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专题提升一　静电力作用下的平衡与加速问题
学习目标　1.会进行静电力作用下物体的受力分析。2.能够应用平衡条件解决库仑力作用下的平衡问题。3.会应用牛顿运动定律结合库仑定律解决带电体的加速运动问题。
提升1　同一直线上三个点电荷的平衡问题
例1 如图所示,带电荷量分别为+q和+4q的两点电荷A、B,相距L,问:
(1)若A、B固定,在何处放置点电荷C,才能使C处于平衡状态
(2)在(1)中的情形下,C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗
(3)若A、B不固定,在何处放一个什么性质的点电荷,才可以使三个点电荷都处于平衡状态
答案　见解析
解析　 (1)由平衡条件,对C进行受力分析,C应在A、B的连线上且在A、B之间,设与A相距r,则
k=k
解得r=。
(2)C电荷的电荷量的大小和电性对C的平衡无影响。
(3)设放置的点电荷的电荷量为Q,分别对A、B受力分析,根据平衡条件,
对电荷A:k=k
对电荷B:k=k
联立可得r=,Q=q(负电荷)
即应在A、B连线上且在A、B之间,距A点电荷q的负电荷。
总结提升
1.两个电荷固定,第三个电荷平衡问题
只需要确定第三个电荷位置即可,对其电性和所带电荷量没有要求。
2.三个自由电荷的平衡问题
(1)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时,每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得,电荷间的关系为
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上;
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔;
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小;
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
(2)对于三个自由电荷的平衡问题,只需对其中两个电荷列平衡方程,不必再对第三个电荷列平衡方程。
训练1 (多选)(2026·山东枣庄高二月考)如图所示,同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处在平衡状态,除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知A、B间的距离是B、C间距离的2倍。A、B、C所带的电荷量数值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是(　　)
A.若A、C为正电荷,则B为负电荷
B.若A、C为负电荷,则B为正电荷
C.q1∶q2∶q3=36∶4∶9
D.q1∶q2∶q3=9∶4∶36
答案　ABC
解析　三个自由点电荷在同一直线上处于平衡状态,则一定满足“两同夹异,两大夹小,近小远大”,所以A和C是同种电荷,B是异种电荷,故A、B正确;根据库仑定律,对A、B进行受力分析,有k=k=k,化简可得q1∶q2∶q3=36∶4∶9,故C正确,D错误。
提升2　非共线力作用下带电体的平衡问题
1.库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题,可能是只有库仑力,也可能有其他力,但其本质都是平衡问题。解题的关键是进行受力分析并列出平衡方程。
2.分析静电力作用下点电荷的平衡问题时,方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样,具体步骤如下:
例2 如图所示,A、B是两个带等量同种电荷的小球,A固定在竖直固定的10 cm长的绝缘支杆上,B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高,若B的质量为30g,则B带电荷量是多少 (g=10 m/s2,小球A、B视为点电荷,k=9.0×109 N·m2/C2)
答案　1.0×10-6 C
解析　因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高,设A、B之间的水平距离为L,依据几何关系可得tan 30°=
则L==10 cm
对B进行受力分析如图所示,依据共点力平衡条件,可得静电力
F=mgtan 30°
=30×10-3×10× N=0.3 N
A、B带等量同种电荷,设电荷量为q,
依据F=k,有F=k,则
q== C
=1.0×10-6 C。
训练2 (2026·山东烟台高二月考)如图所示,一光滑绝缘圆形轨道固定在水平面上,在直径AB的两个端点上分别固定电荷量为Q1、Q2的正点电荷,有一个带正电小球恰好静止于轨道内侧P点(小球可视为点电荷,不计重力)。已知A、P两点的连线与直径AB之间的夹角θ=30°,则的比值为(　　)
A. B.3
C.6 D.
