+b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),
而≠≠,
所以2a+b与a不共线,故A不正确;
因为|a|=,|b|=5,
所以5|a|=|b|,故B正确;
因为a·(5a+6b)=5a2+6a·b=5×(4+1+1)+6×(-6-4+5)=0,
所以a⊥(5a+6b),故C正确;
因为a·b=-5,
所以cos==-,故D不正确.
13.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是　　　　.
答案　
解析　由已知,得b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0),
∴|b-a|===,
∴当t=时,|b-a|取最小值,最小值为.
14.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.
(1)求证:EF⊥CF;
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值;
(3)求CE的长.
解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),E,C(0,1,0),F,G.
所以=,
=,=,
=.
(1)证明　因为·=×+×+×0=0,
所以⊥,即EF⊥CF.
(2)因为·=×1+×0+×=,||==,
||==,
所以cos<,>===.所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)CE=||==.
三、拓展提高
15.(多选)已知在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,t-4,3),B(2,4,t),则(　　)
A.若向量,的夹角是锐角,则t的取值范围是(2,+∞)
B.若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2)
C.存在t∈R,使得||=2||
D.存在t∈R,使得||=2
答案　BC
解析　对于A,=(1,t-4,3),=(2,4,t),向量,的夹角是锐角,
则·>0且,不共线,
又·=1×2+4(t-4)+3t=7t-14>0,
解得t>2,
若,共线,设=λ(λ>0),
即解得
所以≠λ,t≠6,
综上所述,若向量,的夹角是锐角,
则t的取值范围是(2,6)∪(6,+∞),故A错误;
对于B,若向量,的夹角是钝角,则·<0且,不共线,即7t-14<0且≠λ (λ∈R),根据A中结果,有t<2,所以若向量,的夹角是钝角,则t的取值范围是(-∞,2),故B正确;
对于C,||=,||=,
因为||=2||,
所以=2,
整理得3t2-32t+84=0,
Δ=(-32)2-4×3×84=16>0,
所以存在t∈R,使得||=2||,故C正确;
对于D,=(1,8-t,t-3),因为||=2,即||==2,
整理得t2-11t+35=0,Δ=(-11)2-4×1×35=-19<0,所以不存在t∈R,使得||=2,故D错误.
16.已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),
C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
解　(1)由已知,得=(1,-3,2),
=(2,0,-8),
∴||==,
||==2,
·=1×2+(-3)×0+2×(-8)
=-14,
∴cos<,>===,
∴sin<,>==.
∴S△ABC=||||sin<,>
=××2×=3.
(2)设AB边上的高为CD,则||=||·sin<,>=3,即△ABC中AB边上的高为3.

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