答案　B
解析　对小球进行受力分析如图所示,设小球的带电荷量为q,根据库仑定律有F1=k,F2=k,设A点和B点两点相距L,有r1=Lcos θ,r2=Lsin θ,根据几何条件有tan θ=,联立解得==3,故B正确。
提升3　静电力作用下的动力学问题
静电力作用下的动力学问题可以归纳为“电学问题、力学方法”。遵循力学规律和力的运算法则。在分析具体问题时应注意:
(1)受力分析:除分析重力、弹力、摩擦力等之外,还要分析静电力的作用。
(2)状态分析:通过分析确定带电体运动状态。
(3)根据问题情境和提供的条件选取适当的物理规律列方程求解。
例3 (2026·湖北武汉高二月考)如图所示,质量为m的小球A穿在绝缘细杆上,杆的倾角为α,小球A带正电,电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放,小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦,整个装置处在真空中,已知静电力常量k和重力加速度g。求:
(1)球A刚释放时的加速度大小;
(2)当球A的动能最大时,球A与B点的距离。
答案　(1)gsin α-　(2)
解析　(1)由牛顿第二定律可知mgsin α-F=ma
根据库仑定律有F=k
又知r=,联立解得a=gsin α-。
(2)当球A受到合力为零,即加速度为零时,动能最大。设此时球A与B点间的距离为d,则
mgsin α=k
解得d=。
训练3 (2025·广州大学附属中学月考)如图所示,在A点固定一正电荷,电荷量为Q,在A正上方高度为H的B处由静止释放某带同种电荷的液珠,其开始运动的瞬间加速度大小恰好等于重力加速度g。已知静电力常量为k,两电荷均可看作点电荷,不计空气阻力。
(1)求液珠的比荷;
(2)求液珠速度最大时离A点的距离h。
答案　(1)　(2)H
解析　(1)设液珠带电荷量为q,质量为m,释放瞬间有k-mg=ma
由题意可知a=g
解得液珠的比荷为=。
(2)当液珠速度最大时,库仑力与重力大小相等,有
k=mg,解得h=H。
总结提升
当题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼时,表明题述的过程存在着极值。这个极值点往往又是临界点,当物体做加速度减小的变加速运动时,速度达到最大时加速度为零,此时物体所受的合外力为零。
随堂对点自测
1.(同一直线上三个点电荷的平衡问题)如图所示,水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电轻质小球a、b,左边放一个带正电的固定球,电荷量为+Q,两悬线都保持竖直方向。下面说法正确的是(　　)
A.a球带正电,b球带正电,并且a球带电荷量较大
B.a球带负电,b球带正电,并且a球带电荷量较小
C.a球带负电,b球带正电,并且a球带电荷量较大
D.a球带正电,b球带负电,并且a球带电荷量较小
答案　B
解析　要使两悬线保持竖直方向,三个电荷必须在同一直线上,根据“两同夹异,两大夹小”知a球带负电,b球带正电,且a球电荷量较小,故B正确。
2.(非共线力作用下的平衡问题)(多选)两个大小相同的小球带有同种电荷,质量分别为m1和m2,带电荷量分别为q1和q2,用绝缘细线悬挂后,因静电力而使两悬线张开,分别与重垂线方向成夹角α1和α2,且两球静止时处于同一水平线上,若α1=α2,则下述结论正确的是(　　)
A.q1不一定等于q2
B.一定满足=
C.m1一定等于m2
D.必然同时满足q1=q2,m1=m2
答案　AC
解析　题中小球带的电荷量可能不同,也可能相同,但各自所受的库仑力大小相同,方向相反。由于它们与竖直线所成的角度相等,且两球处于同一水平线上,所以根据共点力平衡条件可知F库=m1gtan α1=
m2gtan α2,它们的质量一定相等,故A、C正确,B、D错误。
3.(静电力作用下的动力学问题)如图所示,在光滑的绝缘水平面上,有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为+q和-q的小球甲、乙,在水平恒力F作用下甲、乙一起做匀加速直线运动。静电力常量为k,则水平恒力F的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　选取甲、乙整体为研究对象,由牛顿第二定律有F=2ma,加速度a=;选取乙为研究对象,由牛顿第二定律有=ma,联立得F=,故C正确。
基础对点练
题组一　同一直线上三个点电荷的平衡问题
1.如图所示,a、b、c为真空中三个带电小球,b小球带电荷量为+Q,用绝缘支架固定,a、c两小球用绝缘细线悬挂,处于平衡状态时三小球球心等高,且a、b和b、c间距离相等,悬挂a小球的细线向左倾斜,悬挂c小球的细线竖直,则下列判断正确的是(　　)
A.a、b、c三小球带同种电荷
B.a、c两小球带异种电荷
C.a小球带电荷量为-4Q
D.c小球带电荷量为+4Q
答案　C
解析　根据力的平衡条件可知,因b球带正电,要使a、c两球平衡,则a、c两球一定带负电,故A、B、D错误;对c小球进行分析,a、c间的距离是b、c间的两倍,由库仑定律有k=,解得Qa=4Q,即a小球带电荷量为-4Q,故C正确。
2.(2026·云南大理高二月考)如图所示,光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷),三球沿一直线摆放,它们之间仅在静电力的作用下静止,则以下判断正确的是(　　)
A.a对b的静电力可能是斥力
B.a对c的静电力一定是斥力
C.a的电荷量可能比b少
D.a的电荷量一定比c多
答案　B
解析　根据静电力方向来确定各自电性,由“两同夹异”知a对b的静电力一定是引力,a对c的静电力一定是斥力,故A错误,B正确;同时根据库仑定律来确定静电力的大小,并由平衡条件来确定各自电荷量的大小,由“两大夹小”知,则a的电荷量一定比b多,而a的电荷量与c的电荷量无法确定,故C、D错误。
3.(2025·四川眉山高二期中)如图,真空中三个点电荷A、B、C,可以自由移动,依次排列在同一直线上,都处于平衡状态,若三个电荷的带电量、电性及相互距离都未知,但xAB>xBC,则根据平衡条件可断定(　　)
A.A、B、C都带正电 B.A、C带正电,B带负电
C.|qA|>|qB|>|qC| D.|qA|>|qC|>|qB|
答案　D
解析　由于三个点电荷均处于平衡状态,根据平衡条件分析可知,三个点电荷的电性有两种可能性,三个点电荷电性满足“两同夹异”,即若A带正电,则B带负电,C带正电,若A带负电,则B带正电,C带负电,A、B错误;对点电荷A有k=k,对点电荷B有k=k,又由于xAB>xBC,可得|qA|>|qC|>|qB|,C错误,D正确。
题组二　非共线力作用下带电体的平衡
4.一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接,在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N,在图中,小球M能处于静止状态的是(　　)
答案　B
解析　根据电荷间的相互作用和平衡条件分析,只有B项中小球M能处于静止状态,故B正确。
5.(2026·广东深圳高二期中)一带电荷量为+Q的小球A固定在绝缘底座上,在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为+q的小球B,它们处于同一高度静止,如图所示,两球均视为点电荷,下列说法正确的是(　　)
A.若小球A向左平移一段微小距离,则稳定后丝线与竖直方向的夹角减小
B.小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库仑力大小
C.若增加小球A的带电荷量,则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D.若使小球A带电荷量变为-Q,则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
答案　B
解析　根据共点力平衡得,小球B受到的库仑力F=k=mgtan θ,若小球A向左平移一小段距离,r减小,小球B受到A的库仑力F增大,丝线与竖直方向夹角θ增大,A错误;根据牛顿第三定律,小球A对小球B的库仑力与小球B对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力,大小总是相等的,B正确;若增加球A带电荷量,小球B受到A的库仑力F增大,则丝线与竖直方向夹角增大,C错误;若使球A带电荷量变为-Q,则小球B受到向右的库仑力,丝线向右偏,球B与球A的距离减小,库仑力将增大,则丝线与竖直方向夹角将增大,D错误。
6.竖直绝缘墙壁上有一个固定的质点A,在A的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B,A、B两质点因为带电而相互排斥,致使悬线与竖直方向成θ角,如图所示,现增大A的电荷量,当B再次平衡后,丝线对悬点P的拉力大小(　　)
A.减小 B.不变
C.增大 D.不能确定
答案　B
解析　以质点B为研究对象,质点B受到重力G、A的斥力F和丝线的拉力T三个力作用,作出受力图,如图所示。作出F、T的合力F',则由平衡条件得F'=G,根据三角形相似得=,得T=G,增大A的电荷量,PB、PA、G均不变,则丝线的拉力T的大小不变,故B正确。
题组三　静电力作用下的动力学问题
7.如图所示,在绝缘光滑水平面上,相隔一定距离有两个带同种电荷的小球,同时从静止释放,则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是(　　)
A.速度变大,加速度变大 B.速度变小,加速度变小
C.速度变大,加速度变小 D.速度变小,加速度变大
答案　C
解析　因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同,故电荷将一直做加速运动,又由于两电荷间距离增大,它们之间的静电力越来越小,加速度越来越小,故C正确。
综合提升练
8.如图所示,a、b两带电小球质量都是m,a与悬点间用一根绝缘细线连接,系统处于静止状态,已知重力加速度为g,整个过程中不漏电。则(　　)
A.绝缘细线的张力大小等于2mg
B.a、b两球可能带同种电荷
C.a的电荷量一定大于b的电荷量
D.剪断细线瞬时b球的加速度为g
答案　A
解析　对a、b整体根据平衡条件得,细线拉力FT=2mg,A正确;对b球由平衡条件可知,a球对b球的库仑力方向竖直向上,可知库仑力表现为引力,a、b两球带异种电荷,B错误;由题意仅可得出两小球间库仑力大小为mg,无法判断a、b两球所带的电荷量,C错误;剪断细线瞬时库仑力大小不变,所以b受力情况仍处于平衡状态,加速度为零,D错误。
9.(多选)如图所示,竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘,两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上,且处于同一竖直平面内,若用图示方向的水平推力F作用于小球B,则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许,两个小球将重新达到平衡,则两个小球的受力情况与原来相比(　　)
A.推力F将增大
B.竖直墙面对小球A的弹力减小
C.地面对小球B的弹力一定增大
D.两个小球之间的距离增大
答案　BD
解析　A受三个力的作用,即重力GA、墙壁对A的弹力FA和B对A的静电力FBA,FA与FBA的合力与其重力大小相等,当将小球B向左推动少许时,FBA与竖直方向的夹角逐渐减小,则可以判断出FA减小,FBA也减小,B正确;对A、B整体由平衡条件可知,F=FA,故推力F也将减小,A错误;地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡,因此地面对小球B的弹力保持不变,C错误;由于两球之间的静电力减小,故两小球之间的距离增大,D正确。
10.(2026·重庆一中高二月考)水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷,将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点,OABC恰构成一棱长为L的正四面体,如图所示。已知静电力常量为k,重力加速度为g,为使小球能静止在O点,小球所带的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ,由几何关系可知sin θ=,对带正电的小球根据平衡条件可得3ksin θ=mg,解得q=,故C正确。
培优加强练
11.如图所示,在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A、B、C,三球质量均为m,A与B、B与C间距均为L(L比球半径r大得多)。若小球均带电,且qA=+10 q,qB=+q,为保证三球间距不发生变化,将一水平向右的恒力F作用于C球,使三者一起向右匀加速运动。已知静电力常量为k,求:
(1)F的大小;
(2)C球的电性和电荷量。
答案　(1)　(2)带负电,q
解析　因A、B为同种电荷,A球受到B球的库仑力向左,要使A向右匀加速运动,则A球必须受到C球施加的向右的库仑力,故C球带负电。设加速度为a,对A、B、C三球组成的整体,由牛顿第二定律有F=3ma,对A球,由牛顿第二定律有k-k=ma,对B球,由牛顿第二定律有k+k=ma,解得F=,qC=q。(共49张PPT)
专题提升一　静电力作用下的平衡与加速问题
第九章　静电场及其应用
1.会进行静电力作用下物体的受力分析。
2.能够应用平衡条件解决库仑力作用下的平衡问题。
3.会应用牛顿运动定律结合库仑定律解决带电体的加速运动问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
03
随堂对点自测
02
提升
1
提升2　非共线力作用下带电体的平衡问题
提升1　同一直线上三个点电荷的平衡问题
提升3　静电力作用下的动力学问题
提升1　同一直线上三个点电荷的平衡问题
例1 如图所示，带电荷量分别为+q和+4q的两点电荷A、B，相距L，问：
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态
解析　由平衡条件，对C进行受力分析，C应在A、B的连线上且在A、B之间，设与A相距r，则k=k
解得r=。
答案　见解析
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量和电性对C的平衡有影响吗
解析　C电荷的电荷量的大小和电性对C的平衡无影响。
答案　见解析
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可
以使三个点电荷都处于平衡状态
解析　设放置的点电荷的电荷量为Q，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，
对电荷A：k=k
对电荷B：k=k
联立可得r=，Q=q(负电荷)
即应在A、B连线上且在A、B之间，距A点电荷q的负电荷。
答案　见解析
1.两个电荷固定，第三个电荷平衡问题
只需要确定第三个电荷位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求。
2.三个自由电荷的平衡问题
(1)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零。根据平衡条件可得，电荷间的关系为
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
(2)对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程。
ABC
训练1 (多选)(2026·山东枣庄高二月考)如图所示，同一直线上的三个点电荷A、B、C恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知A、B间的距离是B、C间距离的2倍。A、B、C所带的电荷量数值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是(　 　)
A.若A、C为正电荷，则B为负电荷
B.若A、C为负电荷，则B为正电荷
C.q1∶q2∶q3=36∶4∶9
D.q1∶q2∶q3=9∶4∶36
解析　三个自由点电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，两大夹小，近小远大”，所以A和C是同种电荷，B是异种电荷，故A、B正确；根据库仑定律，对A、B进行受力分析，有k=k=k，化简可得q1∶q2∶q3=36∶4∶9，故C正确，D错误。
提升2　非共线力作用下带电体的平衡问题
1.库仑力作用下的平衡问题
库仑力作用下的平衡问题，可能是只有库仑力，也可能有其他力，但其本质都是平衡问题。解题的关键是进行受力分析并列出平衡方程。
2.分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
例2 如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直固定的10 cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为30g，则B带电荷量是多少 (g=10 m/s2，小球A、B视为点电荷，k=9.0×109 N·m2/C2)
解析　因为B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，设A、B之间的水平距离为L，依据几何关系可得tan 30°=
则L==10 cm
对B进行受力分析如图所示，依据共点力平衡条件，可得静电力
F=mgtan 30°=30×10-3×10× N=0.3 N
A、B带等量同种电荷，设电荷量为q，
依据F=k，有F=k，则
q== C
=1.0×10-6 C。
答案　1.0×10-6 C
B
训练2 (2026·山东烟台高二月考)如图所示，一光滑绝缘圆形轨道固定在水平面上，在直径AB的两个端点上分别固定电荷量为Q1、Q2的正点电荷，有一个带正电小球恰好静止于轨道内侧P点(小球可视为点电荷，不计重力)。已知A、P两点的连线与直径AB之间的夹角θ=30°，则的比值为(　　)
A. B.3
C.6 D.
解析　对小球进行受力分析如图所示，设小球的带电荷量为q，根据库仑定律有F1=k，F2=k，设A点和B点两点相距L，有r1=Lcos θ，r2=Lsin θ，根据几何条件有tan θ=，联立解得==3，故B正确。
提升3　静电力作用下的动力学问题
静电力作用下的动力学问题可以归纳为“电学问题、力学方法”。遵循力学规律和力的运算法则。在分析具体问题时应注意：
(1)受力分析：除分析重力、弹力、摩擦力等之外，还要分析静电力的作用。
(2)状态分析：通过分析确定带电体运动状态。
(3)根据问题情境和提供的条件选取适当的物理规律列方程求解。
例3 (2026·湖北武汉高二月考)如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
(1)球A刚释放时的加速度大小；
解析　由牛顿第二定律可知mgsin α-F=ma
根据库仑定律有F=k
又知r=，联立解得a=gsin α-。
答案　gsin α-　
(2)当球A的动能最大时，球A与B点的距离。
解析　当球A受到合力为零，即加速度为零时，动能最大。
设此时球A与B点间的距离为d，则
mgsin α=k
解得d=。
答案　
训练3 (2025·广州大学附属中学月考)如图所示，在A点固定一正电荷，电荷量为Q，在A正上方高度为H的B处由静止释放某带同种电荷的液珠，其开始运动的瞬间加速度大小恰好等于重力加速度g。已知静电力常量为k，两电荷均可看作点电荷，不计空气阻力。
(1)求液珠的比荷；
答案　　
解析　设液珠带电荷量为q，质量为m，释放瞬间有k-mg=ma
由题意可知a=g
解得液珠的比荷为=。
(2)求液珠速度最大时离A点的距离h。
答案　H
解析　当液珠速度最大时，库仑力与重力大小相等，有
k=mg，解得h=H。
当题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼时，表明题述的过程存在着极值。这个极值点往往又是临界点，当物体做加速度减小的变加速运动时，速度达到最大时加速度为零，此时物体所受的合外力为零。
随堂对点自测
2
B
1.(同一直线上三个点电荷的平衡问题)如图所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电轻质小球a、b，左边放一个带正电的固定球，电荷量为+Q，两悬线都保持竖直方向。下面说法正确的是(　　)
A.a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
B.a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小
C.a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
D.a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小
解析　要使两悬线保持竖直方向，三个电荷必须在同一直线上，根据“两同夹异，两大夹小”知a球带负电，b球带正电，且a球电荷量较小，故B正确。
AC
2.(非共线力作用下的平衡问题)(多选)两个大小相同的小球带有同种电荷，质量分别为m1和m2，带电荷量分别为q1和q2，用绝缘细线悬挂后，因静电力而使两悬线张开，分别与重垂线方向成夹角α1和α2，且两球静止时处于同一水平线上，若α1=α2，则下述结论正确的是(　　)
A.q1不一定等于q2
B.一定满足=
C.m1一定等于m2
D.必然同时满足q1=q2，m1=m2
解析　题中小球带的电荷量可能不同，也可能相同，但各自所受的库仑力大小相同，方向相反。由于它们与竖直线所成的角度相等，且两球处于同一水平线上，所以根据共点力平衡条件可知F库=m1gtan α1=
m2gtan α2，它们的质量一定相等，故A、C正确，B、D错误。
C
3.(静电力作用下的动力学问题)如图所示，在光滑的绝缘水平面上，有两个质量相等、相距为r、带电荷量分别为+q和-q的小球甲、乙，在水平恒力F作用下甲、乙一起做匀加速直线运动。静电力常量为k，则水平恒力F的大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析　选取甲、乙整体为研究对象，由牛顿第二定律有F=2ma，加速度a=；选取乙为研究对象，由牛顿第二定律有=ma，联立得F=，故C正确。
课后巩固训练
3
C
题组一　同一直线上三个点电荷的平衡问题
1.如图所示，a、b、c为真空中三个带电小球，b小球带电荷量为+Q，用绝缘支架固定，a、c两小球用绝缘细线悬挂，处于平衡状态时三小球球心等高，且a、b和b、c间距离相等，悬挂a小球的细线向左倾斜，悬挂c小球的细线竖直，则下列判断正确的是(　　)
基础对点练
A.a、b、c三小球带同种电荷
B.a、c两小球带异种电荷
C.a小球带电荷量为-4Q
D.c小球带电荷量为+4Q
解析　根据力的平衡条件可知，因b球带正电，要使a、c两球平衡，则a、c两球一定带负电，故A、B、D错误；对c小球进行分析，a、c间的距离是b、c间的两倍，由库仑定律有k=，解得Qa=4Q，即a小球带电荷量为-4Q，故C正确。
B
2.(2026·云南大理高二月考)如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三球沿一直线摆放，它们之间仅在静电力的作用下静止，则以下判断正确的是(　　)
A.a对b的静电力可能是斥力
B.a对c的静电力一定是斥力
C.a的电荷量可能比b少
D.a的电荷量一定比c多
解析　根据静电力方向来确定各自电性，由“两同夹异”知a对b的静电力一定是引力，a对c的静电力一定是斥力，故A错误，B正确；同时根据库仑定律来确定静电力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，由“两大夹小”知，则a的电荷量一定比b多，而a的电荷量与c的电荷量无法确定，故C、D错误。
D
3.(2025·四川眉山高二期中)如图，真空中三个点电荷A、B、C，可以自由移动，依次排列在同一直线上，都处于平衡状态，若三个电荷的带电量、电性及相互距离都未知，但xAB>xBC，则根据平衡条件可断定(　　)
A.A、B、C都带正电
B.A、C带正电，B带负电
C.|qA|>|qB|>|qC|
D.|qA|>|qC|>|qB|
解析　由于三个点电荷均处于平衡状态，根据平衡条件分析可知，三个点电荷的电性有两种可能性，三个点电荷电性满足“两同夹异”，即若A带正电，则B带负电，C带正电，若A带负电，则B带正电，C带负电，A、B错误；对点电荷A有k=k，对点电荷B有k=k，又由于xAB>xBC，可得|qA|>|qC|>|qB|，C错误，D正确。
B
题组二　非共线力作用下带电体的平衡
4.一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在图中，小球M能处于静止状态的是(　　)
解析　根据电荷间的相互作用和平衡条件分析，只有B项中小球M能处于静止状态，故B正确。
B
5.(2026·广东深圳高二期中)一带电荷量为+Q的小球A固定在绝缘底座上，在它左侧还有一个用绝缘丝线悬挂的带电荷量为+q的小球B，它们处于同一高度静止，如图所示，两球均视为点电荷，下列说法正确的是(　　)
A.若小球A向左平移一段微小距离，则稳定后丝线与竖
直方向的夹角减小
B.小球A对小球B的库仑力大小等于小球B对小球A的库
仑力大小
C.若增加小球A的带电荷量，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
D.若使小球A带电荷量变为-Q，则稳定后丝线与竖直方向夹角不变
解析　根据共点力平衡得，小球B受到的库仑力F=k=
mgtan θ，若小球A向左平移一小段距离，r减小，小球B
受到A的库仑力F增大，丝线与竖直方向夹角θ增大，A错
误；根据牛顿第三定律，小球A对小球B的库仑力与小球B
对小球A的库仑力是一对作用力和反作用力，大小总是相等的，B正确；若增加球A带电荷量，小球B受到A的库仑力F增大，则丝线与竖直方向夹角增大，C错误；若使球A带电荷量变为-Q，则小球B受到向右的库仑力，丝线向右偏，球B与球A的距离减小，库仑力将增大，则丝线与竖直方向夹角将增大，D错误。
B
6.竖直绝缘墙壁上有一个固定的质点A，在A的正上方的P点用丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，如图所示，现增大A的电荷量，当B再次平衡后，丝线对悬点P的拉力大小(　　)
A.减小 B.不变
C.增大 D.不能确定
解析　以质点B为研究对象，质点B受到重力G、A的斥力F和丝线的拉力T三个力作用，作出受力图，如图所示。作出F、T的合力F'，则由平衡条件得F'=G，根据三角形相似得=，得T=G，增大A的电荷量，PB、PA、G均不变，则丝线的拉力T的大小不变，故B正确。
C
题组三　静电力作用下的动力学问题
7.如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，同时从静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是(　　)
A.速度变大，加速度变大 B.速度变小，加速度变小
C.速度变大，加速度变小 D.速度变小，加速度变大
解析　因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，加速度越来越小，故C正确。
A
8.如图所示，a、b两带电小球质量都是m，a与悬点间用一根绝缘细线连接，系统处于静止状态，已知重力加速度为g，整个过程中不漏电。则(　　)
综合提升练
A.绝缘细线的张力大小等于2mg
B.a、b两球可能带同种电荷
C.a的电荷量一定大于b的电荷量
D.剪断细线瞬时b球的加速度为g
解析　对a、b整体根据平衡条件得，细线拉力FT=2mg，A正确；对b球由平衡条件可知，a球对b球的库仑力方向竖直向上，可知库仑力表现为引力，a、b两球带异种电荷，B错误；由题意仅可得出两小球间库仑力大小为mg，无法判断a、b两球所带的电荷量，C错误；剪断细线瞬时库仑力大小不变，所以b受力情况仍处于平衡状态，加速度为零，D错误。
BD
9.(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比(　　)
A.推力F将增大
B.竖直墙面对小球A的弹力减小
C.地面对小球B的弹力一定增大
D.两个小球之间的距离增大
解析　A受三个力的作用，即重力GA、墙壁对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合力与其重力大小相等，当将小球B向左推动少许时，FBA与竖直方向的夹角逐渐减小，则可以判断出FA减小，FBA也减小，B正确；对A、B整体由平衡条件可知，F=FA，故推力F也将减小，A错误；地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡，因此地面对小球B的弹力保持不变，C错误；由于两球之间的静电力减小，故两小球之间的距离增大，D正确。
C
10.(2026·重庆一中高二月考)水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ=，对带正电的小球根据平衡条件可得3ksin θ=mg，解得q=，故C正确。
培优加强练
11.如图所示，在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A、B、C，三球质量均为m，A与B、B与C间距均为L(L比球半径r大得多)。若小球均带电，且qA=+10 q，qB=+q，为保证三球间距不发生变化，将一水平向右的恒力F作用于C球，使三者一起向右匀加速运动。已知静电力常量为k，求：
(1)F的大小；
(2)C球的电性和电荷量。
答案　(1)　(2)带负电，q
解析　因A、B为同种电荷，A球受到B球的库仑力向左，要使A向右匀加速运动，则A球必须受到C球施加的向右的库仑力，故C球带负电。设加速度为a，对A、B、C三球组成的整体，由牛顿第二定律有F=3ma，对A球，由牛顿第二定律有k-k=ma，对B球，由牛顿第二定律有k+k=ma，解得F=，qC=q。
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